גוף התיבה
הכירו את הגוף התלת-ממדי שמלווה אתכם בכל מקום - קודקודים, פאות ומקצועות
שאלה לפני שמתחילים
נסו להסתכל סביבכם לרגע. כמה תיבות אתם רואים? חדר, ספר, קופסת קרטון, ארון, טלפון, מחשב נייד, אפילו קובייה של סוכר בכוס התה. העולם שלנו בנוי מתיבות. למה? כי קל להרכיב אותן זו לזו, קל לאחסן, וקל לחשב את הגודל שלהן. הפרק הזה נותן לכם את הכלים.
מהגאומטריה השטוחה למרחב
מה זו תיבה?
תיבה היא גוף גאומטרי תלת-ממדי המוגבל בשש פאות, כאשר כל פאה היא מלבן. חשבו על קופסת נעליים - יש לה חלק עליון, חלק תחתון, וארבעה צדדים. כל אחד מהם הוא מלבן, ויחד הם יוצרים תיבה.
למה דווקא מלבנים? כי בתיבה כל הזוויות הן זוויות ישרות (90 מעלות). זה מה שמבדיל אותה מגופים תלת-ממדיים אחרים. כשכל הפאות הן מלבנים וכל הזוויות ישרות, מתקבלת הצורה ה"קופסתית" המוכרת.
הגדרה: תיבה היא גוף גאומטרי תלת-ממדי המוגבל בשש פאות מלבניות. כל שתי פאות נגדיות חופפות ומקבילות זו לזו, וכל הזוויות בתיבה הן זוויות ישרות.
שני רעיונות שכבר מסתתרים בתוך ההגדרה
פרק 5 נקרא תיבה, ניצבות והקבלה כי בתיבה שני הרעיונות האלה מופיעים יחד כל הזמן:
- פאות נגדיות ומקצועות מתאימים הם מקבילים.
- מקצועות שנפגשים באותו קודקוד יוצרים ניצבות וזווית ישרה.
שלושת הממדים של תיבה
כל תיבה מוגדרת על ידי שלושה ממדים: אורך, רוחב וגובה. בדרך כלל נסמן אותם באותיות a, b, c. שלוש המידות האלה קובעות הכול - את גודל הפאות, את אורך המקצועות, ובהמשך גם את שטח הפנים ואת הנפח.
אורך (a)
הממד הארוך ביותר של התיבה, בדרך כלל הצלע שנמדדת לאורך.
רוחב (b)
הממד שמאונך לאורך, נמדד לרוחב התיבה.
גובה (c)
הממד האנכי - כמה גבוהה התיבה מהרצפה עד למעלה.
חקרו תיבה תלת-ממדית בעצמכם
הסימולציה הזו נותנת לכם שליטה מלאה על תיבה תלת-ממדית. שנו את הממדים, סובבו אותה במרחב, והדגישו את הפאות, המקצועות או הקודקודים. ראו בזמן אמת איך שטח הפנים והנפח משתנים!
המרכיבים של תיבה: פאות, מקצועות וקודקודים
כדי לדבר על גופים תלת-ממדיים, צריך שפה מדויקת. בואו נכיר שלושה מושגים חשובים שישמשו אותנו לאורך כל הפרק.
שלושת מרכיבי התיבה
פאה
כל אחד מששת המלבנים שמרכיבים את התיבה. לתיבה יש 6 פאות.
מקצוע
הקו שבו שתי פאות נפגשות - כמו קפל בקופסה. לתיבה יש 12 מקצועות.
קודקוד
נקודה שבה שלושה מקצועות נפגשים - כמו פינה של קופסה. לתיבה יש 8 קודקודים.
תיבה עם קודקודים מסומנים A, B, C, D, E, F, G, H
8 קודקודים (בנקודות האדומות), 12 מקצועות (הקווים), 6 פאות (הריבועים/מלבנים)
פאות התיבה - הבנה מעמיקה
לתיבה יש 6 פאות, והן מתחלקות לשלושה זוגות של פאות נגדיות. כל זוג מורכב משני מלבנים זהים שמקבילים זה לזה.
שלושה זוגות הפאות בתיבה עם ממדים a, b, c
| זוג פאות | ממדי כל פאה | כמה פאות בזוג |
|---|---|---|
| עליונה ותחתונה | a x b | 2 |
| קדמית ואחורית | a x c | 2 |
| ימנית ושמאלית | b x c | 2 |
* סה"כ: 3 זוגות = 6 פאות
שימו לב: כל פאה סמוכה ל-4 פאות אחרות, ונגדית לפאה אחת בלבד. פאות סמוכות הן כאלה שחולקות מקצוע משותף, ופאות נגדיות הן כאלה שנמצאות בצדדים מנוגדים של התיבה.
מקצועות התיבה - הבנה מעמיקה
לתיבה יש 12 מקצועות, והם מתחלקים לשלוש קבוצות של 4 מקצועות שווי אורך.
מקצועות התיבה עם ממדים a, b, c
| קבוצת מקצועות | אורך כל מקצוע | כמה מקצועות |
|---|---|---|
| מקצועות לאורך | a | 4 |
| מקצועות לרוחב | b | 4 |
| מקצועות לגובה | c | 4 |
* סה"כ: = 12 מקצועות
סכום אורכי כל המקצועות
איך לזכור?
בתיבה תמיד יש 4 מקצועות מכל אורך. זה הגיוני - חשבו על 4 העמודים של חדר (כולם באותו גובה), או על 4 הצלעות העליונות של קופסה.
- 3 ממדים שונים
- 4 מקצועות מכל ממד
- = 12 מקצועות בסה"כ
קודקודים - הפינות של התיבה
לתיבה יש 8 קודקודים. בכל קודקוד נפגשים בדיוק 3 מקצועות - אחד מכל ממד. חשבו על פינה של חדר: שם נפגשים הרצפה, הקיר האחד והקיר השני - שלוש קצוות שנפגשות בנקודה אחת.
סיכום מספרי: לכל תיבה יש בדיוק 6 פאות, 12 מקצועות ו-8 קודקודים. המספרים האלה נכונים תמיד, לא משנה מה הממדים של התיבה!
דוגמאות מהחיים
תיבות מסביבנו
קופסת נעליים
ממדים טיפוסיים: 30 ס"מ x 18 ס"מ x 12 ס"מ. שלושת הממדים שונים, לכן זו תיבה ולא קובייה.
ספר
ספר הוא תיבה צרה מאוד - האורך והרוחב גדולים אבל העובי (הגובה) קטן.
חדר בבית
חדר בגודל 4 מ' x 5 מ' x 3 מ' הוא תיבה ענקית. הרצפה והתקרה הן פאות נגדיות.
קוביית משחק
כל הצלעות שוות (בד"כ 1.5 ס"מ). זו קובייה - מקרה פרטי של תיבה.
מכולה ימית
מכולות ימיות סטנדרטיות הן תיבות במידות בינלאומיות קבועות (TEU): כ-6 מ' x 2.4 מ' x 2.6 מ'. התקינה הזו מאפשרת לאחסן ולערום אותן בכל נמל בעולם.
בניין
מרבית הבניינים בערים בנויים כ"תיבות" - קל לתכנן אותם, חסכוני בחומר, ומתאים לרצפות דירות מלבניות.
הקובייה - מקרה פרטי של תיבה
קובייה היא תיבה מיוחדת שבה כל שלושת הממדים שווים. אם a = b = c, אז התיבה היא קובייה. זה אומר שכל 6 הפאות הן ריבועים חופפים וכל 12 המקצועות שווים באורכם.
תנאי הקובייה
קובייה - כל הצלעות שוות
בקובייה כל 12 המקצועות שווים באורכם (a)
תיבה מול קובייה
תיבה כללית
שלושה ממדים שונים (a, b, c). הפאות הן מלבנים. יש שלושה זוגות של פאות חופפות.
דוגמה: קופסת נעליים: x 12 ס"מ
קובייה
כל הממדים שווים (a = b = c). כל הפאות הן ריבועים חופפים. כל המקצועות שווים.
דוגמה: קוביית משחק: x 2 ס"מ
כל קובייה היא תיבה, אך לא כל תיבה היא קובייה!
שאלה לחשיבה
האם יכולה להיות תיבה שבה שני ממדים שווים אבל היא לא קובייה?
כן! לדוגמה, תיבה עם ממדים x 5. שני ממדים שווים (3 ו-3) אבל הממד השלישי שונה (5), ולכן זו לא קובייה. רק כשכל שלושת הממדים שווים מדובר בקובייה.
בתיבה כזו, שתי פאות הן ריבועים () וארבע פאות הן מלבנים (
תרגיל מודרך: ניתוח תיבה
נבחן תיבה עם ממדים 3 ס"מ, 4 ס"מ, 5 ס"מ ונתאר את כל מרכיביה.
ניתוח התיבה x 5
שלב 1 מתוך 4נחשב את שטחי שלושת זוגות הפאות - זוג עליונה ותחתונה
תרגיל מודרך: ניתוח קובייה
ניתוח קובייה עם מקצוע 2 ס"מ
תרגילים: בואו נבחן את עצמנו
תרגיל 1: זיהוי תיבה
לתיבה יש ממדים a = 5, b = 5, c = 7. כמה פאות ריבוע יש בה, וכמה פאות מלבן?
תרגיל 2: חישוב סכום מקצועות
מה סך אורכי כל 12 המקצועות של תיבה בממדים 3 ס"מ x 4 ס"מ x 6 ס"מ?
תרגיל 3: אתגר - אלגברה
סך אורכי מקצועות תיבה הוא 48 ס"מ. ידוע ש-a = 3, b = 5. מה גובה התיבה (c)?
ניצבות והקבלה בתיבה
בתיבה יש קשר חזק בין מושגי הניצבות וההקבלה שלמדנו בפרק הקודם:
מקצועות מקבילים
בכל קבוצה של 4 מקצועות שווי אורך, כל שניים מהם מקבילים. לדוגמה: 4 מקצועות הגובה מקבילים זה לזה.
מקצועות ניצבים
מקצועות שנפגשים בקודקוד הם תמיד ניצבים זה לזה (יוצרים זווית ישרה). בכל קודקוד, שלושת המקצועות ניצבים זה לזה.
שאלה לחשיבה
האם יכולים להיות שני מקצועות של תיבה שהם לא מקבילים וגם לא נפגשים?
כן! זה נקרא מקצועות מצטלבים במרחב (או skew). לדוגמה: מקצוע בקודקוד הקדמי-עליון-ימני שמוביל לאורך, ומקצוע בקודקוד האחורי-תחתון-שמאלי שמוביל לגובה. הם לא מקבילים (בכיוונים שונים) ולא נפגשים (לא באותו מישור).
זו תופעה שקורית רק במרחב - בתוך מישור אחד, שני קווים או מקבילים או נפגשים.
רגע של חשיבה
שאלה לחשיבה
אם נסתכל על חפצים מסביבנו - האם כל החפצים שנראים כמו "קופסה" הם באמת תיבות?
לא בהכרח! תיבה דורשת שכל הפאות יהיו מלבנים וכל הזוויות ישרות. קופסת קרטון רגילה - כן, זו תיבה. אבל ארגז בצורת טרפז או מזוודה מעוגלת - לא. גם פירמידה או גליל הם גופים תלת-ממדיים, אבל לא תיבות.
שאלה לחשיבה
למה בעולם התעשייה רוב הקופסאות הן תיבות ולא כדורים או פירמידות?
שלוש סיבות: (1) אריזה - תיבות מתחברות זו לזו ללא רווחים ולא מבזבזות מקום באחסון. כדורים מבזבזים כ-26% מהמקום! (2) ייצור - פשוט וזול לכופף קרטון לזוויות ישרות. (3) הובלה - תיבות לא מתגלגלות, קל לערום אותן על משאיות ומדפים.
פעילות: חקרו תיבה בעצמכם!
פעילות מעשית
קחו קופסה מהבית (קופסת נעליים, קופסת דגנים, או כל קופסה בצורת תיבה) ובצעו את המשימות הבאות:
- מדדו את שלושת הממדים: אורך, רוחב וגובה. רשמו אותם.
- ספרו את הפאות - ודאו שיש 6. סמנו זוגות של פאות נגדיות.
- ספרו את המקצועות - ודאו שיש 12. מצאו 4 מקצועות שווי אורך.
- ספרו את הקודקודים - ודאו שיש 8.
- בדקו: האם זו קובייה? מדוע כן או מדוע לא?
- חזרו לסימולציה למעלה והכניסו את הממדים שמדדתם - האם התיבה נראית דומה?
המתמטיקאי לאונרד אוילר (המאה ה-18) גילה חוק מפתיע שנכון לכל פאון קמור (גוף תלת-ממדי עם פאות שטוחות):
נוסחת אוילר
כאשר V = מספר הקודקודים, E = מספר המקצועות, F = מספר הפאות.
בואו נבדוק עבור תיבה:
זה עובד! הנוסחה נכונה גם לפירמידה (5 - 8 + 5 = 2), לפריזמה משולשת (6 - 9 + 5 = 2), ולכל גוף קמור אחר. זו אחת הנוסחאות היפות בגאומטריה - אותו חוק לכל הגופים הקמורים ביקום.
מה אם יש עוד ממד? מתמטיקאים חוקרים גם גופים ב4 ממדים. המקבילה של הקובייה בארבעה ממדים נקראת טסרקט. היא קשה לדמיון: לקובייה יש 8 קודקודים, 12 מקצועות, 6 פאות. לטסרקט יש 16 קודקודים, 32 מקצועות, 24 פאות, ו-8 קוביות! זה מוזכר במדע הבדיוני, למשל בסרט "Interstellar".
