איך "פותחים" תיבה ופורסים אותה על השולחן? זיהוי פאות, פריסות קובייה, וקודקודים מתלכדים
מהתלת-ממד לדו-ממד
דמיינו שלוקחים קופסת קרטון וחותכים אותה לאורך חלק מהמקצועות, ואז פותחים ושוטחים אותה על השולחן. מה שמתקבל נקרא פריסה - ציור דו-ממדי (שטוח) שמייצג את כל הפאות של התיבה.
פריסה היא כלי חשוב להבנת מבנה התיבה ולחישוב שטח הפנים. היא גם בסיס לבניית תיבות מנייר!
מה נלמד?: מהי פריסה ואיך מזהים פריסה תקינה
פאות: זיהוי פאות סמוכות ונגדיות בפריסה
קובייה: 11 פריסות הקובייה וקודקודים מתלכדים
סימולציה: צפו בקיפול פריסה לתיבה בזמן אמת
מהי פריסה?
פריסה של תיבה היא ציור דו-ממדי (שטוח) שמתקבל כשחותכים את התיבה לאורך חלק מהמקצועות ופורסים אותה על משטח. הפריסה כוללת את כל 6 הפאות של התיבה, מחוברות זו לזו לאורך מקצועות משותפים.
פריסה נוצרת כשחותכים חלק מהמקצועות ופותחים את הפאות לצורה שטוחה אחת.
מקפלים פריסה לתיבה - סימולציה
הזיזו את המחוון בסימולציה מ-0% (פריסה שטוחה) ל-100% (תיבה סגורה) וצפו איך הפאות מסתדרות במרחב. שימו לב איזו פאה הופכת לאיזו.
פאות סמוכות ופאות נגדיות
לפני שנסתכל על פריסות, בואו נבין שני מושגים חשובים:
סמוכות מול נגדיות
פאות סמוכות
שתי פאות שחולקות מקצוע משותף. הן נמצאות "ליד" זו את זו בתיבה.
הפאה העליונה והפאה הקדמית חולקות מקצוע - הן סמוכות.
פאות נגדיות
שתי פאות שנמצאות בצדדים מנוגדים של התיבה. הן לא חולקות אף מקצוע או קודקוד.
הפאה העליונה והפאה התחתונה - הן נגדיות.
לכל פאה יש 4 פאות סמוכות ופאה נגדית אחת בלבד.
דוגמה: פריסה בצורת צלב
נסתכל על פריסה טיפוסית של תיבה. בפריסה, שש הפאות מסודרות בצורה שטוחה. אחת הדרכים הנפוצות היא בצורת "צלב":
פריסה בצורת צלב עם 6 פאות ממוספרות
מיפוי הפאות לתיבה לאחר קיפול: A=אחורית, B=שמאלית, C=תחתונה (פאת המרכז), D=ימנית, E=קדמית, F=עליונה. כל אות בפריסה מסומנת במרכז הריבוע המתאים.
איך מזהים פאות נגדיות בפריסה?
זה אחד הנושאים המאתגרים ביותר בפרק! הנה כמה טיפים:
חשיבות הפריסה
למה פריסות חשובות?
הבנת שטח הפנים
כשפורסים תיבה, רואים את כל 6 הפאות בבירור. אפשר למדוד ולחשב את שטח כל פאה, ולחבר - וזה שטח הפנים!
בנייה מנייר
רוצים לבנות תיבה מקרטון? שרטטו פריסה, חתכו, קפלו והדביקו! בתעשייה כך מייצרים קופסאות.
פריסות של קובייה
קובייה היא מקרה פרטי מעניין: כל 6 הפאות הן ריבועים חופפים. זה נותן לנו הרבה דרכים שונות לפרוס אותה.
כמה פריסות נפוצות של קובייה
פריסות קובייה
צורת צלב (+)
שורה אנכית של 4 ריבועים, ועוד ריבוע מכל צד של הריבוע השני מלמעלה.
צורת T
שורה אופקית של 4 ריבועים, ועוד 2 ריבועים מתחת לריבוע הימני.
צורת L
שורה של 4 ריבועים, ועוד 2 ריבועים מתחת לריבוע הימני.
מדרגות
3 ריבועים בשורה, ומתחת - עוד 3 ריבועים מוסטים הצדה.
פריסה לא תקינה
לא כל סידור של 6 ריבועים הוא פריסה תקינה של קובייה! פריסה תקינה היא כזו שכשמקפלים אותה מתקבלת קובייה ללא חפיפה.
קודקודים מתלכדים
כשפורסים קובייה, קודקוד אחד של הקובייה המקורית עשוי להופיע בכמה מקומות בפריסה. כשמקפלים חזרה, כל ההופעות האלה מתלכדות לנקודה אחת.
זה הגיוני: בפריסה, כל פאה "מופרדת" מהפאות האחרות, ולכן קודקוד שהיה משותף לכמה פאות מופיע עכשיו כמה פעמים.
זיהוי פריסות תקינות
איך בודקים אם סידור של 6 ריבועים הוא פריסה תקינה של קובייה?
תנאים הכרחיים
יש בדיוק 6 ריבועים
הריבועים מחוברים צלע-לצלע
אין חפיפה בין ריבועים
כל הריבועים מחוברים (חתיכה אחת)
בדיקה מעשית
שרטטו על נייר
חתכו את הפריסה
נסו לקפל לקובייה
אם מתקפלת ללא חפיפה - תקינה!
תרגילים
תרגיל
תרגיל 1: חישוב משטח פריסה
פריסה של קובייה במקצוע 4 ס"מ - מה שטח הפריסה (סך כל הריבועים בפריסה)?
תרגיל
תרגיל 2: פריסת תיבה
פריסה של תיבה בממדים 3, 4, 5. מה שטח הפריסה?
תרגיל
תרגיל 3: זיהוי פאות נגדיות
בפריסת צלב של קובייה, הריבוע המרכזי מסומן C. ריבוע שמעל C מסומן A, וריבוע מתחת ל-C מסומן E. האם A ו-E נגדיות?
בפריסה של תיבה (לא קובייה) עם ממדים 3×4×5, האם שתי הפאות הגדולות (4×5) יכולות להיות סמוכות בפריסה?
למה דווקא 11 פריסות לקובייה? למה לא 10 או 12?
פעילות: בנו ובדקו פריסות!
חלק ב׳ · בדיקת ידע
מבחן מסכם
קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.
1.מה זו פריסה של תיבה?
אציור תלת-ממדי של התיבה
בציור דו-ממדי של התיבה שפרוש למישור
גחתך של התיבה באמצע
דטבלה המכילה את ממדי התיבה
2.בתיבה, מהן פאות סמוכות?
אשתי פאות שחולקות מקצוע משותף
בשתי פאות שנמצאות בצדדים מנוגדים
גשתי פאות בעלות אותו גודל
דשתי פאות שמקבילות זו לזו
3.לכל פאה בתיבה יש כמה פאות נגדיות?
א1
ב2
ג3
ד4
4.כמה פריסות שונות יש לקובייה?
א6
ב11
ג24
דאינסוף
5.מה זה קודקודים מתלכדים בפריסה של קובייה?
אקודקודים שחופפים בפריסה
בקודקודים שכשמקפלים את הפריסה נפגשים באותה נקודה
גקודקודים בקצה הפריסה
דקודקודים שיוצרים זוויות ישרות
6.שתי שורות של 3 ריבועים זו מעל זו (מלבן 3x2) - האם זו פריסה תקינה של קובייה?
אכן, יש 6 ריבועים אז זו פריסה תקינה
בלא, כי כשמנסים לקפל יש חפיפה בין פאות
גכן, אבל רק אם הריבועים גדולים מספיק
דלא, כי אין מספיק ריבועים
7.מה שטח הפריסה של קובייה במקצוע 5 ס"מ?
א25 סמ"ר
ב125 סמ"ר
ג150 סמ"ר
ד180 סמ"ר
8.בפריסה בצורת צלב (פאה מרכזית עם 4 פאות סביבה ועוד אחת בתחתית). הפאה המרכזית וזו שבתחתית - האם הן נגדיות?
אכן, תמיד
בלא, הן סמוכות
גתלוי בסדר הקיפול
דלא ניתן לקבוע
9.בפריסת תיבה בצורת צלב, הפאה המרכזית בגודל 4x3 ס"מ. לכמה פאות של 4x3 נצפה בפריסה?