גרסת הדפסה | החוברת

כמה מקום תופסת תיבה? נפח תיבה, נפח קובייה, ומה קורה כששינוי ממד אחד משנה הכול

מה זה נפח ולמה הוא חשוב?

כמה מים נכנסים לבריכה? כמה חפצים אפשר להכניס לארון? כמה אוויר יש בחדר? כל השאלות האלה שואלות על נפח - כמות המקום שגוף תלת-ממדי תופס במרחב.

במודול הזה נלמד איך לחשב נפח של תיבה וקובייה, נראה סימולציה שממלאת תיבה בקוביות, נגלה למה הגדלה פי 2 במקצוע מגדילה פי 8 בנפח, ונתרגל בעיות מהחיים.

נפח תיבה: $V = a x b x c$ - מילוי בקוביות יחידה
נפח קובייה: $V = a^{3}$ - המקרה הפרטי
שינוי ממדים: הגדלה פי k - שטח פנים גדל פי $k^{2}$ , נפח גדל פי $k^{3}$
בעיות מילוליות: בריכות, קופסאות, חדרים ועוד
סימולציות: בניית נפח, והשוואת שני תיבות בקנה מידה

מה זה נפח?

הנפח הוא מידה לכמות המקום שגוף תופס במרחב. אפשר לחשוב על נפח ככמות קוביות יחידה קטנטנות שאפשר להכניס לתוך הגוף. קובייה יחידה היא קובייה עם מקצוע באורך 1 (ס"מ, מטר, או כל יחידה אחרת).

נוסחת נפח של תיבה

V = a \cdot b \cdot c

למה הנוסחה עובדת? דמיינו שמסדרים קוביות יחידה בתוך התיבה: בשורה הראשונה נכנסות a קוביות, ברוחב יש b שורות, וזה נותן a x b קוביות בשכבה אחת. בגובה יש c שכבות כאלה, ולכן סה"כ a x b x c קוביות.

תמונה הממחישה את נפח התיבה כמילוי בקוביות יחידה בשכבות — נפח של תיבה מתקבל ממספר קוביות היחידה בשכבה אחת כפול מספר השכבות.

בואו נראה את זה בפעולה!

בסימולציה הזו תמלאו תיבה בקוביות יחידה - שכבה אחרי שכבה. ראו ברגע ההמחשה איך הנוסחה

V = a x b x c

פועלת: כל שכבה מכילה a x b קוביות, ויש c שכבות.

דוגמה 1: נפח תיבה עם מספרים

תיבה $3 \times 4$ x 5 ס"מ

V = a \cdot b \cdot c, a = 3, b = 4, c = 5

נציב בנוסחה
$V = 3 \cdot 4 \cdot 5$
נחשב 3 כפול 4
$V = 12 \cdot 5$
נכפול ב-5
$V = 60$

תשובה:

V = 60 cm^{3}

נפח הקובייה - מקרה פרטי

בקובייה כל הממדים שווים (a = b = c = a), ולכן:

גזירת נוסחת נפח קובייה

V = a \cdot b \cdot c, a = b = c

נציב a=b=c
$V = a \cdot a \cdot a$
נסמן בחזקה
$V = a^{3}$

תשובה:

V_{קובייה} = a^{3}

נוסחת נפח של קובייה

V_{קובייה} = a^{3}

שימו לב לקשר היפה: הסימון

a^{3}

("a בשלישית" או "a מעוקב") נקרא כך בדיוק בגלל שהוא מתאר את נפח הקובייה עם מקצוע a.

נפחי קוביות

מקצוע 1 ס"מ

$V = 1^{3}$ = 1 סמ"ק - זו קוביית יחידה, יחידת הנפח הבסיסית.

מקצוע 2 ס"מ

$V = 2^{3}$ = 8 סמ"ק - נכנסות בדיוק 8 קוביות יחידה.

מקצוע 5 ס"מ

$V = 5^{3}$ = 125 סמ"ק

מקצוע 10 ס"מ

$V = 1 0^{3}$ = 1,000 סמ"ק = 1 ליטר!

מציאת מקצוע מנפח

לפעמים נתון הנפח וצריך למצוא את המקצוע. אם

V = a^{3}

, אז a = שורש שלישי של V.

נפח קובייה 125 סמ"ק, מקצוע = ?

a^{3} = 125, a = ?

נוציא שורש שלישי
$a = 3125$
כי 5 בחזקת 3 = 125
$a = 5$

תשובה:

a = 5 cm

מה גדול יותר - נפח קובייה עם מקצוע 4 ס"מ, או נפח תיבה עם ממדים 3 ס"מ, 4 ס"מ, 5 ס"מ?

מה קורה כשמשנים ממדים?

כאן מגיע אחד הרעיונות החשובים והמפתיעים ביותר בפרק. מה קורה לשטח הפנים ולנפח כשמגדילים את כל ממדי התיבה?

הגדלה פי 2 - חישוב מפורט

ניקח תיבה עם ממדים a, b, c ונגדיל כל ממד פי 2, כלומר ממדים חדשים: 2a, 2b, 2c.

שטח פנים לאחר הגדלה פי 2

S_{חדש} = 2 ((2 a) (2 b) + (2 b) (2 c) + (2 a) (2 c))

נחשב כל מכפלה (2 כפול 2 = 4)
$S_{חדש} = 2 (4 ab + 4 b c + 4 a c)$
נוציא 4 מהסוגריים
$S_{חדש} = 4 \cdot 2 (ab + b c + a c)$
נזכור: 2(ab+bc+ac) הוא S המקורי
$S_{חדש} = 4 \cdot S$

תשובה:

S_{חדש} = 4 S = 2^{2} \cdot S

נפח לאחר הגדלה פי 2

V_{חדש} = (2 a) \cdot (2 b) \cdot (2 c)

נוציא את ה-2 מכל מכפלה
$V_{חדש} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot a \cdot b \cdot c$
נכפול 2 שלוש פעמים
$V_{חדש} = 8 \cdot (ab c)$
זה 8 פעמים V המקורי
$V_{חדש} = 8 V = 2^{3} \cdot V$

תשובה:

V_{חדש} = 8 V

הכלל הכללי - הגדלה פי k

כלל ההגדלה לנפח

V_{חדש} = k^{3} \cdot V

כלל ההגדלה לשטח פנים

S_{חדש} = k^{2} \cdot S

למה? שטח הוא מכפלה של שני ממדים, לכן כל ממד תורם k, ויחד k x k =

k^{2}

. נפח הוא מכפלה של שלושה ממדים, לכן k x k x k =

k^{3}

השוו תיבות בקנה מידה - סימולציה

ראו בעין איך הנפח "מתפוצץ" ככל ש-k גדל. הסימולציה מציגה את הצורה המקורית בקו מתאר אפור, ומעליה את הצורה המוגדלת פי k - עם הערכים החיים של

k

k^{2}

k^{3}

השפעת הגדלת ממדים פי k

גורם הגדלה (k)	שינוי בשטח פנים ( $k^{2})$	שינוי בנפח ( $k^{3})$
x2	x4	x8
x3	x9	x27
x4	x16	x64
x5	x25	x125
x10	x100	x1,000

הנפח גדל הרבה יותר מהר מהשטח!

דוגמה מספרית - הגדלה פי 2

תיבה 2×3×4 ← תיבה 4×6×8

מקורי : m 2 \times 3 \times 4 / m .חדש : m 4 \times 6 \times 8 / m .

שטח מקורי
$S_{1} = 2 (2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4) = 2 \cdot 26 = 52$
שטח חדש
$S_{2} = 2 (4 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 4 \cdot 8) = 2 \cdot 104 = 208$
יחס שטחים
$\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{208}{52} = 4 = 2^{2} ✓$
נפח מקורי
$V_{1} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
נפח חדש
$V_{2} = 4 \cdot 6 \cdot 8 = 192$
יחס נפחים
$\frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{192}{24} = 8 = 2^{3} ✓$

תשובה:

\frac{S _{2}}{S _{1}} = 4, \frac{V _{2}}{V _{1}} = 8

אם נגדיל את מקצוע הקובייה פי 3 (מ-2 ס"מ ל-6 ס"מ), כמה שקיות חול של 1 סמ"ק נצטרך כדי למלא אותה, בהשוואה לקובייה המקורית?

בעיות מילוליות עם נפח

הכוח האמיתי של נוסחת הנפח מתגלה כשפותרים בעיות מהחיים. בואו נראה כמה דוגמאות.

בעיה 1: מים בבריכה

בריכה $5 \times 4$ x 2 מטר

נפחלפי m V = a \cdot b \cdot c / m .המרהממ"קלליטר.

נחשב נפח במ"ק
$V = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40 m^{3}$
נמיר - 1 מ"ק = 1000 ליטר
$V = 40 \cdot 1000 = 40, 000$

תשובה:

m 40, 000 / m ליטר

בעיה 2: אריזת קופסאות

קופסאות קטנות בתא גדול

קופסה : m 10 \times 15 \times 20 / m ס"מ.תא : m 1 / m מ"ק.

נפח קופסה אחת
$V_{קופסה} = 10 \cdot 15 \cdot 20 = 3, 000 cm^{3}$
נפח התא (המרה)
$V_{תא} = 1, 000, 000 cm^{3}$
חלוקה
$\frac{1 , 000 , 000}{3 , 000} = 333.33...$

תשובה:

m 333 / m קופסאות

שילוב אלגברה עם גאומטריה

כשאחד הממדים (או יותר) ניתן כביטוי אלגברי, אנחנו משלבים את מה שלמדנו באלגברה עם גאומטריה. בואו נראה כמה דוגמאות.

תיבה עם ממדים x, 2x, 3x

חשבונפחושטחפניםשלתיבהבממדים m x, 2 x, 3 x / m .

נפח - הכפלת שלושת הממדים
$V = x \cdot 2 x \cdot 3 x = 6 x^{3}$
שטח פנים - הצבה בנוסחה
$S = 2 (x \cdot 2 x + 2 x \cdot 3 x + x \cdot 3 x)$
חישוב מכפלות
$S = 2 (2 x^{2} + 6 x^{2} + 3 x^{2})$
איסוף איברים דומים
$S = 2 \cdot 11 x^{2} = 22 x^{2}$

תשובה:

V = 6 x^{3}, S = 22 x^{2}

קובייה עם מקצוע 2a

קובייהעםמקצוע m 2 a / m .מצאואת m V / m ואת m S / m .

נפח
$V = (2 a)^{3} = 8 a^{3}$
שטח פנים
$S = 6 (2 a)^{2} = 6 \cdot 4 a^{2} = 24 a^{2}$

תשובה:

V = 8 a^{3}, S = 24 a^{2}

תרגילים

תרגיל

תרגיל 1: נפח פשוט

מה נפח תיבה בממדים $5 \times 6$ x 10 ס"מ?

תרגיל

תרגיל 2: נפח קובייה

מה נפח קובייה עם מקצוע 7 ס"מ?

V = a^{3}, a = 7

תרגיל

תרגיל 3: עבודה לאחור

תיבה בנפח 120 סמ"ק וממדי בסיס $4 \times 5$ . מה הגובה?

V = 120, a = 4, b = 5, c = ?

תרגיל

תרגיל 4: הגדלה

הגדילו כל מקצוע של קובייה פי 5. פי כמה גדל הנפח? פי כמה גדל שטח הפנים?

תרגיל

תרגיל 5: אלגברה

תיבה בממדים 2, 3, x. הנפח הוא 48 סמ"ק. מה x?

2 \cdot 3 \cdot x = 48

תרגיל

תרגיל 6: אתגר - יחס ממדים

תיבה בממדים x, 2x, 3x. הנפח 48 סמ"ק. מצאו את x, הממדים, ושטח הפנים.

V = 6 x^{3} = 48

תרגיל

תרגיל 7: אתגר - קובייה אלגברית

שטח פנים של קובייה הוא $54 a^{2}$ (ביטוי אלגברי). מה המקצוע, ומה הנפח?

S = 54 a^{2} = 6 \cdot (?)^{2}

סיכום הנוסחאות

נוסחאות מרכזיות

גוף	נפח	שטח פנים
תיבה (a, b, c)	$V = a . b . c$	$S = 2 (ab + b c + a c)$
קובייה (מקצוע a)	$V = a^{3}$	$S = 6 a^{2}$
הגדלה פי k	V(חדש) = $k^{3}$ .V	S(חדש) = $k^{2}$ .S

למה הנפח גדל כל כך מהר?

הגדלה פי 10 בממדים גורמת לנפח לגדול פי 1,000! זו הסיבה שבעלי חיים גדולים מאבדים חום לאט יותר - שטח הפנים שלהם (דרכו בורח החום) גדל רק פי 100, אבל הנפח שלהם (שמייצר חום) גדל פי 1,000.

זו גם הסיבה שנמלים יכולות לשאת פי 50 ממשקלן: הן קטנות, לכן היחס בין נפח (משקל) לשטח חתך (חוזק) עובד לטובתן.

ועוד תופעה מדהימה: למה קוביות קרח נמסות מהר יותר כשמרסקים אותן? אותו נפח כולל (אותה כמות מים), אבל יותר קוביות קטנות = יותר שטח פנים חשוף. הסבון שוטף מהר יותר מקוביות קטנות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה הנפח של תיבה עם ממדים 2 ס"מ, 3 ס"מ, 4 ס"מ?

9 סמ"ק
24 סמ"ק
36 סמ"ק
48 סמ"ק

2.מה הנפח של קובייה עם מקצוע 3 ס"מ?

9 סמ"ק
18 סמ"ק
27 סמ"ק
81 סמ"ק

3.אם מגדילים כל מקצוע של קובייה פי 2, כיצד ישתנה הנפח?

יגדל פי 2
יגדל פי 4
יגדל פי 8
יגדל פי 16

4.אם מגדילים כל מקצוע של קובייה פי 3, כיצד ישתנה שטח הפנים?

יגדל פי 3
יגדל פי 9
יגדל פי 27
יגדל פי 6

5.תיבה עם ממדים x, 2x, 3x. מה הנפח?

6x
$6 x^{2}$
$6 x^{3}$
$6 x^{4}$

6.תיבה עם ממדים 2, 3, x. הנפח 60 סמ"ק. מה x?

7.בריכה בגודל 5 מ' x 4 מ' x 2 מ'. כמה ליטר מים יש בה?

40 ליטר
4,000 ליטר
40,000 ליטר
400,000 ליטר

8.קובייה בנפח 216 סמ"ק. מה אורך המקצוע?

4 ס"מ
6 ס"מ
8 ס"מ
36 ס"מ

9.תיבה בממדים x, 2x, 3x ונפח 162 סמ"ק. מה x?

10.שני בנים שוקלים את עצמם: אורי במשקל 40 ק"ג, גיא במשקל 80 ק"ג. אם שניהם בצורה דומה ורק הגודל שונה, פי כמה יותר גבוה גיא (בערך)?

פי 2
פי 1.26 (שורש שלישי של 2)
פי 1.41 (שורש של 2)
פי 4

מה זה נפח ולמה הוא חשוב?

מה זה נפח?

בואו נראה את זה בפעולה!

דוגמה 1: נפח תיבה עם מספרים

תיבה 3×4 x 5 ס"מ

נפח הקובייה - מקרה פרטי

גזירת נוסחת נפח קובייה

נפחי קוביות

מקצוע 1 ס"מ

מקצוע 2 ס"מ

מקצוע 5 ס"מ

מקצוע 10 ס"מ

מציאת מקצוע מנפח

נפח קובייה 125 סמ"ק, מקצוע = ?

מה קורה כשמשנים ממדים?

הגדלה פי 2 - חישוב מפורט

שטח פנים לאחר הגדלה פי 2

נפח לאחר הגדלה פי 2

הכלל הכללי - הגדלה פי k

השוו תיבות בקנה מידה - סימולציה

השפעת הגדלת ממדים פי k

דוגמה מספרית - הגדלה פי 2

תיבה 2×3×4 ← תיבה 4×6×8

בעיות מילוליות עם נפח

בעיה 1: מים בבריכה

בריכה 5×4 x 2 מטר

בעיה 2: אריזת קופסאות

קופסאות קטנות בתא גדול

שילוב אלגברה עם גאומטריה

תיבה עם ממדים x, 2x, 3x

קובייה עם מקצוע 2a

תרגילים

תרגיל 1: נפח פשוט

תרגיל 2: נפח קובייה

תרגיל 3: עבודה לאחור

תרגיל 4: הגדלה

תרגיל 5: אלגברה

תרגיל 6: אתגר - יחס ממדים

תרגיל 7: אתגר - קובייה אלגברית

סיכום הנוסחאות

נוסחאות מרכזיות

תיבה $3 \times 4$ x 5 ס"מ

בריכה $5 \times 4$ x 2 מטר