נפח התיבה

כמה מקום תופסת תיבה? נפח תיבה, נפח קובייה, ומה קורה כששינוי ממד אחד משנה הכול

פתיחה - שאלה מטרפת!

כמה קוביות סוכר בגודל 1 ס"מ צריך כדי למלא את הכיתה שלכם? נסו לנחש בעל פה. כיתה בגודל $6 \times 8$ x 3 מטר. התשובה (אל תציצו!) היא... 144,000,000 קוביות! מאה וארבעים וארבעה מיליון. כן, מתמטיקה של נפח יכולה להפתיע. עד סוף המודול הזה תבינו למה המספר הזה נכון, ואיך לחשב אותו בעצמכם.

מה זה נפח ולמה הוא חשוב?

כמה מים נכנסים לבריכה? כמה חפצים אפשר להכניס לארון? כמה אוויר יש בחדר? כל השאלות האלה שואלות על נפח - כמות המקום שגוף תלת-ממדי תופס במרחב.

במודול הזה נלמד איך לחשב נפח של תיבה וקובייה, נראה סימולציה שממלאת תיבה בקוביות, נגלה למה הגדלה פי 2 במקצוע מגדילה פי 8 בנפח, ונתרגל בעיות מהחיים.

נפח תיבה

V = a x b x c

- מילוי בקוביות יחידה

נפח קובייה

V = a^{3}

- המקרה הפרטי

שינוי ממדים

הגדלה פי k - שטח פנים גדל פי

k^{2}

, נפח גדל פי

k^{3}

בעיות מילוליות

בריכות, קופסאות, חדרים ועוד

סימולציות

בניית נפח, והשוואת שני תיבות בקנה מידה

מסלול הלמידה במודול

המודול הזה ארוך, אז נתקדם בו כמו במסלול מסודר:

נבנה נפח בעזרת קוביות יחידה ונראה מאיפה באה הנוסחה.
נעבור לקובייה כמקרה פרטי ונבין למה $a^{3}$ מתאר נפח.
נבדוק מה קורה כשמגדילים ממדים ונזהה את דפוסי $k^{2}$ ו- $k^{3}$ .
נסיים בבעיות חיים, ביחידות נפח, ובשילוב אלגברה.

מה זה נפח?

הנפח הוא מידה לכמות המקום שגוף תופס במרחב. אפשר לחשוב על נפח ככמות קוביות יחידה קטנטנות שאפשר להכניס לתוך הגוף. קובייה יחידה היא קובייה עם מקצוע באורך 1 (ס"מ, מטר, או כל יחידה אחרת).

נוסחת נפח של תיבה

V = a \cdot b \cdot c

למה הנוסחה עובדת? דמיינו שמסדרים קוביות יחידה בתוך התיבה: בשורה הראשונה נכנסות a קוביות, ברוחב יש b שורות, וזה נותן a x b קוביות בשכבה אחת. בגובה יש c שכבות כאלה, ולכן סה"כ a x b x c קוביות.

בואו נראה את זה בפעולה!

בסימולציה הזו תמלאו תיבה בקוביות יחידה - שכבה אחרי שכבה. ראו ברגע ההמחשה איך הנוסחה $V = a x b x c$ פועלת: כל שכבה מכילה a x b קוביות, ויש c שכבות.

טוען סימולציה...

דוגמה 1: נפח תיבה עם מספרים

תיבה $3 \times 4$ x 5 ס"מ

שלב 1 מתוך 3

V = a \cdot b \cdot c, a = 3, b = 4, c = 5

נציב בנוסחה

V = 3 \cdot 4 \cdot 5

עוצרים לסדר: תיבה מול קובייה

עד כאן חישבנו נפח של תיבה כללית. עכשיו נעצור לרגע ונבדוק מה משתנה כשכל שלושת הממדים נעשים שווים.

בתיבה כללית משתמשים ב- $a \cdot b \cdot c$ .
בקובייה, כי כל הממדים שווים, אפשר לקצר ל- $a^{3}$ .
בשני המקרים היחידה היא סמ"ק, ליטר או כל יחידת נפח אחרת, לא סמ"ר.

נפח הקובייה - מקרה פרטי

בקובייה כל הממדים שווים (a = b = c = a), ולכן:

גזירת נוסחת נפח קובייה

שלב 1 מתוך 2

V = a \cdot b \cdot c, a = b = c

נציב a=b=c

V = a \cdot a \cdot a

נוסחת נפח של קובייה

V_{קובייה} = a^{3}

שימו לב לקשר היפה: הסימון $a^{3}$ ("a בשלישית" או "a מעוקב") נקרא כך בדיוק בגלל שהוא מתאר את נפח הקובייה עם מקצוע a.

נפחי קוביות

מקצוע 1 ס"מ

$V = 1^{3}$ = 1 סמ"ק - זו קוביית יחידה, יחידת הנפח הבסיסית.

מקצוע 2 ס"מ

$V = 2^{3}$ = 8 סמ"ק - נכנסות בדיוק 8 קוביות יחידה.

מקצוע 5 ס"מ

$V = 5^{3}$ = 125 סמ"ק

מקצוע 10 ס"מ

$V = 1 0^{3}$ = 1,000 סמ"ק = 1 ליטר!

מציאת מקצוע מנפח

לפעמים נתון הנפח וצריך למצוא את המקצוע. אם $V = a^{3}$ , אז a = שורש שלישי של V.

נפח קובייה 125 סמ"ק, מקצוע = ?

שלב 1 מתוך 2

a^{3} = 125, a = ?

נוציא שורש שלישי

a = 3125

שאלה לחשיבה

מה גדול יותר - נפח קובייה עם מקצוע 4 ס"מ, או נפח תיבה עם ממדים 3 ס"מ, 4 ס"מ, 5 ס"מ?

נפח הקובייה: 4^3 = 64 סמ"ק.
נפח התיבה: $3 \times 4$ x 5 = 60 סמ"ק.
לכן הקובייה גדולה יותר (64 > 60), למרות שהתיבה ארוכה יותר ורחבה יותר! הפתעה!

מה קורה כשמשנים ממדים?

כאן מגיע אחד הרעיונות החשובים והמפתיעים ביותר בפרק. מה קורה לשטח הפנים ולנפח כשמגדילים את כל ממדי התיבה?

נחשו לפני שתחשבו!

לפני שאנחנו מגלים - נסו לנחש: אם מכפילים את כל ממדי התיבה פי 2 (כל מקצוע פי 2), פי כמה גדל הנפח? פי 2? פי 4? פי 6? פי 8? רבים מאוד מנחשים פי 2, אבל התשובה מפתיעה.

הגדלה פי 2 - חישוב מפורט

ניקח תיבה עם ממדים a, b, c ונגדיל כל ממד פי 2, כלומר ממדים חדשים: 2a, 2b, 2c.

שטח פנים לאחר הגדלה פי 2

שלב 1 מתוך 3

S_{חדש} = 2 ((2 a) (2 b) + (2 b) (2 c) + (2 a) (2 c))

נחשב כל מכפלה (2 כפול 2 = 4)

S_{חדש} = 2 (4 ab + 4 b c + 4 a c)

נפח לאחר הגדלה פי 2

שלב 1 מתוך 3

V_{חדש} = (2 a) \cdot (2 b) \cdot (2 c)

נוציא את ה-2 מכל מכפלה

V_{חדש} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot a \cdot b \cdot c

הכלל הכללי - הגדלה פי k

כלל ההגדלה לנפח

V_{חדש} = k^{3} \cdot V

כלל ההגדלה לשטח פנים

S_{חדש} = k^{2} \cdot S

למה? שטח הוא מכפלה של שני ממדים, לכן כל ממד תורם k, ויחד k x k = $k^{2}$ . נפח הוא מכפלה של שלושה ממדים, לכן k x k x k = $k^{3}$ .

השוו תיבות בקנה מידה - סימולציה

ראו בעין איך הנפח "מתפוצץ" ככל ש-k גדל. הסימולציה מציגה את הצורה המקורית בקו מתאר אפור, ומעליה את הצורה המוגדלת פי k - עם הערכים החיים של $k$ , $k^{2}$ , $k^{3}$ .

טוען סימולציה...

השפעת הגדלת ממדים פי k

גורם הגדלה (k)	שינוי בשטח פנים ( $k^{2})$	שינוי בנפח ( $k^{3})$
x2	x4	x8
x3	x9	x27
x4	x16	x64
x5	x25	x125
x10	x100	x1,000

* הנפח גדל הרבה יותר מהר מהשטח!

דוגמה מספרית - הגדלה פי 2

תיבה 2×3×4 ← תיבה 4×6×8

שלב 1 מתוך 6

מקורי:

2 \times 3 \times 4

. חדש:

4 \times 6 \times 8

שטח מקורי

S_{1} = 2 (2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4) = 2 \cdot 26 = 52

שאלה לחשיבה

אם נגדיל את מקצוע הקובייה פי 3 (מ-2 ס"מ ל-6 ס"מ), כמה שקיות חול של 1 סמ"ק נצטרך כדי למלא אותה, בהשוואה לקובייה המקורית?

קובייה מקורית: $V = 2^{3}$ = 8 סמ"ק, צריך 8 שקיות.
קובייה חדשה: $V = 6^{3}$ = 216 סמ"ק, צריך 216 שקיות.
יחס: 216 / 8 = 27 (= 3^3). צריך פי 27 יותר חול!

בעיות מילוליות עם נפח

הכוח האמיתי של נוסחת הנפח מתגלה כשפותרים בעיות מהחיים. בואו נראה כמה דוגמאות.

בעיה 1: מים בבריכה

בריכה $5 \times 4$ x 2 מטר

שלב 1 מתוך 2

נפח לפי

V = a \cdot b \cdot c

. המרה ממ"ק לליטר.

נחשב נפח במ"ק

V = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40 m^{3}

בעיה 2: אריזת קופסאות

קופסאות קטנות בתא גדול

שלב 1 מתוך 3

קופסה:

10 \times 15 \times 20

ס"מ. תא:

1

מ"ק.

נפח קופסה אחת

V_{קופסה} = 10 \cdot 15 \cdot 20 = 3, 000 cm^{3}

שילוב אלגברה עם גאומטריה

כשאחד הממדים (או יותר) ניתן כביטוי אלגברי, אנחנו משלבים את מה שלמדנו באלגברה עם גאומטריה. בואו נראה כמה דוגמאות.

תיבה עם ממדים x, 2x, 3x

שלב 1 מתוך 4

חשבו נפח ושטח פנים של תיבה בממדים

x, 2 x, 3 x

נפח - הכפלת שלושת הממדים

V = x \cdot 2 x \cdot 3 x = 6 x^{3}

קובייה עם מקצוע 2a

שלב 1 מתוך 2

קובייה עם מקצוע

2 a

. מצאו את

V

ואת

S

נפח

V = (2 a)^{3} = 8 a^{3}

טעות נפוצה בחזקות

זכרו: $(2 a)^{3} = 8 a^{3}$ ולא $2 a^{3}$ !
צריך להעלות בחזקה את כל הביטוי שבתוך הסוגריים.

$(2 a)^{3} = (2 a) . (2 a) . (2 a)$
= 2 . 2 . 2 . a . a . a
$= 8 a^{3}$

תרגילים

תרגיל 1: נפח פשוט

בסיסי

מה נפח תיבה בממדים $5 \times 6$ x 10 ס"מ?

תרגיל 2: נפח קובייה

בסיסי

מה נפח קובייה עם מקצוע 7 ס"מ?

V = a^{3}, a = 7

תרגיל 3: עבודה לאחור

בינוני

תיבה בנפח 120 סמ"ק וממדי בסיס $4 \times 5$ . מה הגובה?

V = 120, a = 4, b = 5, c = ?

תרגיל 4: הגדלה

בינוני

הגדילו כל מקצוע של קובייה פי 5. פי כמה גדל הנפח? פי כמה גדל שטח הפנים?

תרגיל 5: אלגברה

בינוני

תיבה בממדים 2, 3, x. הנפח הוא 48 סמ"ק. מה x?

2 \cdot 3 \cdot x = 48

תרגיל 6: אתגר - יחס ממדים

מאתגר

תיבה בממדים x, 2x, 3x. הנפח 48 סמ"ק. מצאו את x, הממדים, ושטח הפנים.

V = 6 x^{3} = 48

תרגיל 7: אתגר - קובייה אלגברית

מאתגר

שטח פנים של קובייה הוא $54 a^{2}$ (ביטוי אלגברי). מה המקצוע, ומה הנפח?

S = 54 a^{2} = 6 \cdot (?)^{2}

סיכום הנוסחאות

נוסחאות מרכזיות

גוף	נפח	שטח פנים
תיבה (a, b, c)	$V = a . b . c$	$S = 2 (ab + b c + a c)$
קובייה (מקצוע a)	$V = a^{3}$	$S = 6 a^{2}$
הגדלה פי k	V(חדש) = $k^{3}$ .V	S(חדש) = $k^{2}$ .S

הגדלה פי 10 בממדים גורמת לנפח לגדול פי 1,000! זו הסיבה שבעלי חיים גדולים מאבדים חום לאט יותר - שטח הפנים שלהם (דרכו בורח החום) גדל רק פי 100, אבל הנפח שלהם (שמייצר חום) גדל פי 1,000.

זו גם הסיבה שנמלים יכולות לשאת פי 50 ממשקלן: הן קטנות, לכן היחס בין נפח (משקל) לשטח חתך (חוזק) עובד לטובתן.

ועוד תופעה מדהימה: למה קוביות קרח נמסות מהר יותר כשמרסקים אותן? אותו נפח כולל (אותה כמות מים), אבל יותר קוביות קטנות = יותר שטח פנים חשוף. הסבון שוטף מהר יותר מקוביות קטנות.

בניין Kaaba במכה, ערב הסעודית, הוא בערך קובייה (משם השם - الكعبة בערבית). המבנה בגובה כ-13.1 מטר ובסיס של כ- $12 \times 11$ מטר - לא קובייה מושלמת אבל קרוב.

ויש גם את Atomium בבריסל - קובייה ענקית של 9 כדורים במבנה של גביש ברזל, מוגדלת 165 מיליארד פעמים. המקצוע שלה 102 מטר. זה פי 10 מיליארד יותר מקוביית סוכר - פי 10^30 בנפח!

שאלה 1 מתוך 10

שני בנים שוקלים את עצמם: אורי במשקל 40 ק"ג, גיא במשקל 80 ק"ג. אם שניהם בצורה דומה ורק הגודל שונה, פי כמה יותר גבוה גיא (בערך)?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של נפח התיבה כבר מוכן.

פתחו תרגול

נפח התיבה

פתיחה - שאלה מטרפת!

מה זה נפח ולמה הוא חשוב?

מסלול הלמידה במודול

מה זה נפח?

בואו נראה את זה בפעולה!

דוגמה 1: נפח תיבה עם מספרים

תיבה 3×4 x 5 ס"מ

עוצרים לסדר: תיבה מול קובייה

נפח הקובייה - מקרה פרטי

גזירת נוסחת נפח קובייה

נפחי קוביות

מקצוע 1 ס"מ

מקצוע 2 ס"מ

מקצוע 5 ס"מ

מקצוע 10 ס"מ

מציאת מקצוע מנפח

נפח קובייה 125 סמ"ק, מקצוע = ?

שאלה לחשיבה

מה קורה כשמשנים ממדים?

נחשו לפני שתחשבו!

הגדלה פי 2 - חישוב מפורט

שטח פנים לאחר הגדלה פי 2

נפח לאחר הגדלה פי 2

הכלל הכללי - הגדלה פי k

השוו תיבות בקנה מידה - סימולציה

השפעת הגדלת ממדים פי k

דוגמה מספרית - הגדלה פי 2

תיבה 2×3×4 ← תיבה 4×6×8

שאלה לחשיבה

בעיות מילוליות עם נפח

בעיה 1: מים בבריכה

בריכה 5×4 x 2 מטר

בעיה 2: אריזת קופסאות

קופסאות קטנות בתא גדול

שילוב אלגברה עם גאומטריה

תיבה עם ממדים x, 2x, 3x

קובייה עם מקצוע 2a

טעות נפוצה בחזקות

תרגילים

תרגיל 1: נפח פשוט

תרגיל 2: נפח קובייה

תרגיל 3: עבודה לאחור

תרגיל 4: הגדלה

תרגיל 5: אלגברה

תרגיל 6: אתגר - יחס ממדים

תרגיל 7: אתגר - קובייה אלגברית

סיכום הנוסחאות

נוסחאות מרכזיות

למה הנפח גדל כל כך מהר?

הקובייה הגדולה ביותר בעולם

שני בנים שוקלים את עצמם: אורי במשקל 40 ק"ג, גיא במשקל 80 ק"ג. אם שניהם בצורה דומה ורק הגודל שונה, פי כמה יותר גבוה גיא (בערך)?