גרסת הדפסה | החוברת

המרחק מאפס - תמיד חיובי, תמיד פשוט

כמה רחוק מאפס?

לפעמים אנחנו רוצים לדעת רק כמה גדול מספר, בלי להתייחס לסימן שלו. למשל, $- 5$ ו- $5$ הם שונים, אבל שניהם רחוקים 5 יחידות מאפס. הגודל הזה נקרא ערך מוחלט.

ערך מוחלט מודד את המרחק של מספר מאפס על ציר המספרים, ללא קשר לכיוון.

מה זה ערך מוחלט?: הגדרה וסימון
כללים חשובים: תכונות הערך המוחלט
שימושים: מרחקים, השוואות ומשוואות

הגדרה - מה זה ערך מוחלט?

הסימון

∣ a ∣

(שני קווים אנכיים מסביב למספר) אומר: "המרחק של

a

מאפס". לדוגמה:

$∣5∣ = 5$

5

נמצא 5 יחידות מאפס (ימינה)

$∣ - 5∣ = 5$

- 5

נמצא גם 5 יחידות מאפס (שמאלה)

$∣0∣ = 0$

אפס נמצא 0 יחידות מעצמו

כללי הערך המוחלט

תכונות חשובות

תמיד חיובי או אפס

$∣ a ∣ \geq 0$ תמיד
מרחק לא יכול להיות שלילי!

מספרים נגדיים - אותו ערך

$∣ a ∣ = ∣ - a ∣$
דוגמה: $∣5∣ = ∣ - 5∣ = 5$

חיובי או אפס - נשאר כמו שהוא

אם $a \geq 0$ , אז $∣ a ∣ = a$
דוגמה: $∣7∣ = 7$

שלילי - הופך לחיובי

אם $a < 0$ , אז $∣ a ∣ = - a$
דוגמה: $∣ - 7∣ = - (- 7) = 7$

ההגדרה הפורמלית

דוגמאות פתורות

נסו בעצמכם - המרחק מאפס

הזיזו את המספר ובדקו מה נשאר קבוע: הסימן יכול להשתנות, אבל המרחק מאפס נמדד תמיד כחיובי.

המרחק מאפס - אותו מרחק, סימנים הפוכים

חישוב ערך מוחלט

חישוב בסיסי

חשבו $∣ - 7∣$ ו- $∣7∣$ .
פתרון:
$∣ - 7∣ = 7$ (המרחק של $- 7$ מאפס)
$∣7∣ = 7$ (המרחק של $7$ מאפס)
שתי התוצאות זהות!

השוואת ערכים מוחלטים

האם $∣ - 12∣ > ∣8∣$ ?
פתרון:
$∣ - 12∣ = 12$
$∣8∣ = 8$
כן, $12 > 8$ , כך שהטענה נכונה.

משוואה עם ערך מוחלט

אם $∣ x ∣ = 6$ , מה ערכי $x$ האפשריים?
פתרון:
$x = 6$ או $x = - 6$
שני המספרים רחוקים 6 יחידות מאפס.

המרחק בין שתי נקודות על ציר

שתי ערים בנקודות - 50 ו- 30 . מה המרחק ביניהן?

המרחק בין שתי נקודות על ציר הוא הערך המוחלט של ההפרש שלהן.
$d = ∣ a - b ∣$
מציבים את הערכים. הסדר אינו משנה - הערך המוחלט יחזיר תמיד מספר אי-שלילי.
$d = ∣ (- 50) - 30∣$
מחשבים קודם את הביטוי בתוך הערך המוחלט.
$d = ∣ - 80∣$
לוקחים את הערך המוחלט - הופך לחיובי.
$d = 80$

תשובה:

d = 80 יחידות

תרגיל

תרגול: מרחק בין נקודות

מצאו את המרחק בין הנקודות $- 12$ ו- $5$ על ציר המספרים.

d = ∣ a - b ∣

ערך מוחלט בחיים

ערך מוחלט משמש בהרבה מקומות כשאנחנו רוצים לדבר על גודל בלי כיוון:

כמה קר או חם?

"כמה קרה הטמפרטורה?" הכוונה לערך המוחלט.

- 8

מעלות ו-

8

מעלות שתיהן במרחק 8 מאפס.
הטמפרטורה "רחוקה" 8 מעלות מנקודת הקפאה.

כמה רחוק?

"כמה רחוק מהבית?" - לא משנה לאיזה כיוון.
5 ק"מ צפונה ו-5 ק"מ דרומה - שניהם 5 ק"מ מהבית.
זה ערך מוחלט!

האם $∣ - 12∣ + ∣3∣$ שווה ל- $∣ - 12 + 3∣$ ?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו ערך מוחלט של מספר?

הסימן של המספר
המרחק של המספר מאפס
הגודל של המספר כפול 2
הכיוון של המספר

2.מהו $∣ - 15∣$ ?

-15
15
0
לא ניתן לחשב

3.לאילו מספרים יש אותו ערך מוחלט?

8 ו- $(- 8)$
5 ו- $(- 6)$
0 ו- $(- 1)$
3 ו-6

4.אם $∣ x ∣ = 20$ , מה ערכי $x$ האפשריים?

רק 20
רק -20
20 ו- $(- 20)$
אין פתרון

5.מהו $∣ - 8∣ + ∣3∣$ ?

-5
11
5
-11

6.האם $∣ - 4 + 6∣$ שווה ל- $∣ - 4∣ + ∣6∣$ ?

כן, שניהם שווים ל-10
לא. $∣ - 4 + 6∣ = 2$ אבל $∣ - 4∣ + ∣6∣ = 10$
כן, שניהם שווים ל-2
לא ניתן לחשב

7.שתי נקודות על ציר המספרים נמצאות ב- $- 15$ וב- $9$ . מה המרחק ביניהן?