גרסת הדפסה | החוברת

חישוב אורך קטעים אופקיים ואנכיים

כמה רחוק?

עכשיו שאנחנו יודעים לסמן נקודות במערכת צירים, נלמד לחשב מרחקים בין נקודות. נתחיל עם קטעים אופקיים (על ציר $x$ ) ואנכיים (על ציר $y$ ) - אלה המקרים הקלים ביותר.

קטע אופקי: שתי נקודות עם אותו $y$
קטע אנכי: שתי נקודות עם אותו $x$
נוסחה: הפרש בערך מוחלט

קטע אופקי

קטע אופקי מחבר שתי נקודות עם אותו ערך

y

. האורך שלו תלוי רק בהפרש ערכי

x

אורך קטע אופקי

אורך = ∣ x_{1} - x_{2} ∣

קטע אנכי

קטע אנכי מחבר שתי נקודות עם אותו ערך

x

. האורך שלו תלוי רק בהפרש ערכי

y

אורך קטע אנכי

אורך = ∣ y_{1} - y_{2} ∣

תמונה הממחישה את חישוב המרחק האופקי והאנכי במערכת צירים בעזרת ערך מוחלט — בקטע אופקי או אנכי משתמשים בערך מוחלט של ההפרש, ולכן המרחק המתקבל תמיד חיובי.

נסו בעצמכם - מודדים על המישור

בחרו שתי נקודות בעלות אותו

x

או אותו

y

, ובדקו איך ההפרש ביניהן מופיע מיד גם כ-

Δ x

או כ-

Δ y

וגם כמרחק חיובי.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: קטע אופקי

מהואורךהקטעביןהנקודות m (- 3, 1) / m ל - m (4, 1) / m ?

שתי הנקודות עם אותו $y = 1$ ← קטע אופקי.
$אורך = ∣ x_{1} - x_{2} ∣$
מציבים:
$∣ - 3 - 4∣ = ∣ - 7∣$
ערך מוחלט:
$∣ - 7∣ = 7$

תשובה:

7

דוגמה 2: קטע אנכי בשליליים

מהואורךהקטעביןהנקודות m (2, - 5) / m ל - m (2, - 1) / m ?

שתי הנקודות עם אותו $x = 2$ ← קטע אנכי.
$אורך = ∣ y_{1} - y_{2} ∣$
מציבים בזהירות - שים לב לסוגריים:
$∣ - 5 - (- 1) ∣ = ∣ - 5 + 1∣ = ∣ - 4∣$
ערך מוחלט:
$∣ - 4∣ = 4$

תשובה:

4

עוד דוגמאות

קטע אופקי - חיוביים

בין $(1, 2)$ ל- $(7, 2)$
פתרון: $y$ זהה (2)
אורך = $∣1 - 7∣ = 6$

קטע אופקי - חוצה אפס

בין $(- 3, 1)$ ל- $(4, 1)$
פתרון: $y$ זהה (1)
אורך = $∣ - 3 - 4∣ = 7$

קטע אנכי - חוצה אפס

בין $(- 1, - 3)$ ל- $(- 1, 4)$
פתרון: $x$ זהה ( $- 1)$
אורך = $∣ - 3 - 4∣ = 7$

קטע במצב כללי

בין $(- 5, - 2)$ ל- $(- 5, - 8)$
פתרון: $x$ זהה ( $- 5)$
אורך = $∣ - 2 - (- 8) ∣ = 6$

למה צריך ערך מוחלט?

מרחק תמיד חיובי! אם נחשב את ההפרש בלי ערך מוחלט, נוכל לקבל מספר שלילי - וזה לא הגיוני למרחק. הערך המוחלט מבטיח שהתוצאה תהיה חיובית, לא משנה באיזה סדר אנחנו מחסרים.

שיטה מהירה: נקודות משני צדי האפס

מהחיים: בעיות מעשיות

מרחקים בעולם האמיתי

GPS של שני אופנועים

אופנוע 1 נמצא ב- $(- 4, 6)$ , אופנוע 2 ב- $(9, 6)$ (יחידות בק"מ). מהו המרחק האופקי ביניהם?
פתרון: $y$ זהה ← אופקי
מרחק = $∣ - 4 - 9∣ = 13$ ק"מ.

אסימטרי בין שני גגות

גג א' בגובה $y = - 2$ מתחת לרצפת הבית. גג ב' בגובה $y = 5$ מעל. שניהם באותה עמודה של $x$ . מה ההבדל בגובה?
פתרון: $∣ - 2 - 5∣ = ∣ - 7∣ = 7$ מטרים.

מדידת עץ על גרף

הבסיס של עץ נמצא ב- $(3, 0)$ והקצה העליון ב- $(3, 12)$ . מה גובה העץ?
פתרון: $x$ זהה ← אנכי
גובה = $∣0 - 12∣ = 12$ מטרים.

טעויות נפוצות

מהו אורך הקטע בין $(- 5, 3)$ ל- $(8, 3)$ ?

שתי נקודות: $A (3, 4)$ ו- $B (3, 4)$ . מהו המרחק ביניהן?

מרחק כללי בין שתי נקודות - משפט פיתגורס במסווה

מה אם הקטע לא אופקי ולא אנכי? בכיתות הגבוהות נלמד את נוסחת המרחק: המרחק בין

(x_{1}, y_{1})

ל-

(x_{2}, y_{2})

הוא:

d = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}

הנוסחה מבוססת על משפט פיתגורס! מייצרים משולש ישר זווית כש-

∣ x_{1} - x_{2} ∣

ו-

∣ y_{1} - y_{2} ∣

הם הניצבים, ו-

d

הוא היתר. פיתגורס אומר:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, ומכאן נובעת הנוסחה.

עובדה מרתקת: אותה נוסחה בדיוק משמשת את Google Maps כשהיא מחשבת מרחק "במסלול ישר" בין שני מקומות. היא גם הבסיס של כל אלגוריתם ראייה ממוחשבת - הזיהוי של פנים, מכוניות אוטונומיות, ועוד.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו אורך הקטע האופקי בין $(2, 3)$ ל- $(7, 3)$ ?

5
9
3
-5

2.מהו אורך הקטע בין $(- 3, 1)$ ל- $(4, 1)$ ?

1
7
-7
3

3.מהו אורך הקטע האנכי בין $(2, - 5)$ ל- $(2, 3)$ ?

2
8
-8
5

4.למה משתמשים בערך מוחלט לחישוב מרחקים?

כי מרחק תמיד חיובי
כי זה יותר מדויק
כי הנוסחה דורשת זאת
כי בלי זה לא ניתן לחשב

5.מה המרחק בין $(- 5, 0)$ ל- $(3, 0)$ ?

2
8
-8
5