גרסת הדפסה | החוברת

שילוב כל מה שלמדנו - אלגברה ומספרים מכוונים יחד

כשהאלגברה פוגשת את המכוונים

עכשיו שאנחנו יודעים לעבוד עם מספרים מכוונים, אנחנו יכולים לפתור משוואות שכוללות מספרים שליליים. הכללים נשארים אותו דבר - עושים את אותה פעולה בשני האגפים.

העיקרון: מה שעושים לצד אחד, עושים גם לשני
עם שליליים: הכל עובד אותו דבר, רק עם סימנים
בדיקה: תמיד בדקו את הפתרון בהצבה!

עקרון הפתרון - המאזניים

כלל החיבור והחיסור

a = b ⟺ a \pm c = b \pm c

כלל הכפל והחילוק

a = b ⟺ a \times c = b \times c (c \neq = 0)

דוגמאות פתורות - צעד אחר צעד

דוגמה 1: חיבור פשוט

x + 5 = 12

כדי לבודד את $x$ , מחסרים 5 משני האגפים:
$x + 5 - 5 = 12 - 5$
פישוט:
$x = 7$
בדיקה: מציבים $x = 7$ במשוואה המקורית:
$7 + 5 = 12 ✓$

תשובה:

x = 7

דוגמה 2: תוצאה שלילית

x + 4 = - 2

מחסרים 4 משני האגפים:
$x + 4 - 4 = - 2 - 4$
בצד ימין: שלילי מינוס חיובי = יותר שלילי:
$x = - 6$
בדיקה:
$(- 6) + 4 = - 2 ✓$

תשובה:

x = - 6

דוגמה 3: משוואה עם חיסור שלילי

x - (- 3) = 7

קודם כל מפשטים: חיסור של שלילי = חיבור של חיובי:
$x + 3 = 7$
מחסרים 3 משני האגפים:
$x = 4$
בדיקה:
$4 - (- 3) = 4 + 3 = 7 ✓$

תשובה:

x = 4

דוגמה 4: מקדם שלילי למשתנה

- x = 7

$- x$ זה בעצם $(- 1) \times x$ . לבודד את $x$ דורש חלוקה ב- $- 1$ (או כפל):
$(- 1) \times (- x) = (- 1) \times 7$
$(- 1) \times (- x) = x$ , ו- $(- 1) \times 7 = - 7$ :
$x = - 7$
בדיקה: $- (- 7) = 7$
$- (- 7) = 7 ✓$

תשובה:

x = - 7

דוגמה 5: משוואה דו-שלבית

2 x - 5 = 11

שלב 1 - מעבירים את הקבוע: מוסיפים 5 לשני האגפים:
$2 x = 16$
שלב 2 - מחלקים את שני האגפים ב-2:
$x = 8$
בדיקה:
$2 (8) - 5 = 16 - 5 = 11 ✓$

תשובה:

x = 8

דוגמה 6: מקדם שלילי - היזהרו!

- 2 x + 3 = 7

מחסרים 3 משני האגפים:
$- 2 x = 4$
מחלקים ב- $- 2$ . סימן שלילי חלקי שלילי = חיובי, אבל חיובי חלקי שלילי = שלילי:
$x = \frac{4}{- 2} = - 2$
בדיקה:
$- 2 \times (- 2) + 3 = 4 + 3 = 7 ✓$

תשובה:

x = - 2

שיטת הפתרון - סיכום

צעדים לפתרון משוואה עם מכוונים

צעד 1: פשוטים

חיסור של שלילי

$a - (- b)$ הופך ל- $a + b$
$a + (- b)$ הופך ל- $a - b$
פותחים סוגריים לפני הכל

צעד 2: בודדים

העבירו מספרים

כל מה שלא $x$ לצד אחד
כל ה- $x$ לצד השני
הפעולה ההפוכה עובדת: +↔-, ×↔÷

צעד 3: בודקים

הציבו חזרה

הציבו את הפתרון
בדקו שהאגפים שווים
אם לא - חפשו טעות סימן

סדנה אינטראקטיבית: לפתור עם מינוסים

מהחיים: בעיות אמיתיות

משוואות מהעולם האמיתי

טמפרטורה יורדת

הטמפרטורה הייתה $5^{\circ}$ , ירדה ב- $x$ מעלות, ועכשיו היא $- 3^{\circ}$ . בכמה ירדה?
משוואה: $5 - x = - 3$
פתרון: $- x = - 8 \Rightarrow x = 8$
הטמפרטורה ירדה ב-8 מעלות.

חשבון בנק משתנה

יתרה של דנה הייתה $- 50$ שקלים (חוב). היא הפקידה $x$ שקלים, ועכשיו היתרה היא $120$ שקלים. כמה הפקידה?
משוואה: $- 50 + x = 120$
פתרון: $x = 170$
דנה הפקידה 170 שקלים.

צוללת עולה

צוללת הייתה בעומק $- 80$ מטר. היא עלתה $x$ מטרים לדקה במשך $5$ דקות והגיעה לעומק $- 30$ . מה המהירות (במ'/דקה)?
משוואה: $- 80 + 5 x = - 30$
פתרון: $5 x = 50 \Rightarrow x = 10$
הצוללת עלתה במהירות של 10 מ'/דקה.

טעויות נפוצות - הכי חשובות!

מלכודות הסימן - התקלו בהן ולמדו

הטעויות הנפוצות ביותר במשוואות עם שליליים הן טעויות סימן. לכן חשוב מאוד לבדוק את הפתרון בהצבה. הציבו את $x$ בחזרה במשוואה המקורית ובדקו ששני האגפים שווים.

טעות: שוכחים את הסימן של $x$ כשמחלקים. במשוואה $- 2 x = 4$ צריך לחשב $4 \div (- 2)$ : התשובה הנכונה היא $x = - 2$ , לא $x = 2$ .
טעות: חיסור של שלילי. $x - (- 3) = x - 3$ (שגוי). הנכון: $x - (- 3) = x + 3$ .
טעות: העברה לאגף השני בלי לשנות סימן. אם $x + 5 = 12$ , אז $x = 12 + 5$ (שגוי). הנכון: $x = 12 - 5 = 7$ .
בדיקה תמיד מגלה טעות! אם לא יוצא שווה - חזרו על החישוב.

נכון מול לא נכון - העברת איברים

טעות נפוצה

פתרון $x + 5 = - 3$ :
"אני מעביר את ה-5":
$x = - 3 + 5 = 2$

שגוי!

כשמעבירים מספר - הופכים את הסימן

הדרך הנכונה

פתרון $x + 5 = - 3$ :
מחסרים 5 משני הצדדים:
$x = - 3 - 5 = - 8$

נכון!

$+ 5$ עובר אגף ונהפך ל- $- 5$ . הסימן הופך!

כשאיבר עובר אגף, הסימן שלו מתהפך - כך שומרים על השוויון.

אם $- 3 x = 12$ , מה $x$ ?

משוואות עם משתנה בשני אגפים

בהמשך נלמד לפתור משוואות שבהן המשתנה מופיע בשני האגפים, למשל:

3 x - 5 = x + 7

. הרעיון אותו דבר - מעבירים את כל ה-

x

לצד אחד ואת המספרים לצד שני. עם מספרים שליליים זה הופך לעוד יותר חשוב לשים לב לסימנים.

סיפור מגניב: המתמטיקאי אל-חוואריזמי (במחצית הראשונה של המאה ה-9) - שממנו מגיעה המילה "אלגברה" - לא נהג לעבוד עם מספרים שליליים כפתרונות. משוואה שפתרונה שלילי נחשבה 'בלתי פתירה'. רק במאה ה-17 מתמטיקאים אירופאים קיבלו את הפתרונות השליליים. אתם לומדים עכשיו משהו שלקח לאנושות 800 שנה להבין!

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.פתרו: $x + 4 = - 2$

$x = 6$
$x = - 6$
$x = 2$
$x = - 2$

2.פתרו: $3 x = - 12$

$x = - 4$
$x = 4$
$x = - 36$
$x = 36$

3.פתרו: $- x = 10$

$x = 10$
$x = - 10$
$x = 0$
$x = 20$

4.פתרו: $2 x - 3 = 5$

$x = 4$
$x = 1$
$x = 8$
$x = - 4$

5.פתרו: $- 3 x = 15$

$x = 5$
$x = - 5$
$x = - 45$
$x = 45$