משוואות עם מספרים שליליים

שילוב כל מה שלמדנו - אלגברה ומספרים מכוונים יחד

חידת פתיחה

טמפרטורה בחוץ הייתה $5^{\circ} C$ . היא ירדה ב- $x$ מעלות, ועכשיו היא $- 3^{\circ} C$ . בכמה מעלות ירדה? נכתוב משוואה: $5 - x = - 3$ . איך פותרים משוואה כזאת? האם הסימן של $x$ ישתנה? זה מה שנגלה.

כשהאלגברה פוגשת את המכוונים

עכשיו שאנחנו יודעים לעבוד עם מספרים מכוונים, אנחנו יכולים לפתור משוואות שכוללות מספרים שליליים. הכללים נשארים אותו דבר - עושים את אותה פעולה בשני האגפים.

העיקרון

מה שעושים לצד אחד, עושים גם לשני

עם שליליים

הכל עובד אותו דבר, רק עם סימנים

בדיקה

תמיד בדקו את הפתרון בהצבה!

עקרון הפתרון - המאזניים

עיקרון הפתרון: כדי לפתור משוואה, אנו מבודדים את המשתנה בצד אחד. מה שעושים באגף אחד, חייבים לעשות גם באגף השני כדי לשמור על שוויון.

חשבו על משוואה כמאזניים: אם מוסיפים משקל לצד אחד, צריך להוסיף אותו משקל לצד השני כדי לשמור על איזון.

כלל החיבור והחיסור

a = b ⟺ a \pm c = b \pm c

כלל הכפל והחילוק

a = b ⟺ a \times c = b \times c (c \neq = 0)

דוגמאות פתורות - צעד אחר צעד

דוגמה 1: חיבור פשוט

שלב 1 מתוך 3

x + 5 = 12

כדי לבודד את $x$ , מחסרים 5 משני האגפים:

x + 5 - 5 = 12 - 5

דוגמה 2: תוצאה שלילית

שלב 1 מתוך 3

x + 4 = - 2

מחסרים 4 משני האגפים:

x + 4 - 4 = - 2 - 4

דוגמה 3: משוואה עם חיסור שלילי

שלב 1 מתוך 3

x - (- 3) = 7

קודם כל מפשטים: חיסור של שלילי = חיבור של חיובי:

x + 3 = 7

דוגמה 4: מקדם שלילי למשתנה

שלב 1 מתוך 3

- x = 7

$- x$ זה בעצם $(- 1) \times x$ . לבודד את $x$ דורש חלוקה ב- $- 1$ (או כפל):

(- 1) \times (- x) = (- 1) \times 7

דוגמה 5: משוואה דו-שלבית

שלב 1 מתוך 3

2 x - 5 = 11

שלב 1 - מעבירים את הקבוע: מוסיפים 5 לשני האגפים:

2 x = 16

דוגמה 6: מקדם שלילי - היזהרו!

שלב 1 מתוך 3

- 2 x + 3 = 7

מחסרים 3 משני האגפים:

- 2 x = 4

שיטת הפתרון - סיכום

צעדים לפתרון משוואה עם מכוונים

צעד 1: פשוטים

חיסור של שלילי

$a - (- b)$ הופך ל- $a + b$

$a + (- b)$ הופך ל- $a - b$

פותחים סוגריים לפני הכל

צעד 2: בודדים

העבירו מספרים

כל מה שלא $x$ לצד אחד

כל ה- $x$ לצד השני

הפעולה ההפוכה עובדת: +↔-, ×↔÷

צעד 3: בודקים

הציבו חזרה

הציבו את הפתרון

בדקו שהאגפים שווים

אם לא - חפשו טעות סימן

סדנה אינטראקטיבית: לפתור עם מינוסים

ניסוי ידיים

בחרו אחת משש המשוואות, ולחצו צעד הבא כדי לראות את אותה פעולה מתבצעת בו-זמנית בשני האגפים. אריחי +1 בצבע ענבר ואריחי -1 בצבע תכלת. כשמופיע זוג חיובי-שלילי הוא מתאפס. בכפל או חלוקה במספר שלילי כל הסימנים מתהפכים - בדיוק האזור שבו טעויות סימן נולדות.

טוען סימולציה...

מהחיים: בעיות אמיתיות

משוואות מהעולם האמיתי

טמפרטורה יורדת

הטמפרטורה הייתה $5^{\circ}$ , ירדה ב- $x$ מעלות, ועכשיו היא $- 3^{\circ}$ . בכמה ירדה?
משוואה: $5 - x = - 3$
פתרון: $- x = - 8 \Rightarrow x = 8$
הטמפרטורה ירדה ב-8 מעלות.

חשבון בנק משתנה

יתרה של דנה הייתה $- 50$ שקלים (חוב). היא הפקידה $x$ שקלים, ועכשיו היתרה היא $120$ שקלים. כמה הפקידה?
משוואה: $- 50 + x = 120$
פתרון: $x = 170$
דנה הפקידה 170 שקלים.

צוללת עולה

צוללת הייתה בעומק $- 80$ מטר. היא עלתה $x$ מטרים לדקה במשך $5$ דקות והגיעה לעומק $- 30$ . מה המהירות (במ'/דקה)?
משוואה: $- 80 + 5 x = - 30$
פתרון: $5 x = 50 \Rightarrow x = 10$
הצוללת עלתה במהירות של 10 מ'/דקה.

טעויות נפוצות - הכי חשובות!

מלכודות הסימן - התקלו בהן ולמדו

הטעויות הנפוצות ביותר במשוואות עם שליליים הן טעויות סימן. לכן חשוב מאוד לבדוק את הפתרון בהצבה. הציבו את $x$ בחזרה במשוואה המקורית ובדקו ששני האגפים שווים.

טעות: שוכחים את הסימן של $x$ כשמחלקים. במשוואה $- 2 x = 4$ צריך לחשב $4 \div (- 2)$ : התשובה הנכונה היא $x = - 2$ , לא $x = 2$ .
טעות: חיסור של שלילי. $x - (- 3) = x - 3$ (שגוי). הנכון: $x - (- 3) = x + 3$ .
טעות: העברה לאגף השני בלי לשנות סימן. אם $x + 5 = 12$ , אז $x = 12 + 5$ (שגוי). הנכון: $x = 12 - 5 = 7$ .
בדיקה תמיד מגלה טעות! אם לא יוצא שווה - חזרו על החישוב.

נכון מול לא נכון - העברת איברים

טעות נפוצה

פתרון $x + 5 = - 3$ :
"אני מעביר את ה-5":
$x = - 3 + 5 = 2$

שגוי!

דוגמה: כשמעבירים מספר - הופכים את הסימן

הדרך הנכונה

פתרון $x + 5 = - 3$ :
מחסרים 5 משני הצדדים:
$x = - 3 - 5 = - 8$

נכון!

דוגמה: $+ 5$ עובר אגף ונהפך ל- $- 5$ . הסימן הופך!

כשאיבר עובר אגף, הסימן שלו מתהפך - כך שומרים על השוויון.

שאלה לחשיבה

אם $- 3 x = 12$ , מה $x$ ?

מחלקים ב- $- 3$ : $x = 12 \div (- 3) = - 4$ . בדיקה: $(- 3) \times (- 4) = 12$ . נכון!

כשמחלקים ב- $- 3$ , שימו לב לסימנים: חיובי חלקי שלילי = שלילי.

בהמשך נלמד לפתור משוואות שבהן המשתנה מופיע בשני האגפים, למשל: $3 x - 5 = x + 7$ . הרעיון אותו דבר - מעבירים את כל ה- $x$ לצד אחד ואת המספרים לצד שני. עם מספרים שליליים זה הופך לעוד יותר חשוב לשים לב לסימנים.

סיפור מגניב: המתמטיקאי אל-חוואריזמי (במחצית הראשונה של המאה ה-9) - שממנו מגיעה המילה "אלגברה" - לא נהג לעבוד עם מספרים שליליים כפתרונות. משוואה שפתרונה שלילי נחשבה 'בלתי פתירה'. רק במאה ה-17 מתמטיקאים אירופאים קיבלו את הפתרונות השליליים. אתם לומדים עכשיו משהו שלקח לאנושות 800 שנה להבין!

שאלה 1 מתוך 5

פתרו: $2 x - 3 = 5$

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משוואות עם מספרים שליליים כבר מוכן.

פתחו תרגול

משוואות עם מספרים שליליים

חידת פתיחה

כשהאלגברה פוגשת את המכוונים

עקרון הפתרון - המאזניים

דוגמאות פתורות - צעד אחר צעד

דוגמה 1: חיבור פשוט

דוגמה 2: תוצאה שלילית

דוגמה 3: משוואה עם חיסור שלילי

דוגמה 4: מקדם שלילי למשתנה

דוגמה 5: משוואה דו-שלבית

דוגמה 6: מקדם שלילי - היזהרו!

שיטת הפתרון - סיכום

צעדים לפתרון משוואה עם מכוונים

צעד 1: פשוטים

צעד 2: בודדים

צעד 3: בודקים

סדנה אינטראקטיבית: לפתור עם מינוסים

ניסוי ידיים

מהחיים: בעיות אמיתיות

משוואות מהעולם האמיתי

טמפרטורה יורדת

חשבון בנק משתנה

צוללת עולה

טעויות נפוצות - הכי חשובות!

מלכודות הסימן - התקלו בהן ולמדו

נכון מול לא נכון - העברת איברים

טעות נפוצה

הדרך הנכונה

שאלה לחשיבה

משוואות עם משתנה בשני אגפים

פתרו: 2x−3=5