גרסת הדפסה | החוברת

שרטוט וחישוב היקפים ושטחים במערכת צירים

גאומטריה פוגשת מספרים מכוונים

עכשיו נחבר את הכל - גאומטריה ו-מערכת צירים. נסמן קודקודי צורות במערכת צירים ונחשב היקפים ושטחים באמצעות מרחקים.

שרטוט צורות: סימון קודקודים וחיבור בקטעים
חישוב צלעות: שימוש בנוסחאות מרחק
היקף ושטח: יישום הנוסחאות שלמדנו

שרטוט מלבן במערכת צירים

כדי לשרטט מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, צריך לדעת את ארבעת הקודקודים. הצלעות יהיו אופקיות ואנכיות - בדיוק מה שלמדנו לחשב.

נוסחאות של מלבן

היקף = 2 (אורך + רוחב), שטח = אורך \times רוחב

תמונה הממחישה מלבן על מערכת צירים עם קודקודים אורכי צלעות היקף ושטח — כאשר צלעות המלבן מקבילות לצירים, אפשר למצוא אורך, גובה, היקף ושטח ישירות מהקואורדינטות.

דוגמאות פתורות - צעד אחר צעד

נסו בעצמכם - בונים צורה על הצירים

בחרו צורה - מלבן, ריבוע או משולש ישר זווית - וגררו קודקוד בלבן כדי לשנות אותה. אורך כל צלע, ההיקף והשטח מתעדכנים אוטומטית מתוך הקואורדינטות. אחר כך נסו את מצב "מצא קודקוד" - אתגר קצר שבו נתונים שלושה קודקודים של מלבן ועליכם ללחוץ במקום שבו הקודקוד הרביעי משלים את הצורה.

דוגמה 1: מלבן ברביע I

מלבןבקודקודים m A (1, 1), B (5, 1), C (5, 4), D (1, 4) / m .

מחשבים את אורך צלע $A B$ (אופקית - אותו $y = 1) :$
$A B = ∣1 - 5∣ = 4$
מחשבים את אורך צלע $B C$ (אנכית - אותו $x = 5) :$
$B C = ∣1 - 4∣ = 3$
היקף המלבן:
$P = 2 (4 + 3) = 14$
שטח המלבן:
$S = 4 \times 3 = 12$

תשובה:

היקף = m 14 / m, שטח = m 12 / m .

דוגמה 2: מלבן שחוצה צירים

מלבןבקודקודים m A (- 3, - 2), B (4, - 2), C (4, 3), D (- 3, 3) / m .

צלע $A B$ (אופקית):
$A B = ∣ - 3 - 4∣ = ∣ - 7∣ = 7$
צלע $B C$ (אנכית):
$B C = ∣ - 2 - 3∣ = ∣ - 5∣ = 5$
היקף:
$P = 2 (7 + 5) = 24$
שטח:
$S = 7 \times 5 = 35$

תשובה:

היקף = m 24 / m, שטח = m 35 / m .

דוגמה 3: ריבוע ממרכז את המקור

ריבועבקודקודים m A (- 2, - 2), B (2, - 2), C (2, 2), D (- 2, 2) / m .

כל הצלעות שוות. נחשב אחת:
$A B = ∣ - 2 - 2∣ = 4$
היקף (4 צלעות שוות):
$P = 4 \times 4 = 16$
שטח (צלע בריבוע):
$S = 4^{2} = 16$

תשובה:

היקף = m 16 / m, שטח = m 16 / m .

מציאת קודקוד חסר

לפעמים נותנים לנו 3 קודקודים של מלבן ומבקשים למצוא את הרביעי. הטריק: במלבן, הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות לצירים.

דוגמה 4: מציאת קודקוד רביעי

שלושהקודקודיםשלמלבן : m A (1, 2), B (5, 2), C (5, 6) / m .מצאואת m D / m .

בודקים את הקשרים: $A$ ו- $B$ באותו $y = 2$ ← צלע אופקית.
$A B : y = 2$
$B$ ו- $C$ באותו $x = 5$ ← צלע אנכית.
$B C : x = 5$
$D$ חייב להיות באותו $x$ כמו $A$ , ובאותו $y$ כמו $C$ :
$D : x = 1, y = 6$

תשובה:

D (1, 6)

משולשים על צירים

גם משולשים אפשר לשרטט ולחשב במערכת צירים. במיוחד נוח כשאחת הצלעות אופקית או אנכית - אז המשולש "ישר זווית", ואפשר להשתמש בנוסחת השטח של משולש בקלות.

שטח משולש

S_{משולש} = \frac{בסיס \times גובה}{2}

דוגמה 5: משולש ישר זווית

משולשבקודקודים m A (- 2, 0), B (4, 0), C (4, 3) / m .

$A B$ על ציר $x$ (אופקית): הבסיס של המשולש.
$A B = ∣ - 2 - 4∣ = 6$
$B C$ אנכית: הגובה של המשולש.
$B C = ∣0 - 3∣ = 3$
הזווית ב- $B$ ישרה ← משולש ישר זווית.
$∠ B = 9 0^{\circ}$
שטח:
$S = \frac{6 \times 3}{2} = 9$

תשובה:

שטח = m 9 / m .

טעויות נפוצות

מלבן $A B C D$ : $A (- 4, - 1), B (2, - 1)$ . אם השטח הוא 30, מה יכולים להיות $C$ ו- $D$ ?

מהחיים: איפה זה באמת משמש?

גאומטריה אנליטית בעולם

תכנון בניינים

אדריכלים משתמשים במערכת צירים כדי לתכנן כל חדר. כל קיר הוא קטע. שטח רצפה? זה בדיוק מה שאתם מחשבים!

משחקי מחשב

דמות במשחק 2D נמצאת תמיד בתוך מלבן גבולות. כשהיא זזה, המלבן זז - בדיוק כמו שתזיזו את הקודקודים.

עיצוב גרפי

כל לוגו, אייקון או תמונה במחשב מורכבים מצורות עם קודקודים בקואורדינטות. הצגה נכונה - חייבת נוסחה.

חקלאות מודרנית

חקלאים משתמשים ב-GPS כדי להגדיר את גבולות שדה - ארבעה קודקודים עם קואורדינטות. שטח השדה = חישוב מלבן.

גאומטריה אנליטית - לאן זה ממשיך

מה שעשינו כאן הוא הצעד הראשון בגאומטריה אנליטית - שילוב בין גאומטריה לאלגברה. בהמשך הלימודים תלמדו לעבוד עם:

ישרים - משוואה כמו $y = 2 x + 3$ מתארת ישר במישור
מעגלים - משוואה כמו $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ מתארת מעגל
פרבולות ואליפסות - צורות מתקדמות יותר
גאומטריה תלת-ממדית - מוסיפים ציר z לחישוב של קובייה או כדור

הקישור המרתק: איינשטיין השתמש בגאומטריה מתקדמת (על בסיס גאומטריה אנליטית) לניסוח תורת היחסות. הטלפון שלכם מדבר עם לוויינים שעושים חישובי גאומטריה אנליטית כל שנייה. כל מה שאתם לומדים עכשיו - גם הבסיסי ביותר - הוא אבן יסוד בטכנולוגיה של המאה ה-21.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מלבן ABCD: A $(1, 1)$ , B $(5, 1)$ , C $(5, 4)$ , D $(1, 4)$ . מהו ההיקף?

2.מלבן ABCD: A $(- 3, - 2)$ , B $(4, - 2)$ , C $(4, 3)$ , D $(- 3, 3)$ . מהו השטח?

3.שלושה קודקודים של מלבן: A $(1, 2)$ , B $(5, 2)$ , C $(5, 6)$ . מהו D?

$(1, 6)$
$(6, 1)$
$(1, 5)$
$(5, 1)$

4.משולש ישר זווית עם קודקודים A $(- 2, 0)$ , B $(4, 0)$ , C $(4, 3)$ . מהו השטח?

5.ריבוע ABCD: A $(- 2, - 2)$ , B $(2, - 2)$ , C $(2, 2)$ , D $(- 2, 2)$ . מהו השטח?