צורות גאומטריות על צירים

שרטוט וחישוב היקפים ושטחים במערכת צירים

חידת פתיחה

אדריכל רוצה לבנות חדר מלבני בקואורדינטות $A (- 3, - 2), B (4, - 2), C (4, 3), D (- 3, 3)$ (במטרים). מה שטח החדר? מה ההיקף? האם מערכת צירים באמת עוזרת לחשב דברים כאלה? בפרוייקט אמיתי של בניין - בדיוק כך מחשבים.

גאומטריה פוגשת מספרים מכוונים

עכשיו נחבר את הכל - גאומטריה ו-מערכת צירים. נסמן קודקודי צורות במערכת צירים ונחשב היקפים ושטחים באמצעות מרחקים.

שרטוט צורות

סימון קודקודים וחיבור בקטעים

חישוב צלעות

שימוש בנוסחאות מרחק

היקף ושטח

יישום הנוסחאות שלמדנו

שרטוט מלבן במערכת צירים

כדי לשרטט מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, צריך לדעת את ארבעת הקודקודים. הצלעות יהיו אופקיות ואנכיות - בדיוק מה שלמדנו לחשב.

נוסחאות של מלבן

היקף = 2 (אורך + רוחב), שטח = אורך \times רוחב

דוגמאות פתורות - צעד אחר צעד

נסו בעצמכם - בונים צורה על הצירים

בחרו צורה - מלבן, ריבוע או משולש ישר זווית - וגררו קודקוד בלבן כדי לשנות אותה. אורך כל צלע, ההיקף והשטח מתעדכנים אוטומטית מתוך הקואורדינטות. אחר כך נסו את מצב "מצא קודקוד" - אתגר קצר שבו נתונים שלושה קודקודים של מלבן ועליכם ללחוץ במקום שבו הקודקוד הרביעי משלים את הצורה.

טוען סימולציה...

דוגמה 1: מלבן ברביע I

שלב 1 מתוך 4

מלבן בקודקודים

A (1, 1), B (5, 1), C (5, 4), D (1, 4)

מחשבים את אורך צלע $A B$ (אופקית - אותו $y = 1) :$

A B = ∣1 - 5∣ = 4

דוגמה 2: מלבן שחוצה צירים

שלב 1 מתוך 4

מלבן בקודקודים

A (- 3, - 2), B (4, - 2), C (4, 3), D (- 3, 3)

צלע $A B$ (אופקית):

A B = ∣ - 3 - 4∣ = ∣ - 7∣ = 7

דוגמה 3: ריבוע ממרכז את המקור

שלב 1 מתוך 3

ריבוע בקודקודים

A (- 2, - 2), B (2, - 2), C (2, 2), D (- 2, 2)

כל הצלעות שוות. נחשב אחת:

A B = ∣ - 2 - 2∣ = 4

מציאת קודקוד חסר

לפעמים נותנים לנו 3 קודקודים של מלבן ומבקשים למצוא את הרביעי. הטריק: במלבן, הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות לצירים.

דוגמה 4: מציאת קודקוד רביעי

שלב 1 מתוך 3

שלושה קודקודים של מלבן:

A (1, 2), B (5, 2), C (5, 6)

. מצאו את

D

בודקים את הקשרים: $A$ ו- $B$ באותו $y = 2$ ← צלע אופקית.

A B : y = 2

משולשים על צירים

גם משולשים אפשר לשרטט ולחשב במערכת צירים. במיוחד נוח כשאחת הצלעות אופקית או אנכית - אז המשולש "ישר זווית", ואפשר להשתמש בנוסחת השטח של משולש בקלות.

שטח משולש

S_{משולש} = \frac{בסיס \times גובה}{2}

דוגמה 5: משולש ישר זווית

שלב 1 מתוך 4

משולש בקודקודים

A (- 2, 0), B (4, 0), C (4, 3)

$A B$ על ציר $x$ (אופקית): הבסיס של המשולש.

A B = ∣ - 2 - 4∣ = 6

טעויות נפוצות

המלכודות בחישובי צורות

שלוש טעויות שתלמידים עושים לעתים קרובות:

בלי ערך מוחלט: מקבלים אורך שלילי. אורך תמיד חיובי!
מבלבלים אורך ורוחב: זה לא נורא, כי הנוסחה $2 (a + b)$ סימטרית - אבל אם זה משולש, צריך לזהות נכון 'בסיס' ו'גובה'.
שוכחים לחלק ב-2 בשטח משולש: זו הטעות הכי נפוצה במשולשים.

שאלה לחשיבה

מלבן $A B C D$ : $A (- 4, - 1), B (2, - 1)$ . אם השטח הוא 30, מה יכולים להיות $C$ ו- $D$ ?

$A B = ∣ - 4 - 2∣ = 6$ . שטח = אורך × רוחב, אז $30 = 6 \times רוחב$ , כלומר רוחב = 5. אז $C (2, 4)$ ו- $D (- 4, 4)$ , או $C (2, - 6)$ ו- $D (- 4, - 6)$ . יש שני פתרונות - המלבן יכול להתפשט למעלה או למטה!

בהרבה בעיות גאומטריות יש יותר מפתרון אחד.

מהחיים: איפה זה באמת משמש?

גאומטריה אנליטית בעולם

תכנון בניינים

אדריכלים משתמשים במערכת צירים כדי לתכנן כל חדר. כל קיר הוא קטע. שטח רצפה? זה בדיוק מה שאתם מחשבים!

משחקי מחשב

דמות במשחק 2D נמצאת תמיד בתוך מלבן גבולות. כשהיא זזה, המלבן זז - בדיוק כמו שתזיזו את הקודקודים.

עיצוב גרפי

כל לוגו, אייקון או תמונה במחשב מורכבים מצורות עם קודקודים בקואורדינטות. הצגה נכונה - חייבת נוסחה.

חקלאות מודרנית

חקלאים משתמשים ב-GPS כדי להגדיר את גבולות שדה - ארבעה קודקודים עם קואורדינטות. שטח השדה = חישוב מלבן.

סיכום - צעדים לחישוב

שיטה מובנית לחישוב היקף ושטח של צורה במערכת צירים:

סמנו את כל הקודקודים במערכת הצירים (אפשר על דף משובץ)
חשבו אורך כל צלע בעזרת ערך מוחלט של ההפרש
השתמשו בנוסחאות ההיקף והשטח המתאימות לצורה
בדקו שהתוצאות הגיוניות - שטח חיובי, אורך חיובי, וגודל סביר

מה שעשינו כאן הוא הצעד הראשון בגאומטריה אנליטית - שילוב בין גאומטריה לאלגברה. בהמשך הלימודים תלמדו לעבוד עם:

ישרים - משוואה כמו $y = 2 x + 3$ מתארת ישר במישור
מעגלים - משוואה כמו $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ מתארת מעגל
פרבולות ואליפסות - צורות מתקדמות יותר
גאומטריה תלת-ממדית - מוסיפים ציר z לחישוב של קובייה או כדור

הקישור המרתק: איינשטיין השתמש בגאומטריה מתקדמת (על בסיס גאומטריה אנליטית) לניסוח תורת היחסות. הטלפון שלכם מדבר עם לוויינים שעושים חישובי גאומטריה אנליטית כל שנייה. כל מה שאתם לומדים עכשיו - גם הבסיסי ביותר - הוא אבן יסוד בטכנולוגיה של המאה ה-21.

שאלה 1 מתוך 5

ריבוע ABCD: A $(- 2, - 2)$ , B $(2, - 2)$ , C $(2, 2)$ , D $(- 2, 2)$ . מהו השטח?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של צורות גאומטריות על צירים כבר מוכן.

פתחו תרגול

צורות גאומטריות על צירים

חידת פתיחה

גאומטריה פוגשת מספרים מכוונים

שרטוט מלבן במערכת צירים

דוגמאות פתורות - צעד אחר צעד

נסו בעצמכם - בונים צורה על הצירים

דוגמה 1: מלבן ברביע I

דוגמה 2: מלבן שחוצה צירים

דוגמה 3: ריבוע ממרכז את המקור

מציאת קודקוד חסר

דוגמה 4: מציאת קודקוד רביעי

משולשים על צירים

דוגמה 5: משולש ישר זווית

טעויות נפוצות

המלכודות בחישובי צורות

שאלה לחשיבה

מהחיים: איפה זה באמת משמש?

גאומטריה אנליטית בעולם

תכנון בניינים

משחקי מחשב

עיצוב גרפי

חקלאות מודרנית

סיכום - צעדים לחישוב

גאומטריה אנליטית - לאן זה ממשיך

ריבוע ABCD: A(−2,−2), B(2,−2), C(2,2), D(−2,2). מהו השטח?