גרסת הדפסה | החוברת

חותכים את העיגול לפרוסות ומגלים נוסחה מופלאה

איך מודדים שטח של משהו עגול?

עד עכשיו חישבנו שטחים של צורות עם צלעות ישרות. אבל עיגול הוא עגול - אין לו צלעות! איך מחשבים את שטחו? הטריק: חותכים אותו לגזרות ומסדרים אותן כמו מלבן.

הרעיון: פירוק עיגול לגזרות ויצירת מלבן
הנוסחה: שטח = $π \cdot r \cdot r = π r^{2}$
יישום: גנים עגולים, בריכות, פיצה...

הגזירה - מעיגול למלבן

חתכו עיגול לגזרות רבות (כמו פרוסות פיצה). סדרו אותן לסירוגין (גזרה למעלה, גזרה למטה). ככל שיש יותר גזרות, הצורה מתקרבת למלבן!

אורך ה"מלבן"

חצי מהיקף המעגל!

אורך =

\frac{C}{2} = π r

(כי חצי הגזרות פונות למעלה וחצי למטה)

רוחב ה"מלבן"

הרדיוס של המעגל!

רוחב =

r

(גובה כל גזרה הוא הרדיוס)

נוסחת שטח עיגול

מהמלבן שיצרנו:

A = π r^{2}

השטח שווה לפאי כפול הרדיוס בריבוע. בקירוב $π \approx 3.14$ , ולכן $A \approx 3.14 \cdot r^{2}$ .

תמונה הממחישה את נוסחת שטח העיגול בעזרת סידור מגזרים למלבן — כשמסדרים מגזרי עיגול כמעט כמלבן, רואים מדוע שטח העיגול הוא πr².

טעויות נפוצות - אל תיפלו!

דוגמה פתורה צעד אחר צעד

בריכה עגולה - חישוב שטח

בריכה עגולה בקוטר d = 14 מטר. מה שטחה? (π = \frac{22}{7})

מחשבים את הרדיוס מהקוטר: הרדיוס הוא חצי מהקוטר.
$r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 מטר$
מציבים בנוסחת שטח עיגול.
$A = π r^{2} = \frac{22}{7} \cdot 7^{2}$
מחשבים את 7 בריבוע.
$A = \frac{22}{7} \cdot 49$
מצמצמים: 49 חלקי 7 שווה 7.
$A = 22 \cdot 7 = 154 מ^{2}$

תשובה:

A = 154 מ^{2}

עוד דוגמאות פתורות

חישובי שטח עיגול

רדיוס נתון

$r = 4$ ס"מ
$A = 3.14 \cdot 4^{2} = 3.14 \cdot 16 = 50.24$ סמ"ר

קוטר נתון

$d = 10$ ס"מ, אז $r = 5$ ס"מ
$A = 3.14 \cdot 5^{2} = 3.14 \cdot 25 = 78.5$ סמ"ר

מציאת רדיוס

$A = 154$ סמ"ר
$154 = 3.14 \cdot r^{2}$
$r^{2} = \frac{154}{3.14} \approx 49$
$r = 7$ ס"מ

גן עגול

$r = 7$ מ'
$A = 3.14 \cdot 49 = 153.86$ מ"ר
אם $1$ ק"ג זרעים ל- $1$ מ"ר:
צריך כ-154 ק"ג זרעים

תרגול אינטראקטיבי

תרגיל

תרגיל בסיסי - שטח מתוך רדיוס

עיגול ברדיוס 6 ס"מ. מה שטחו? השתמשו ב- $π = 3.14$ .

r = 6 ס"מ, π = 3.14, A = ?

תרגיל

אתגר - חישוב הפוך

שטח עיגול הוא 200.96 סמ"ר. מה הקוטר? השתמשו ב- $π = 3.14$ .

A = 200.96 ס"מ^{2}, π = 3.14, d = ?

הגדלת רדיוס - מה קורה לשטח?

עיגול ברדיוס $3$ ס"מ ועיגול ברדיוס $6$ ס"מ (כפול). בכמה גדל השטח?

היקף מול שטח

שתי נוסחאות של מעגל

היקף (אורך)

"כמה ארוך הקו העקום" - מדד חד-ממדי

$C = 2 π r$
$r = 5$ : $C = 31.4$ ס"מ

שטח (גודל הפנים)

"כמה מקום תופס הפנים" - מדד דו-ממדי

$A = π r^{2}$
$r = 5$ : $A = 78.5$ סמ"ר

שימו לב ליחידות: היקף בס"מ (אורך), שטח בסמ"ר (שטח)

מהעיגול למעין מלבן

הגדילו את מספר הגזרות ובדקו איך הצורה המתפתחת נראית יותר ויותר כמו מלבן. כך אפשר להבין למה מתקבל בדיוק הביטוי

π r^{2}

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.שטח עיגול ברדיוס 5 ס"מ ( $π = 3.14) :$

$15.7$ סמ"ר
$31.4$ סמ"ר
$78.5$ סמ"ר
$100$ סמ"ר

2.עיגול עם קוטר 10 ס"מ. מהו השטח? ( $π = 3.14)$

$31.4$ סמ"ר
$78.5$ סמ"ר
$314$ סמ"ר
$100$ סמ"ר

3.אם מכפילים את הרדיוס פי 2, בכמה גדל השטח?

פי 2
פי 4
פי 8
לא משתנה

4.מהי הנוסחה לשטח עיגול?

$π d$
$π r^{2}$
$2 π r$
$π r$

5.שטח עיגול הוא 154 סמ"ר. מהו הרדיוס? ( $π = \frac{22}{7})$

$7$ ס"מ
$14$ ס"מ
$49$ ס"מ
$11$ ס"מ

6.ריבוע שצלעו 12 ס"מ ובתוכו עיגול חסום (נוגע בכל הצלעות). מה שטח הפינות שמחוץ לעיגול? ( $π = 3.14)$

$30.96$ סמ"ר
$113.04$ סמ"ר
$144$ סמ"ר
$75.36$ סמ"ר