מהו נוסחת שטח עיגול?

מהמלבן שיצרנו: שטח המלבן = אורך \times רוחב = (\pi r) \cdot r = \pi r^2. וזהו גם שטח העיגול! השטח שווה לפאי כפול הרדיוס בריבוע. בקירוב \pi \approx 3.14, ולכן A \approx 3.14 \cdot r^2.

שטח עיגול

חותכים את העיגול לפרוסות ומגלים נוסחה מופלאה

איך מודדים שטח של משהו עגול?

עד עכשיו חישבנו שטחים של צורות עם צלעות ישרות. אבל עיגול הוא עגול - אין לו צלעות! איך מחשבים את שטחו? הטריק: חותכים אותו לגזרות ומסדרים אותן כמו מלבן.

הרעיון

פירוק עיגול לגזרות ויצירת מלבן

הנוסחה

שטח =

π \cdot r \cdot r = π r^{2}

יישום

גנים עגולים, בריכות, פיצה...

הגזירה - מעיגול למלבן

חתכו עיגול לגזרות רבות (כמו פרוסות פיצה). סדרו אותן לסירוגין (גזרה למעלה, גזרה למטה). ככל שיש יותר גזרות, הצורה מתקרבת למלבן!

אורך ה"מלבן"

חצי מהיקף המעגל!

אורך = $\frac{C}{2} = π r$

(כי חצי הגזרות פונות למעלה וחצי למטה)

רוחב ה"מלבן"

הרדיוס של המעגל!

רוחב = $r$

(גובה כל גזרה הוא הרדיוס)

נוסחת שטח עיגול

מהמלבן שיצרנו:

שטח המלבן = אורך $\times$ רוחב = $(π r) \cdot r = π r^{2}$ .

וזהו גם שטח העיגול!

$A = π r^{2}$

השטח שווה לפאי כפול הרדיוס בריבוע. בקירוב $π \approx 3.14$ , ולכן $A \approx 3.14 \cdot r^{2}$ .

טעויות נפוצות - אל תיפלו!

ארבע טעויות שחייבים להימנע מהן

טעויות שחוזרות הרבה בנוסחת שטח העיגול. שימו לב לכולן!

להציב $d$ (קוטר) במקום $r$ (רדיוס): לפני ההצבה תמיד מחשבים $r = \frac{d}{2}$ .
להחליף שטח בהיקף: $π r^{2}$ זה שטח, $2 π r$ זה היקף.
לשכוח להעלות בריבוע: הנוסחה היא $π \cdot r \cdot r$ , לא $π \cdot r$ .
לבלבל יחידות: היקף בסנטימטרים, שטח בסמ"ר (יחידה ריבועית).

דוגמה פתורה צעד אחר צעד

בריכה עגולה - חישוב שטח

שלב 1 מתוך 4

בריכה עגולה בקוטר d = 14 מטר. מה שטחה? (π = \frac{22}{7})

מחשבים את הרדיוס מהקוטר: הרדיוס הוא חצי מהקוטר.

r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 מטר

עוד דוגמאות פתורות

חישובי שטח עיגול

רדיוס נתון

$r = 4$ ס"מ
$A = 3.14 \cdot 4^{2} = 3.14 \cdot 16 = 50.24$ סמ"ר

קוטר נתון

$d = 10$ ס"מ, אז $r = 5$ ס"מ
$A = 3.14 \cdot 5^{2} = 3.14 \cdot 25 = 78.5$ סמ"ר

מציאת רדיוס

$A = 154$ סמ"ר
$154 = 3.14 \cdot r^{2}$
$r^{2} = \frac{154}{3.14} \approx 49$
$r = 7$ ס"מ

גן עגול

$r = 7$ מ'
$A = 3.14 \cdot 49 = 153.86$ מ"ר
אם $1$ ק"ג זרעים ל- $1$ מ"ר:
צריך כ-154 ק"ג זרעים

תרגול אינטראקטיבי

תרגיל בסיסי - שטח מתוך רדיוס

בסיסי

עיגול ברדיוס 6 ס"מ. מה שטחו? השתמשו ב- $π = 3.14$ .

r = 6 ס"מ, π = 3.14, A = ?

אתגר - חישוב הפוך

מאתגר

שטח עיגול הוא 200.96 סמ"ר. מה הקוטר? השתמשו ב- $π = 3.14$ .

A = 200.96 ס"מ^{2}, π = 3.14, d = ?

הגדלת רדיוס - מה קורה לשטח?

שאלה לחשיבה

עיגול ברדיוס $3$ ס"מ ועיגול ברדיוס $6$ ס"מ (כפול). בכמה גדל השטח?

עיגול 1: $A = 3.14 \cdot 9 = 28.26$ סמ"ר.
עיגול 2: $A = 3.14 \cdot 36 = 113.04$ סמ"ר.
השטח גדל פי 4! (כי $\frac{6 ^{2}}{3 ^{2}} = \frac{36}{9} = 4) .$

כשמכפילים את הרדיוס פי k, השטח גדל פי k בריבוע. זה בדיוק כמו במלבן!

היקף מול שטח

שתי נוסחאות של מעגל

היקף (אורך)

"כמה ארוך הקו העקום" - מדד חד-ממדי

דוגמה: $C = 2 π r$
$r = 5$ : $C = 31.4$ ס"מ

שטח (גודל הפנים)

"כמה מקום תופס הפנים" - מדד דו-ממדי

דוגמה: $A = π r^{2}$
$r = 5$ : $A = 78.5$ סמ"ר

שימו לב ליחידות: היקף בס"מ (אורך), שטח בסמ"ר (שטח)

פיצה עגולה עם קוטר $30$ ס"מ ( $r = 15$ ס"מ).

שטח הפיצה: $A = 3.14 \cdot 1 5^{2} = 3.14 \cdot 225 = 706.5$ סמ"ר

אם חותכים ל- $8$ משולשים, כל חלק = $\frac{706.5}{8} \approx 88.3$ סמ"ר

שאלת בונוס: מה משתלם יותר - פיצה בקוטר $30$ ס"מ ב- $50$ שקל, או פיצה בקוטר $40$ ס"מ ב- $70$ שקל?

פיצה 30: $706.5$ סמ"ר, מחיר לסמ"ר = $\frac{50}{706.5} \approx 0.071$ שקל
פיצה 40: $3.14 \cdot 2 0^{2} = 1256$ סמ"ר, מחיר לסמ"ר = $\frac{70}{1256} \approx 0.056$ שקל

הפיצה הגדולה משתלמת יותר!

מהעיגול למעין מלבן

הגדילו את מספר הגזרות ובדקו איך הצורה המתפתחת נראית יותר ויותר כמו מלבן. כך אפשר להבין למה מתקבל בדיוק הביטוי $π r^{2}$ .

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 6