גרסת הדפסה | החוברת

מפרקים צורות מורכבות לחלקים פשוטים, ופותרים הכל

שתי טכניקות חזקות

בעולם האמיתי, צורות לא תמיד מסודרות. לפעמים יש חדר בצורה מוזרה, גן עם שביל באמצע, או כיכר ציבורית עם מזרקה במרכז. איך מחשבים שטח של צורה מורכבת? מפרקים אותה!

חיבור: מחברים שטחים של צורות פשוטות שמרכיבות יחד את הצורה המורכבת.
חיסור: מחשבים את שטח הצורה החיצונית, ומחסירים את שטח החלק שמסירים.
שלב ראשון תמיד: שרטטו, וסמנו את כל המידות הידועות. בלי שרטוט נכון, גם הנוסחה הנכונה תיתן תשובה לא נכונה.

תמונה הממחישה את שתי האסטרטגיות לחישוב שטח צורה משולבת באמצעות חיבור וחיסור — בצורה משולבת בוחרים בין חיבור חלקים לבין חיסור חלק חסר, לפי הדרך הנוחה יותר.

טכניקה 1: חיבור שטחים

כשצורה מורכבת בנויה מכמה צורות פשוטות ביחד, מחשבים את שטח כל חלק בנפרד ומחברים. שואלים: "איזה צורות פשוטות מרכיבות את הצורה הזאת?"

דוגמאות חיבור

מלבן + משולש

מלבן: $10 \times 6 = 60$ סמ"ר
משולש מעליו: $\frac{10 \times 4}{2} = 20$ סמ"ר
סה"כ: $60 + 20 = 80$ סמ"ר

טרפז + משולש

טרפז: $\frac{8 + 12}{2} \times 5 = 50$ סמ"ר
משולש: $\frac{12 \times 3}{2} = 18$ סמ"ר
סה"כ: $50 + 18 = 68$ סמ"ר

טכניקה 2: חיסור שטחים

כשצריך למצוא שטח צבוע (השטח שנשאר אחרי שמסירים חלק), מחשבים את הצורה הגדולה ומחסירים את הקטנה. שואלים: "איזה צורה גדולה מקיפה את הכל, ומה אנחנו מסירים ממנה?"

דוגמאות חיסור

ריבוע פחות עיגול חסום

ריבוע צלע $10$ , עיגול ברדיוס $r = 5$ בתוכו
ריבוע: $1 0^{2} = 100$ סמ"ר
עיגול: $3.14 \times 25 = 78.5$ סמ"ר
שטח צבוע: $100 - 78.5 = 21.5$ סמ"ר

מקבילית עם חור עגול

מקבילית: $15 \times 8 = 120$ סמ"ר
חור עגול ברדיוס $r = 2$ : $3.14 \times 2^{2} = 12.56$ סמ"ר
שטח נותר: $120 - 12.56 = 107.44$ סמ"ר

בוחרים אסטרטגיה: חיבור או חיסור

לפעמים אותה צורה ממש ניתנת לפתרון בשתי הדרכים. הבחירה אינה רק עניין של טעם, היא עניין של יעילות: פחות חישובים, פחות סיכוי לטעות, ופחות מידות שצריך למדוד.

מתי כל אסטרטגיה נוחה יותר?

חיבור עדיף כש...

הצורה בנויה מחלקים בולטים שקל לזהות בנפרד: מלבן עם משולש מעליו, גן עם בריכה צמודה, אות T מורכבת משני מלבנים. מחפשים את החיתוך הטבעי של הצורה.

צורת T: שני מלבנים מחוברים, חיבור הוא מיידי.

חיסור עדיף כש...

הצורה היא צורה שלמה גדולה עם חור או חלק חסר: ריבוע עם עיגול חסום, מקבילית עם חלון עגול, חצר עם בריכה. הצורה הכוללת ברורה והחור מסומן.

טבעת: עיגול גדול פחות עיגול קטן בתוכו.

כלל אצבע: אם המידות של החלקים החסרים זמינות בקלות, חיסור חוסך זמן.

דוגמה פתורה: צורת T בשתי דרכים

ניקח צורה אחת ונפתור אותה פעמיים: פעם בחיבור ופעם בחיסור. אם שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה, אנחנו יודעים שעבדנו נכון.

חיבור: שני מלבנים

שטח צורת T עם מלבן עליון 12 \times 3 ומלבן תחתון 4 \times 8

מזהים את שני המלבנים שמרכיבים את האות T.
$מלבן עליון: 12 \times 3, מלבן תחתון: 4 \times 8$
מחשבים את שטח המלבן העליון.
$S_{עליון} = 12 \times 3 = 36 סמ^{2}$
מחשבים את שטח המלבן התחתון.
$S_{תחתון} = 4 \times 8 = 32 סמ^{2}$
מחברים את שני השטחים כדי לקבל את שטח האות T.
$S_{T} = 36 + 32 = 68 סמ^{2}$

תשובה:

S_{T} = 68 סמ^{2}

חיסור: מלבן עוטף פחות שני מלבנים חסרים

אותה צורת T, נפתור עכשיו על ידי מלבן עוטף 12 \times 11

מקיפים את האות T במלבן הקטן ביותר שמכיל אותה: רוחב 12, גובה 3+8=11.
$S_{עוטף} = 12 \times 11 = 132 סמ^{2}$
המלבן העוטף כולל גם שני מלבנים ריקים בצידי הרגל התחתונה. רוחב כל אחד הוא (12-4) חלקי 2 = 4, וגובהו 8.
$כל מלבן חסר: 4 \times 8 = 32 סמ^{2}$
מחסירים את שני המלבנים החסרים מהמלבן העוטף.
$S_{T} = 132 - 2 \times 32 = 132 - 64 = 68 סמ^{2}$

תשובה:

S_{T} = 68 סמ^{2}

תרגיל מודרך: תוכנית חדר משרד בצורת L

אדריכלית מתכננת חדר משרד בצורת L. החדר נכנס למלבן בגודל

10 \times 8

מ, אבל פינה ריבועית

4 \times 3

מ נחתכה ממנו לטובת מטבחון. מהו שטח החדר עצמו?

תרגיל

חישוב שטח חדר L

חדר בצורת L: מלבן עוטף בגודל 10 על 8 מ, פחות פינה חסרה 4 על 3 מ. מהו שטח החדר?

S_{חדר} = (10 \times 8) - (4 \times 3) = ?

בעיות מעשיות מהעולם האמיתי

אדריכלות, גינון, ספורט, תכנון ערים, עיצוב מוצר. בכל תחום שמשתמש במרחב פיזי, מחשבים שטחים של צורות משולבות. הינה ארבע דוגמאות אמיתיות:

גן עם שביל

גן מלבני:

30 \times 20

מ.
שביל ישר ברוחב

2

מ חוצה אותו לרוחבו.

שטח גן כולל:

30 \times 20 = 600

מ"ר
שטח שביל:

30 \times 2 = 60

מ"ר
שטח דשא:

600 - 60 = 540

מ"ר

אסטרטגיה: חיסור, כי הגן השלם והשביל ידועים.

טבעת (עיגול בתוך עיגול)

עיגול חיצוני:

r = 10

ס"מ
עיגול פנימי:

r = 6

ס"מ

שטח חיצוני:

3.14 \times 100 = 314

סמ"ר
שטח פנימי:

3.14 \times 36 = 113.04

סמ"ר
שטח טבעת:

314 - 113.04 = 200.96

סמ"ר

אסטרטגיה: חיסור, צורה מקיפה פחות חור.

מגרש כדורסל - אזור הסל

אזור הסל בנוי ממלבן

5 \times 4

מ עם חצי עיגול ברדיוס

r = 2

מ בקצה.

מלבן:

5 \times 4 = 20

מ"ר
חצי עיגול:

\frac{3.14 \times 4}{2} = 6.28

מ"ר
שטח אזור הסל:

20 + 6.28 = 26.28

מ"ר

אסטרטגיה: חיבור, מלבן ועיגול חצי צמודים.

כיכר עם מזרקה עגולה

כיכר ריבועית: צלע

20

מ.
במרכז מזרקה עגולה ברדיוס

r = 3

מ.

כיכר:

2 0^{2} = 400

מ"ר
מזרקה:

3.14 \times 9 = 28.26

מ"ר
שטח מרוצף:

400 - 28.26 = 371.74

מ"ר

אסטרטגיה: חיסור, כיכר שלמה פחות מזרקה.

בריכה עגולה ברדיוס $5$ מ מוקפת שביל ברוחב $1$ מ. מהו שטח השביל בלבד?

התנסות אינטראקטיבית

צורת L: שחקו עם המידות, ובחרו אסטרטגיה. בדקו איזו דרך נותנת חישוב מהיר יותר עבור כל מקרה. נסו פעם בחיבור ופעם בחיסור, וראו שהתוצאה זהה.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.צורה מורכבת ממלבן ששטחו $60$ סמ"ר וממשולש ששטחו $20$ סמ"ר. מהו השטח הכולל?

$40$ סמ"ר
$80$ סמ"ר
$60$ סמ"ר
$100$ סמ"ר

2.ריבוע שצלעו $8$ ס"מ עם עיגול חסום ברדיוס $r = 4$ ס"מ בתוכו. מהו השטח שבין הריבוע לעיגול? (נשתמש ב- $π = 3.14)$

$13.76$ סמ"ר
$30$ סמ"ר
$20$ סמ"ר
$50.24$ סמ"ר

3.מקבילית ששטחה $100$ סמ"ר עם חור עגול ששטחו $20$ סמ"ר בתוכה. מהו השטח הנותר?

$80$ סמ"ר
$120$ סמ"ר
$100$ סמ"ר
$50$ סמ"ר

4.טרפז ששטחו $48$ סמ"ר עם משולש מעליו ששטחו $16$ סמ"ר. מהו השטח הכולל?

$32$ סמ"ר
$64$ סמ"ר
$48$ סמ"ר
$80$ סמ"ר

5.בריכה עגולה ברדיוס $r = 5$ מ מוקפת שביל ברוחב $1$ מ. מהו שטח השביל? (נשתמש ב- $π = 3.14)$

$34.54$ מ"ר
$31.4$ מ"ר
$25$ מ"ר
$78.5$ מ"ר

6.מהו ההבדל המרכזי בין אסטרטגיית חיבור לאסטרטגיית חיסור בחישוב צורות משולבות?

חיבור עובד רק עבור משולשים, חיסור רק עבור עיגולים.
בחיבור מסכמים שטחים של חלקים שמרכיבים את הצורה. בחיסור מורידים שטח של חלק חסר מצורה גדולה.
בחיבור מכפילים את כל המידות. בחיסור מחלקים אותן.
אין הבדל - שתי האסטרטגיות הן אותו דבר.

7.חצר חניה היא צורה משולבת: ריבוע עם משולש שווה-שוקיים מעליו (כמו בית של ילדים). אילו שתי צורות פשוטות מרכיבות אותה?

ריבוע + משולש
מקבילית + עיגול
טרפז + משולש
ריבוע + ריבוע

8.צורת L מתקבלת ממלבן $10 \times 6$ שממנו נחתכה פינה $4 \times 3$ . איזה ביטוי מחשב נכון את שטח ה-L?

$10 \times 6 + 4 \times 3$
$10 \times 6 - 4 \times 3$
$10 \times 4 - 6 \times 3$
$(10 + 6) \times (4 + 3)$

9.אותה צורת L (מלבן $10 \times 6$ עם פינה $4 \times 3$ חסרה) ניתן גם לפצל לשני מלבנים. איזה פיצול נכון?

מלבן $10 \times 3$ + מלבן $6 \times 3$
מלבן $10 \times 6$ + מלבן $4 \times 3$
מלבן $4 \times 6$ + מלבן $3 \times 6$
אי אפשר לפצל L לשני מלבנים בלבד.

10.תלמידה חישבה את שטח גן בצורת $8 \times 6$ מ עם בריכה ריבועית $4 \times 3$ מ במרכז (שטח הדשא בלבד). היא כתבה: " $8 \times 6 + 4 \times 3 = 48 + 12 = 60$ מ"ר". היכן הטעות?

החישוב נכון לחלוטין, התשובה $60$ מ"ר.
היה צריך לחבר את הבריכה במקום להחסיר אותה. המספרים נכונים, רק הצירוף הסופי טועה.
היה צריך לחסר את הבריכה ולא לחבר אותה: $48 - 12 = 36$ מ"ר.
הנוסחה לשטח מלבן שגויה.

11.תלמיד פתר צורת L (מלבן $12 \times 8$ עם פינה $5 \times 3$ חסרה) בשתי דרכים: (א) חיסור: $96 - 15 = 81$ . (ב) פיצול לשני מלבנים: $60 + 21 = 81$ . מה ניתן ללמוד מכך שהוא קיבל את אותה תוצאה?

אחת הדרכים אינה מדויקת, רק במקרה יצא אותו דבר.
תוצאה זהה משתי דרכים שונות היא אימות צולב. סביר מאוד שהפתרון נכון.
צריך לבחור בין שתי הדרכים, ולהציג רק אחת.
תמיד שתי דרכים נותנות אותה תוצאה, אז זה לא מועיל.

12.טבעת: עיגול חיצוני ברדיוס $r = 10$ ס"מ ועיגול פנימי ברדיוס $r = 4$ ס"מ. איזו אסטרטגיה הכי יעילה לחישוב שטח הטבעת?

חיבור: לפצל את הטבעת לחלקים קטנים ולחבר את שטחיהם.
חיסור: לחשב עיגול חיצוני, לחשב עיגול פנימי, ולחסר.
להכפיל את הרדיוס החיצוני ברדיוס הפנימי.
לחשב את היקף שני העיגולים ולחסר.

13.גן מלבני $30 \times 20$ מ עם שביל בצורת + (פלוס): שביל אופקי ברוחב $2$ מ ושביל אנכי ברוחב $2$ מ, חוצים במרכז. איזו אסטרטגיה הכי יעילה לחישוב שטח הדשא בלבד?

חיבור: לחלק את הדשא לארבעה מלבנים ולסכום אותם.
חיסור: לחשב את שטח הגן השלם, ולהוריד את שטח השבילים (תוך תיקון לחפיפה במרכז).
אין דרך לחשב צורה כזאת.
להכפיל את שני רוחבי השבילים: $2 \times 2$ .