צורות משולבות

מפרקים צורות מורכבות לחלקים פשוטים, ופותרים הכל

שתי טכניקות חזקות

בעולם האמיתי, צורות לא תמיד מסודרות. לפעמים יש חדר בצורה מוזרה, גן עם שביל באמצע, או כיכר ציבורית עם מזרקה במרכז. איך מחשבים שטח של צורה מורכבת? מפרקים אותה!

חיבור

מחברים שטחים של צורות פשוטות שמרכיבות יחד את הצורה המורכבת.

חיסור

מחשבים את שטח הצורה החיצונית, ומחסירים את שטח החלק שמסירים.

שלב ראשון תמיד

שרטטו, וסמנו את כל המידות הידועות. בלי שרטוט נכון, גם הנוסחה הנכונה תיתן תשובה לא נכונה.

טכניקה 1: חיבור שטחים

כשצורה מורכבת בנויה מכמה צורות פשוטות ביחד, מחשבים את שטח כל חלק בנפרד ומחברים. שואלים: "איזה צורות פשוטות מרכיבות את הצורה הזאת?"

דוגמאות חיבור

מלבן + משולש

מלבן: $10 \times 6 = 60$ סמ"ר
משולש מעליו: $\frac{10 \times 4}{2} = 20$ סמ"ר
סה"כ: $60 + 20 = 80$ סמ"ר

טרפז + משולש

טרפז: $\frac{8 + 12}{2} \times 5 = 50$ סמ"ר
משולש: $\frac{12 \times 3}{2} = 18$ סמ"ר
סה"כ: $50 + 18 = 68$ סמ"ר

טכניקה 2: חיסור שטחים

כשצריך למצוא שטח צבוע (השטח שנשאר אחרי שמסירים חלק), מחשבים את הצורה הגדולה ומחסירים את הקטנה. שואלים: "איזה צורה גדולה מקיפה את הכל, ומה אנחנו מסירים ממנה?"

דוגמאות חיסור

ריבוע פחות עיגול חסום

ריבוע צלע $10$ , עיגול ברדיוס $r = 5$ בתוכו
ריבוע: $1 0^{2} = 100$ סמ"ר
עיגול: $3.14 \times 25 = 78.5$ סמ"ר
שטח צבוע: $100 - 78.5 = 21.5$ סמ"ר

מקבילית עם חור עגול

מקבילית: $15 \times 8 = 120$ סמ"ר
חור עגול ברדיוס $r = 2$ : $3.14 \times 2^{2} = 12.56$ סמ"ר
שטח נותר: $120 - 12.56 = 107.44$ סמ"ר

בוחרים אסטרטגיה: חיבור או חיסור

לפעמים אותה צורה ממש ניתנת לפתרון בשתי הדרכים. הבחירה אינה רק עניין של טעם, היא עניין של יעילות: פחות חישובים, פחות סיכוי לטעות, ופחות מידות שצריך למדוד.

מתי כל אסטרטגיה נוחה יותר?

חיבור עדיף כש...

הצורה בנויה מחלקים בולטים שקל לזהות בנפרד: מלבן עם משולש מעליו, גן עם בריכה צמודה, אות T מורכבת משני מלבנים. מחפשים את החיתוך הטבעי של הצורה.

דוגמה: צורת T: שני מלבנים מחוברים, חיבור הוא מיידי.

חיסור עדיף כש...

הצורה היא צורה שלמה גדולה עם חור או חלק חסר: ריבוע עם עיגול חסום, מקבילית עם חלון עגול, חצר עם בריכה. הצורה הכוללת ברורה והחור מסומן.

דוגמה: טבעת: עיגול גדול פחות עיגול קטן בתוכו.

כלל אצבע: אם המידות של החלקים החסרים זמינות בקלות, חיסור חוסך זמן.

דוגמה פתורה: צורת T בשתי דרכים

ניקח צורה אחת ונפתור אותה פעמיים: פעם בחיבור ופעם בחיסור. אם שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה, אנחנו יודעים שעבדנו נכון.

חיבור: שני מלבנים

שלב 1 מתוך 4

שטח צורת T עם מלבן עליון 12 \times 3 ומלבן תחתון 4 \times 8

מזהים את שני המלבנים שמרכיבים את האות T.

מלבן עליון: 12 \times 3, מלבן תחתון: 4 \times 8

חיסור: מלבן עוטף פחות שני מלבנים חסרים

שלב 1 מתוך 3

אותה צורת T, נפתור עכשיו על ידי מלבן עוטף 12 \times 11

מקיפים את האות T במלבן הקטן ביותר שמכיל אותה: רוחב 12, גובה 3+8=11.

S_{עוטף} = 12 \times 11 = 132 סמ^{2}

טעות נפוצה: לבלבל בין חיבור לחיסור

התלמידים הכי טובים נכשלים כאן: מתחילים בחיסור ואז מחברים את החלק שצריך להחסיר, או הפוך. כדי להימנע מהבלבול:

צבעו את האזור שאתם רוצים לחשב. רק את האזור הזה. בלי הסחות.
אם האזור הצבוע הוא סכום של חלקים, השתמשו בחיבור.
אם האזור הצבוע הוא מה שנשאר כשמסירים חלק מצורה גדולה, השתמשו בחיסור.
במקרים שבהם הצבעתם רק חלק מהחור, חזרו והגדירו מחדש מה אתם מחפשים.

תרגיל מודרך: תוכנית חדר משרד בצורת L

אדריכלית מתכננת חדר משרד בצורת L. החדר נכנס למלבן בגודל $10 \times 8$ מ, אבל פינה ריבועית $4 \times 3$ מ נחתכה ממנו לטובת מטבחון. מהו שטח החדר עצמו?

חישוב שטח חדר L

בינוני

חדר בצורת L: מלבן עוטף בגודל 10 על 8 מ, פחות פינה חסרה 4 על 3 מ. מהו שטח החדר?

S_{חדר} = (10 \times 8) - (4 \times 3) = ?

בעיות מעשיות מהעולם האמיתי

אדריכלות, גינון, ספורט, תכנון ערים, עיצוב מוצר. בכל תחום שמשתמש במרחב פיזי, מחשבים שטחים של צורות משולבות. הינה ארבע דוגמאות אמיתיות:

גן עם שביל

גן מלבני: $30 \times 20$ מ.
שביל ישר ברוחב $2$ מ חוצה אותו לרוחבו.

שטח גן כולל: $30 \times 20 = 600$ מ"ר
שטח שביל: $30 \times 2 = 60$ מ"ר
שטח דשא: $600 - 60 = 540$ מ"ר

אסטרטגיה: חיסור, כי הגן השלם והשביל ידועים.

טבעת (עיגול בתוך עיגול)

עיגול חיצוני: $r = 10$ ס"מ
עיגול פנימי: $r = 6$ ס"מ

שטח חיצוני: $3.14 \times 100 = 314$ סמ"ר
שטח פנימי: $3.14 \times 36 = 113.04$ סמ"ר
שטח טבעת: $314 - 113.04 = 200.96$ סמ"ר

אסטרטגיה: חיסור, צורה מקיפה פחות חור.

מגרש כדורסל - אזור הסל

אזור הסל בנוי ממלבן $5 \times 4$ מ עם חצי עיגול ברדיוס $r = 2$ מ בקצה.

מלבן: $5 \times 4 = 20$ מ"ר
חצי עיגול: $\frac{3.14 \times 4}{2} = 6.28$ מ"ר
שטח אזור הסל: $20 + 6.28 = 26.28$ מ"ר

אסטרטגיה: חיבור, מלבן ועיגול חצי צמודים.

כיכר עם מזרקה עגולה

כיכר ריבועית: צלע $20$ מ.
במרכז מזרקה עגולה ברדיוס $r = 3$ מ.

כיכר: $2 0^{2} = 400$ מ"ר
מזרקה: $3.14 \times 9 = 28.26$ מ"ר
שטח מרוצף: $400 - 28.26 = 371.74$ מ"ר

אסטרטגיה: חיסור, כיכר שלמה פחות מזרקה.

תהליך פתרון ב-5 שלבים

אותו תהליך עובד לכל בעיה של צורה משולבת:

שרטטו את הצורה וסמנו את כל המידות הנתונות.
זהו את הצורות הפשוטות שמרכיבות אותה (מלבן, משולש, עיגול וכדומה).
החליטו: חיבור (סכום של חלקים) או חיסור (שלם פחות חור).
חשבו כל חלק בנפרד עם הנוסחה המתאימה.
בדקו: האם התשובה הגיונית? האם היחידות נכונות (סמ"ר ולא ס"מ)?

שאלה לחשיבה

בריכה עגולה ברדיוס $5$ מ מוקפת שביל ברוחב $1$ מ. מהו שטח השביל בלבד?

רדיוס חיצוני: $5 + 1 = 6$ מ.
שטח עיגול חיצוני: $3.14 \times 36 = 113.04$ מ"ר.
שטח בריכה: $3.14 \times 25 = 78.5$ מ"ר.
שטח שביל: $113.04 - 78.5 = 34.54$ מ"ר.

שימו לב: הרדיוס החיצוני הוא רדיוס הבריכה ועוד רוחב השביל!

ראינו שצורת T אפשר לפתור גם בחיבור וגם בחיסור. נסו את אותו רעיון על צורת L: מלבן בגודל $10 \times 6$ שממנו נחתכה פינה $4 \times 3$ .

דרך החיסור: $(10 \times 6) - (4 \times 3) = 60 - 12 = 48$ סמ"ר.
דרך החיבור: מפצלים את ה-L לשני מלבנים: $(10 \times 3) + (6 \times 3) = 30 + 18 = 48$ סמ"ר.

אותה תוצאה! אם קיבלתם משהו אחר בכל דרך, יש טעות במידות, לא בנוסחה.

אסטרטגיה זו של פתרון פעמיים בשתי דרכים נקראת אימות צולב. בבחינות חשובות, אם נשאר זמן, היא הדרך הבטוחה ביותר לוודא תשובה.

התנסות אינטראקטיבית

צורת L: שחקו עם המידות, ובחרו אסטרטגיה. בדקו איזו דרך נותנת חישוב מהיר יותר עבור כל מקרה. נסו פעם בחיבור ופעם בחיסור, וראו שהתוצאה זהה.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 13

צורה מורכבת ממלבן ששטחו $60$ סמ"ר וממשולש ששטחו $20$ סמ"ר. מהו השטח הכולל?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של צורות משולבות - חיבור וחיסור שטחים כבר מוכן.

פתחו תרגול