גרסת הדפסה | החוברת

כל מצולע אפשר לפרק למשולשים - וכך לחשב את שטחו

הרעיון הגדול: טריאנגולציה

יש לכם צורה עם 5, 6 או אפילו 10 צלעות ואתם צריכים לחשב את שטחה? אל פחד! כל מצולע אפשר לחלק למשולשים, ואנחנו כבר יודעים לחשב שטח משולש.

השיטה: טריאנגולציה - חלוקה למשולשים
העיקרון: שטח הכולל = סכום שטחי כל המשולשים
יישום: עובד לכל מצולע, רגיל או לא

מהי טריאנגולציה?

מצולע בעל n צלעות אפשר לחלק ל-(n - 2) משולשים (אם בוחרים קודקוד), או ל-n משולשים (אם בוחרים נקודה פנימית).

דוגמאות

מרובע (4 צלעות)

מחולק ל-2 משולשים.
(4 - 2 = 2)

שטח = משולש 1 + משולש 2

מחומש (5 צלעות)

מחולק ל-3 משולשים.
(5 - 2 = 3)

שטח = סכום 3 המשולשים

משושה (6 צלעות)

מחולק ל-4 משולשים.
(6 - 2 = 4)

משושה רגילה: 6 משולשים שווים מהמרכז

דוגמאות פתורות

שתי דרכי חלוקה - שתיהן נכונות

במחומש (5 צלעות) אפשר לחלק בשתי דרכים: מקודקוד אחד - מקבלים $5 - 2 = 3$ משולשים, או מנקודה פנימית (בדרך כלל המרכז) - מקבלים $5$ משולשים. בדוגמאות הבאות נשתמש בחלוקה ממרכז המצולעים הרגילים, כי כל המשולשים שמתקבלים זהים וזה מפשט את החישוב. במצולעים לא קמורים בחירת נקודה פנימית מתאימה לעיתים גם נוחה יותר.

חלוקה מקודקוד: $n - 2$ משולשים (מתאים לכל מצולע קמור)
חלוקה ממרכז: $n$ משולשים (מתאים במיוחד למצולע רגיל)
שתי הדרכים נותנות את אותו סכום שטח - בוחרים את הנוחה יותר

חישובים

מחומש רגיל - חלוקה ממרכז

5 משולשים שווים מנקודה במרכז.
כל משולש: בסיס 8 ס"מ, גובה 5 ס"מ
שטח כל משולש = ( $8 \times 5) /2 = 20$
סה"כ = $5 \times 20 =$ 100 סמ"ר

משושה רגילה - חלוקה ממרכז

6 משולשים שווים מנקודה במרכז.
כל משולש: בסיס 6 ס"מ, גובה 5 ס"מ
שטח כל משולש = ( $6 \times 5) /2 = 15$
סה"כ = $6 \times 15 =$ 90 סמ"ר

מחומש לא רגיל - מנקודה פנימית

מחומש עם נקודה פנימית, חולק ל-5 משולשים שונים:
15, 20, 18, 16, 14 סמ"ר
סה"כ = 83 סמ"ר
(במצולע לא רגיל אין מרכז גאומטרי - בוחרים נקודה פנימית כלשהי)

גן בצורת משושה

6 מיטות משולשות, כל אחת 3 מ"ר
שטח הגן = $6 \times 3 =$ 18 מ"ר

פתרון מודרך - שטח מחומש רגיל

מחומש רגיל - שטח לפי טריאנגולציה ממרכז

מחומש רגיל שצלעו 6 ס"מ. אם הגובה מהמרכז לאמצע הצלע (אפותם) הוא 4 ס"מ, מה השטח?

מחלקים את המחומש מהמרכז ל-5 משולשים שווים. כל משולש הוא משולש שווה-שוקיים שבסיסו צלע המחומש (6 ס"מ) וגובהו האפותם (4 ס"מ).
$n = 5 משולשים, b = 6, h = 4$
מחשבים שטח של משולש אחד לפי הנוסחה הרגילה.
$S_{△} = \frac{b \times h}{2} = \frac{6 \times 4}{2} = 12 סמ"ר$
מכפילים במספר המשולשים כדי לקבל את שטח המחומש כולו.
$S_{מחומש} = 5 \times S_{△} = 5 \times 12$

תשובה:

S_{מחומש} = 60 סמ"ר

תרגיל

תרגול - שטח משושה רגילה

משושה רגילה שצלעה $10$ ס"מ והאפותם (גובה ממרכז לאמצע צלע) הוא $8.66$ ס"מ. מה השטח?

n = 6, b = 10 ס"מ, h = 8.66 ס"מ, S = ?

תרגיל

תרגול - שטח מתומן ממרכז

מתומן רגיל (8 צלעות). חולק מהמרכז ל-8 משולשים שווים. כל משולש: בסיס $5$ ס"מ וגובה $6$ ס"מ. מה שטח המתומן?

n = 8, b = 5, h = 6, S = ?

תרגיל

תרגול - מצולע לא רגיל

מרובע לא סדיר חולק לשני משולשים על ידי אלכסון. שטח משולש 1 = $24$ סמ"ר, שטח משולש 2 = $18$ סמ"ר. מה שטח המרובע? אם המרובע גם מחולק לארבעה משולשים מנקודה פנימית בשטחים: 10, 12, 8, 12 - האם נקבל את אותה תוצאה?

S_{□} = ?

הנוסחה הכללית

אין נוסחה אחת למצולע כללי! אבל יש שיטה:

מתומן (8 צלעות) חולק ל-8 משולשים מהמרכז. כל משולש: בסיס 5 ס"מ, גובה 4 ס"מ. מהו השטח?

מפרקים מצולע לחלקים ידידותיים

עקבו אחרי קווי הפירוק וראו איך מצולע אחד נהפך לכמה משולשים שאפשר לחשב בנפרד. הרעיון החשוב הוא לא לחפש נוסחה חדשה, אלא לזהות צורות מוכרות בתוך צורה מורכבת.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי שיטת הטריאנגולציה?

חלוקת מצולע למלבנים
חלוקת מצולע למשולשים
חלוקת מצולע לעיגולים
שיטה לציור מצולע

2.משושה חולקה ל-6 משולשים שווים, כל אחד בשטח 12 סמ"ר. מהו שטח המשושה?

12 סמ"ר
36 סמ"ר
72 סמ"ר
144 סמ"ר

3.מצולע בעל 5 צלעות. כשמחלקים אותו למשולשים מקודקוד אחד, כמה משולשים מתקבלים?

4.מחומש חולק ל-5 משולשים. שטחיהם: 10, 12, 11, 13, 14 סמ"ר. מהו השטח הכולל?

50 סמ"ר
60 סמ"ר
70 סמ"ר
80 סמ"ר

5.למה טריאנגולציה עובדת?

כי משולש הוא הצורה הפשוטה ביותר ויש לנו נוסחה לשטחו
כי כל מצולע הוא עגול
כי יש נוסחה ישירה לכל מצולע
זה לא באמת עובד