שטח מצולעים כלליים

כל מצולע אפשר לפרק למשולשים - וכך לחשב את שטחו

הרעיון הגדול: טריאנגולציה

יש לכם צורה עם 5, 6 או אפילו 10 צלעות ואתם צריכים לחשב את שטחה? אל פחד! כל מצולע אפשר לחלק למשולשים, ואנחנו כבר יודעים לחשב שטח משולש.

השיטה

טריאנגולציה - חלוקה למשולשים

העיקרון

שטח הכולל = סכום שטחי כל המשולשים

יישום

עובד לכל מצולע, רגיל או לא

מהי טריאנגולציה?

טריאנגולציה היא חלוקת מצולע למשולשים. בוחרים נקודה (קודקוד או נקודה פנימית) ומושכים ממנה קווים לכל שאר הקודקודים.

מצולע בעל n צלעות אפשר לחלק ל-(n - 2) משולשים (אם בוחרים קודקוד), או ל-n משולשים (אם בוחרים נקודה פנימית).

דוגמאות

מרובע (4 צלעות)

מחולק ל-2 משולשים.
(4 - 2 = 2)

שטח = משולש 1 + משולש 2

מחומש (5 צלעות)

מחולק ל-3 משולשים.
(5 - 2 = 3)

שטח = סכום 3 המשולשים

משושה (6 צלעות)

מחולק ל-4 משולשים.
(6 - 2 = 4)

משושה רגילה: 6 משולשים שווים מהמרכז

דוגמאות פתורות

שתי דרכי חלוקה - שתיהן נכונות

במחומש (5 צלעות) אפשר לחלק בשתי דרכים: מקודקוד אחד - מקבלים $5 - 2 = 3$ משולשים, או מנקודה פנימית (בדרך כלל המרכז) - מקבלים $5$ משולשים. בדוגמאות הבאות נשתמש בחלוקה ממרכז המצולעים הרגילים, כי כל המשולשים שמתקבלים זהים וזה מפשט את החישוב. במצולעים לא קמורים בחירת נקודה פנימית מתאימה לעיתים גם נוחה יותר.

חלוקה מקודקוד: $n - 2$ משולשים (מתאים לכל מצולע קמור)
חלוקה ממרכז: $n$ משולשים (מתאים במיוחד למצולע רגיל)
שתי הדרכים נותנות את אותו סכום שטח - בוחרים את הנוחה יותר

חישובים

מחומש רגיל - חלוקה ממרכז

5 משולשים שווים מנקודה במרכז.
כל משולש: בסיס 8 ס"מ, גובה 5 ס"מ
שטח כל משולש = ( $8 \times 5) /2 = 20$
סה"כ = $5 \times 20 =$ 100 סמ"ר

משושה רגילה - חלוקה ממרכז

6 משולשים שווים מנקודה במרכז.
כל משולש: בסיס 6 ס"מ, גובה 5 ס"מ
שטח כל משולש = ( $6 \times 5) /2 = 15$
סה"כ = $6 \times 15 =$ 90 סמ"ר

מחומש לא רגיל - מנקודה פנימית

מחומש עם נקודה פנימית, חולק ל-5 משולשים שונים:
15, 20, 18, 16, 14 סמ"ר
סה"כ = 83 סמ"ר
(במצולע לא רגיל אין מרכז גאומטרי - בוחרים נקודה פנימית כלשהי)

גן בצורת משושה

6 מיטות משולשות, כל אחת 3 מ"ר
שטח הגן = $6 \times 3 =$ 18 מ"ר

פתרון מודרך - שטח מחומש רגיל

מחומש רגיל - שטח לפי טריאנגולציה ממרכז

שלב 1 מתוך 3

מחומש רגיל שצלעו 6 ס"מ. אם הגובה מהמרכז לאמצע הצלע (אפותם) הוא 4 ס"מ, מה השטח?

מחלקים את המחומש מהמרכז ל-5 משולשים שווים. כל משולש הוא משולש שווה-שוקיים שבסיסו צלע המחומש (6 ס"מ) וגובהו האפותם (4 ס"מ).

n = 5 משולשים, b = 6, h = 4

תרגול - שטח משושה רגילה

בינוני

משושה רגילה שצלעה $10$ ס"מ והאפותם (גובה ממרכז לאמצע צלע) הוא $8.66$ ס"מ. מה השטח?

n = 6, b = 10 ס"מ, h = 8.66 ס"מ, S = ?

תרגול - שטח מתומן ממרכז

בינוני

מתומן רגיל (8 צלעות). חולק מהמרכז ל-8 משולשים שווים. כל משולש: בסיס $5$ ס"מ וגובה $6$ ס"מ. מה שטח המתומן?

n = 8, b = 5, h = 6, S = ?

תרגול - מצולע לא רגיל

מאתגר

מרובע לא סדיר חולק לשני משולשים על ידי אלכסון. שטח משולש 1 = $24$ סמ"ר, שטח משולש 2 = $18$ סמ"ר. מה שטח המרובע? אם המרובע גם מחולק לארבעה משולשים מנקודה פנימית בשטחים: 10, 12, 8, 12 - האם נקבל את אותה תוצאה?

S_{□} = ?

הנוסחה הכללית

אין נוסחה אחת למצולע כללי! אבל יש שיטה:

שלבי העבודה

לחישוב שטח מצולע כלשהו:

בחרו נקודה (קודקוד או מרכז)
משכו קווים מהנקודה לכל שאר הקודקודים
חשבו את שטח כל משולש בנפרד: $(בסיס \times גובה) /2$
סכמו את כל השטחים

שאלה לחשיבה

מתומן (8 צלעות) חולק ל-8 משולשים מהמרכז. כל משולש: בסיס 5 ס"מ, גובה 4 ס"מ. מהו השטח?

שטח כל משולש = ( $5 \times 4$ ) / 2 = 10 סמ"ר.
סה"כ = $8 \times 10$ = 80 סמ"ר.

במצולע רגיל (כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות), כל המשולשים זהים, מה שמפשט מאוד את החישוב.

טריאנגולציה היא כלי חזק שמשמש לא רק בגאומטריה אלא גם במפות, גרפיקה ממוחשבת, ומודלים תלת-ממדיים.

כל דמות תלת-ממדית במשחקי מחשב בנויה מאלפי משולשים קטנים! ככל שיש יותר משולשים, הצורה נראית חלקה יותר.

מפרקים מצולע לחלקים ידידותיים

עקבו אחרי קווי הפירוק וראו איך מצולע אחד נהפך לכמה משולשים שאפשר לחשב בנפרד. הרעיון החשוב הוא לא לחפש נוסחה חדשה, אלא לזהות צורות מוכרות בתוך צורה מורכבת.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 5

למה טריאנגולציה עובדת?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שטח מצולעים כלליים - טריאנגולציה כבר מוכן.

פתחו תרגול