גרסת הדפסה | החוברת

חוזרים ליסודות לפני שמגיעים לצורות מורכבות יותר

למה חשוב לחזור על היסודות?

בפרק הזה נלמד לחשב שטחים של צורות מגוונות - משולשים, מקביליות, טרפזים ועיגולים. אבל כל הנוסחאות האלה נבנות על בסיס אחד: שטח המלבן.

לכן, לפני שנתחיל, בואו נוודא שאנחנו שולטים במושגי היסוד ומבינים לעומק מה בעצם אומר "שטח".

מה נלמד?: מושג השטח ומשמעותו
נוסחאות: שטח מלבן ושטח ריבוע
יחידות: למה שטח נמדד ביחידות ריבועיות
יישום: בעיות מעשיות מהחיים

מה זה בעצם שטח?

שטח הוא המידה של הגודל של משטח דו-ממדי. במילים פשוטות - כמה מקום תופסת הצורה על הנייר.

דמיינו שאתם מרצפים את הרצפה באריחים ריבועיים קטנים. כמה אריחים צריך? זה בדיוק השטח! לכן שטח נמדד תמיד ביחידות ריבועיות - אנחנו סופרים כמה ריבועי יחידה נכנסים בצורה.

שטח מלבן

מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות (90°) וצלעות נגדיות שוות. לחישוב השטח שלו, אנחנו פשוט כופלים את האורך ברוחב.

נוסחת שטח מלבן

הנוסחה הפשוטה והחשובה ביותר בכל הפרק:

שטח מלבן = אורך \times רוחב

הנוסחה הזו תהיה הבסיס לכל נוסחאות השטח שנלמד בהמשך הפרק!

תמונה הממחישה את ההבדל בין שטח להיקף בעזרת מלבן מרוצף בריבועי יחידה — השטח סופר את הריבועים שבתוך המלבן, ואילו ההיקף מודד את המסגרת מסביב.

שטח ריבוע

ריבוע הוא מקרה מיוחד של מלבן - מלבן שבו כל הצלעות שוות. לכן נוסחת השטח פשוטה במיוחד.

למה יחידות ריבועיות?

שימו לב לדבר חשוב: כשאנחנו מכפילים אורך (בס"מ) ברוחב (בס"מ), התוצאה היא

ס"מ \times ס"מ = ס"מ^{2}

. זו לא טעות - זו בדיוק הסיבה ששטח נמדד ביחידות ריבועיות!

דוגמאות פתורות

בואו נתרגל

שטח מלבן פשוט

מלבן: אורך = 8 ס"מ, רוחב = 5 ס"מ
שטח: $8 \times 5 = 40$ סמ"ר

שטח ריבוע

ריבוע: צלע = 7 ס"מ
שטח: $7^{2} = 49$ סמ"ר

מלבן גדול

מלבן: אורך = 12 מ', רוחב = 9 מ'
שטח: $12 \times 9 = 108$ מ"ר

מציאת צלע חסרה

שטח מלבן = 50 מ"ר, אורך = 10 מ'
רוחב: $50 \div 10 = 5$ מ'

בעיות מעשיות מהחיים

ריצוף חדר

חדר בצורת ריבוע עם צלע 4 מ'.
כמה אריחים של 0.5 מ' × 0.5 מ' צריך?

פתרון:
שטח החדר:

4^{2} = 16

מ"ר
שטח כל אריח:

0.5 \times 0.5 = 0.25

מ"ר
מספר אריחים:

16 \div 0.25 = 64

אריחים

צביעת קיר

קיר מלבני: 5 מ' אורך, 3 מ' גובה.
כל ליטר צבע מכסה 4 מ"ר. כמה ליטרים?

פתרון:
שטח הקיר:

5 \times 3 = 15

מ"ר
ליטרים:

15 \div 4 = 3.75

צריך 4 ליטרים (מעגלים למעלה!)

מה קורה כשמשנים ממדים?

שאלה מעניינת: אם מכפילים את אורך המלבן פי 2, מה קורה לשטח?

אם מגדילים את שתי הצלעות של מלבן פי 2, בכמה יגדל השטח?

חוקי שינוי ממדים

הגדלת ממד אחד פי 2

השטח גדל פי 2. לדוגמה: $3 \times 4 = 12$ , אחרי הגדלה: $6 \times 4 = 24$ .

הגדלת שני ממדים פי 2

השטח גדל פי 4. לדוגמה: $3 \times 4 = 12$ , אחרי הגדלה: $6 \times 8 = 48$ .

הגדלת שני ממדים פי 3

השטח גדל פי 9. לדוגמה: $3 \times 4 = 12$ , אחרי הגדלה: $9 \times 12 = 108$ .

ריבוע כמקרה מיוחד

חשוב להבין את מערכת היחסים בין הצורות. ריבוע הוא סוג מיוחד של מלבן. כל ריבוע הוא מלבן, אבל לא כל מלבן הוא ריבוע!

מלבן מול ריבוע

מלבן

4 זוויות ישרות, צלעות נגדיות שוות. הצלעות הסמוכות יכולות להיות שונות.

שטח = $אורך \times רוחב$
דוגמה: $8 \times 5 = 40$ סמ"ר

ריבוע

4 זוויות ישרות, כל 4 הצלעות שוות. מקרה מיוחד של מלבן.

שטח = צלע²
דוגמה: $6^{2} = 36$ סמ"ר

בריבוע, האורך שווה לרוחב, ולכן: $צלע \times צלע = צלע^{2}$

היקף מלבן והיקף ריבוע

עד עכשיו עסקנו בשטח - כמה מקום הצורה תופסת. עכשיו נכיר מושג חשוב נוסף: ההיקף. ההיקף הוא סכום אורכי כל הצלעות של הצורה - זאת אומרת, כמה אורך צריך כדי להקיף אותה לגמרי, למשל גדר סביב גינה או סרט סביב מסגרת תמונה.

נוסחת היקף מלבן

במלבן יש שתי צלעות באורך $a$ ושתי צלעות ברוחב $b$ . סכום ארבע הצלעות הוא ההיקף:

P = 2 (a + b) = 2 a + 2 b

אותה נוסחה, שתי צורות. בחרו את הנוחה לכם - שתיהן נכונות ונותנות את אותה תוצאה.

נוסחת היקף ריבוע

בריבוע כל ארבע הצלעות שוות באורכן $a$ , ולכן הנוסחה פשוטה במיוחד:

P = 4 \cdot a

כדי למצוא היקף ריבוע, מספיק לדעת את אורך צלע אחת ולכפול ב-4.

דוגמאות היקף - בואו נתרגל

היקף מלבן

מלבן: אורך = 8 ס"מ, רוחב = 5 ס"מ
היקף: $P = 2 (8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26$ ס"מ

או לחילופין: $P = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 5 = 16 + 10 = 26$ ס"מ

היקף ריבוע

ריבוע: צלע = 7 ס"מ
היקף: $P = 4 \cdot 7 = 28$ ס"מ

שימו לב: השטח של אותו ריבוע הוא $7^{2} = 49$ סמ"ר - מספר אחר ויחידות אחרות.

מלבן גדול במטרים

מלבן: אורך = 12 מ', רוחב = 9 מ'
היקף: $P = 2 (12 + 9) = 2 \cdot 21 = 42$ מ'

כמה מטרים של גדר נצטרך כדי להקיף אותו? בדיוק 42 מ'.

מציאת צלע מההיקף

היקף ריבוע = 36 ס"מ. מה אורך הצלע?
מהנוסחה $P = 4 \cdot a$ מקבלים: $a = 36 \div 4 = 9$ ס"מ

פתרון מודרך - היקף מלבן

מלבן באורך 15 ס"מ וברוחב 8 ס"מ. מצאו את ההיקף.

כותבים את הנוסחה הכללית להיקף מלבן.
$P = 2 (a + b)$
מציבים את הנתונים: a = 15, b = 8.
$P = 2 \cdot (15 + 8)$
מחשבים קודם את הסוגריים.
$P = 2 \cdot 23$
כופלים ומקבלים את ההיקף ביחידות אורך.
$P = 46 ס"מ$

תשובה:

P = 46 ס"מ

תרגיל

תרגיל - היקף ריבוע

ריבוע שאורך צלעו 12 ס"מ. מצאו את ההיקף שלו.

a = 12 ס"מ

תרגיל

תרגיל - מציאת רוחב מההיקף

ההיקף של מלבן הוא 30 מ', והאורך שלו 9 מ'. מהו הרוחב?

P = 30 מ’, a = 9 מ’

האם שני מלבנים עם אותו היקף בהכרח שווי שטח? נסו דוגמאות נגדיות.

שאלות מאתגרות

מלבן ושטח זהה - האם ההיקף חייב להיות זהה? למשל, שני מלבנים עם שטח 24 סמ"ר - האם ההיקף שלהם בהכרח שווה?

חוקרים את השטח בתנועה

שנו אורך ורוחב, ובדקו איך מספר ריבועי היחידה משתנה. נסו גם להפוך את המלבן לריבוע ולראות איך אותו רעיון בסיסי של אורך כפול רוחב ממשיך לעבוד.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה שטח מלבן שאורכו 10 ס"מ ורוחבו 6 ס"מ?

16 סמ"ר
60 סמ"ר
32 סמ"ר
40 סמ"ר

2.מה שטח ריבוע שצלעו 7 ס"מ?

14 סמ"ר
49 סמ"ר
28 סמ"ר
35 סמ"ר

3.אם מגדילים את אורך מלבן פי 3 (בלי לשנות את הרוחב), בכמה יגדל השטח?

פי 3
פי 6
פי 9
פי 2

4.שטח מלבן הוא 50 מ"ר ואורכו 10 מ'. מהו הרוחב?

5 מ'
10 מ'
15 מ'
40 מ'

5.חדר ריבועי עם צלע 4 מ'. כמה אריחים של $0.5 \times 0.5$ מ' דרושים לריצוף?

6.אם מגדילים את שתי הצלעות של מלבן פי 2, בכמה יגדל השטח?

פי 2
פי 3
פי 4
פי 8

7.מהו היקף מלבן שאורכו 9 ס"מ ורוחבו 4 ס"מ?

13 ס"מ
26 ס"מ
36 ס"מ
18 ס"מ

8.ריבוע ששטחו 81 סמ"ר. מהו אורך הצלע שלו?

9 ס"מ
20.25 ס"מ
40.5 ס"מ
8 ס"מ

9.מהו היקף ריבוע שצלעו 12 מ'?

24 מ'
144 מ'
48 מ'
36 מ'

10.מלבן ששטחו 24 סמ"ר. איזה מבין הזוגות הבאים יכול להיות (אורך, רוחב) שלו?

(8, 4)
(6, 4)
(5, 5)
(10, 3)