חזרה - שטח מלבן וריבוע

חוזרים ליסודות לפני שמגיעים לצורות מורכבות יותר

למה חשוב לחזור על היסודות?

בפרק הזה נלמד לחשב שטחים של צורות מגוונות - משולשים, מקביליות, טרפזים ועיגולים. אבל כל הנוסחאות האלה נבנות על בסיס אחד: שטח המלבן.

לכן, לפני שנתחיל, בואו נוודא שאנחנו שולטים במושגי היסוד ומבינים לעומק מה בעצם אומר "שטח".

מה נלמד?

מושג השטח ומשמעותו

נוסחאות

שטח מלבן ושטח ריבוע

יחידות

למה שטח נמדד ביחידות ריבועיות

יישום

בעיות מעשיות מהחיים

מה זה בעצם שטח?

שטח הוא המידה של הגודל של משטח דו-ממדי. במילים פשוטות - כמה מקום תופסת הצורה על הנייר.

דמיינו שאתם מרצפים את הרצפה באריחים ריבועיים קטנים. כמה אריחים צריך? זה בדיוק השטח! לכן שטח נמדד תמיד ביחידות ריבועיות - אנחנו סופרים כמה ריבועי יחידה נכנסים בצורה.

הגדרה: שטח של צורה הוא מספר ריבועי היחידה שמכסים את פניה. אם הצלעות נמדדות בסנטימטרים, השטח יהיה בסנטימטרים רבועים (סמ"ר). אם הצלעות במטרים - השטח במטרים רבועים (מ"ר).

שטח מלבן

מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות (90°) וצלעות נגדיות שוות. לחישוב השטח שלו, אנחנו פשוט כופלים את האורך ברוחב.

נוסחת שטח מלבן

הנוסחה הפשוטה והחשובה ביותר בכל הפרק:

נניח שמלבן בעל אורך של 5 ס"מ ורוחב של 3 ס"מ. אם נרצף אותו בריבועים של 1 ס"מ, נקבל 5 שורות של 3 ריבועים כל אחת - סך הכל 15 ריבועים. לכן השטח הוא 15 סמ"ר.

באופן כללי: מספר הריבועים = מספר העמודות כפול מספר השורות = אורך כפול רוחב.

$שטח מלבן = אורך \times רוחב$

הנוסחה הזו תהיה הבסיס לכל נוסחאות השטח שנלמד בהמשך הפרק!

שטח ריבוע

ריבוע הוא מקרה מיוחד של מלבן - מלבן שבו כל הצלעות שוות. לכן נוסחת השטח פשוטה במיוחד.

שטח ריבוע = $צלע \times צלע = צלע^{2}$

לדוגמה: ריבוע עם צלע 6 ס"מ - שטחו $6^{2} = 36$ סמ"ר.

למה יחידות ריבועיות?

שימו לב לדבר חשוב: כשאנחנו מכפילים אורך (בס"מ) ברוחב (בס"מ), התוצאה היא $ס"מ \times ס"מ = ס"מ^{2}$ . זו לא טעות - זו בדיוק הסיבה ששטח נמדד ביחידות ריבועיות!

זכרו

שטח הוא תמיד ביחידות ריבועיות (בחזקת 2). אל תשכחו לציין ²! התשובה 36 ס"מ היא אורך, ואילו 36 סמ"ר היא שטח.

צלעות בסנטימטרים - שטח בסנטימטרים רבועים (סמ"ר)
צלעות במטרים - שטח במטרים רבועים (מ"ר)
צלעות בקילומטרים - שטח בקילומטרים רבועים (קמ"ר)

דוגמאות פתורות

בואו נתרגל

שטח מלבן פשוט

מלבן: אורך = 8 ס"מ, רוחב = 5 ס"מ
שטח: $8 \times 5 = 40$ סמ"ר

שטח ריבוע

ריבוע: צלע = 7 ס"מ
שטח: $7^{2} = 49$ סמ"ר

מלבן גדול

מלבן: אורך = 12 מ', רוחב = 9 מ'
שטח: $12 \times 9 = 108$ מ"ר

מציאת צלע חסרה

שטח מלבן = 50 מ"ר, אורך = 10 מ'
רוחב: $50 \div 10 = 5$ מ'

בעיות מעשיות מהחיים

ריצוף חדר

חדר בצורת ריבוע עם צלע 4 מ'.
כמה אריחים של 0.5 מ' × 0.5 מ' צריך?

פתרון:
שטח החדר: $4^{2} = 16$ מ"ר
שטח כל אריח: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ מ"ר
מספר אריחים: $16 \div 0.25 = 64$ אריחים

צביעת קיר

קיר מלבני: 5 מ' אורך, 3 מ' גובה.
כל ליטר צבע מכסה 4 מ"ר. כמה ליטרים?

פתרון:
שטח הקיר: $5 \times 3 = 15$ מ"ר
ליטרים: $15 \div 4 = 3.75$
צריך 4 ליטרים (מעגלים למעלה!)

מה קורה כשמשנים ממדים?

שאלה מעניינת: אם מכפילים את אורך המלבן פי 2, מה קורה לשטח?

שאלה לחשיבה

אם מגדילים את שתי הצלעות של מלבן פי 2, בכמה יגדל השטח?

השטח יגדל פי 4! מלבן מקורי: $שטח = a \times b$ . מלבן חדש: $שטח = 2 a \times 2 b = 4 ab$ . כלומר, השטח גדל פי 4.

שימו לב: הגדלת שני הממדים פי $k$ מגדילה את השטח פי $k^{2}$ . זה אחד הרעיונות החשובים בגאומטריה!

חוקי שינוי ממדים

הגדלת ממד אחד פי 2

השטח גדל פי 2. לדוגמה: $3 \times 4 = 12$ , אחרי הגדלה: $6 \times 4 = 24$ .

הגדלת שני ממדים פי 2

השטח גדל פי 4. לדוגמה: $3 \times 4 = 12$ , אחרי הגדלה: $6 \times 8 = 48$ .

הגדלת שני ממדים פי 3

השטח גדל פי 9. לדוגמה: $3 \times 4 = 12$ , אחרי הגדלה: $9 \times 12 = 108$ .

ריבוע כמקרה מיוחד

חשוב להבין את מערכת היחסים בין הצורות. ריבוע הוא סוג מיוחד של מלבן. כל ריבוע הוא מלבן, אבל לא כל מלבן הוא ריבוע!

מלבן מול ריבוע

מלבן

4 זוויות ישרות, צלעות נגדיות שוות. הצלעות הסמוכות יכולות להיות שונות.

דוגמה: שטח = $אורך \times רוחב$
דוגמה: $8 \times 5 = 40$ סמ"ר

ריבוע

4 זוויות ישרות, כל 4 הצלעות שוות. מקרה מיוחד של מלבן.

דוגמה: שטח = צלע²
דוגמה: $6^{2} = 36$ סמ"ר

בריבוע, האורך שווה לרוחב, ולכן: $צלע \times צלע = צלע^{2}$

היקף מלבן והיקף ריבוע

עד עכשיו עסקנו בשטח - כמה מקום הצורה תופסת. עכשיו נכיר מושג חשוב נוסף: ההיקף. ההיקף הוא סכום אורכי כל הצלעות של הצורה - זאת אומרת, כמה אורך צריך כדי להקיף אותה לגמרי, למשל גדר סביב גינה או סרט סביב מסגרת תמונה.

חשוב להבדיל: ההיקף נמדד ביחידות אורך רגילות - ס"מ, מ', ק"מ - בלי חזקה. רק השטח נמדד ביחידות ריבועיות (סמ"ר, מ"ר). הסיבה: בהיקף אנחנו מחברים אורכים, לא כופלים אותם.

נוסחת היקף מלבן

במלבן יש שתי צלעות באורך $a$ ושתי צלעות ברוחב $b$ . סכום ארבע הצלעות הוא ההיקף:

אפשר להגיע לנוסחה בשתי דרכים שמובילות לאותה תוצאה:
1. מחברים את כל ארבע הצלעות בנפרד: $a + b + a + b = 2 a + 2 b$ .
2. שמים לב שיש שני זוגות של צלעות שוות, מחברים זוג אחד וכופלים ב-2: $2 (a + b)$ .

שימו לב לסוגריים בנוסחה הקצרה: בלעדיהם נכפול רק את $a$ ב-2 ונוסיף את $b$ , וזו טעות נפוצה.

$P = 2 (a + b) = 2 a + 2 b$

אותה נוסחה, שתי צורות. בחרו את הנוחה לכם - שתיהן נכונות ונותנות את אותה תוצאה.

נוסחת היקף ריבוע

בריבוע כל ארבע הצלעות שוות באורכן $a$ , ולכן הנוסחה פשוטה במיוחד:

מחברים את ארבע הצלעות: $a + a + a + a = 4 \cdot a$ .

כמו שראינו בשטח שריבוע הוא מקרה פרטי של מלבן, גם כאן: אם נציב במלבן $a = b$ בנוסחה $P = 2 (a + b)$ , נקבל $P = 2 (a + a) = 2 \cdot 2 a = 4 a$ . אותה תוצאה.

$P = 4 \cdot a$

כדי למצוא היקף ריבוע, מספיק לדעת את אורך צלע אחת ולכפול ב-4.

טעות נפוצה - היקף מול שטח

זו הטעות הנפוצה ביותר בנושא: לבלבל בין שטח להיקף, או להשתמש ביחידות הלא נכונות. זכרו את ההבדל לפי הפעולה שאתם עושים על המספרים.

היקף = חיבור של אורכי צלעות, ולכן היחידות נשארות אורך: ס"מ, מ', ק"מ.
שטח = כפל של אורך ברוחב, ולכן היחידות הופכות לריבועיות: סמ"ר, מ"ר, קמ"ר.
מבחן זריז: אם יחידת התשובה שלכם בחזקת 2 - זה שטח. בלי חזקה - זה היקף.
אותה צורה יכולה להיות עם שטח קטן והיקף גדול, ולהפך - שני המושגים נפרדים.

דוגמאות היקף - בואו נתרגל

היקף מלבן

מלבן: אורך = 8 ס"מ, רוחב = 5 ס"מ
היקף: $P = 2 (8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26$ ס"מ

או לחילופין: $P = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 5 = 16 + 10 = 26$ ס"מ

היקף ריבוע

ריבוע: צלע = 7 ס"מ
היקף: $P = 4 \cdot 7 = 28$ ס"מ

שימו לב: השטח של אותו ריבוע הוא $7^{2} = 49$ סמ"ר - מספר אחר ויחידות אחרות.

מלבן גדול במטרים

מלבן: אורך = 12 מ', רוחב = 9 מ'
היקף: $P = 2 (12 + 9) = 2 \cdot 21 = 42$ מ'

כמה מטרים של גדר נצטרך כדי להקיף אותו? בדיוק 42 מ'.

מציאת צלע מההיקף

היקף ריבוע = 36 ס"מ. מה אורך הצלע?
מהנוסחה $P = 4 \cdot a$ מקבלים: $a = 36 \div 4 = 9$ ס"מ

פתרון מודרך - היקף מלבן

שלב 1 מתוך 4

מלבן באורך 15 ס"מ וברוחב 8 ס"מ. מצאו את ההיקף.

כותבים את הנוסחה הכללית להיקף מלבן.

P = 2 (a + b)

תרגיל - היקף ריבוע

בסיסי

ריבוע שאורך צלעו 12 ס"מ. מצאו את ההיקף שלו.

a = 12 ס"מ

תרגיל - מציאת רוחב מההיקף

בינוני

ההיקף של מלבן הוא 30 מ', והאורך שלו 9 מ'. מהו הרוחב?

P = 30 מ’, a = 9 מ’

שאלה לחשיבה

האם שני מלבנים עם אותו היקף בהכרח שווי שטח? נסו דוגמאות נגדיות.

לא! דוגמה: מלבן $10 \times 2$ - היקף 24, שטח 20. מלבן $8 \times 4$ - היקף 24, שטח 32. ריבוע $6 \times 6$ - היקף 24, שטח 36. כל אלה עם היקף 24, אבל שטחים שונים לחלוטין.

השאלה הזו היא ההפך מהשאלה שראינו קודם (שטח זהה - היקפים שונים). שני המושגים, שטח והיקף, לא קובעים זה את זה. זו בדיוק הסיבה שאנחנו לומדים אותם בנפרד.

שאלות מאתגרות

שאלה לחשיבה

מלבן ושטח זהה - האם ההיקף חייב להיות זהה? למשל, שני מלבנים עם שטח 24 סמ"ר - האם ההיקף שלהם בהכרח שווה?

לא! מלבן $6 \times 4$ - שטח 24, היקף 20. מלבן $8 \times 3$ - שטח 24, היקף 22. מלבן $12 \times 2$ - שטח 24, היקף 28. כולם באותו שטח אבל היקפים שונים.

מכל המלבנים עם שטח נתון, לריבוע יש את ההיקף הקטן ביותר!

אם יש לכם 24 מטרים של גדר ואתם רוצים לגדר שטח מקסימלי, איזו צורה תבחרו?

עם היקף 24 מ', בואו ננסה אפשרויות:
- מלבן $10 \times 2$ : שטח = 20 מ"ר
- מלבן $8 \times 4$ : שטח = 32 מ"ר
- ריבוע $6 \times 6$ : שטח = 36 מ"ר

הריבוע מנצח! זו תכונה כללית: מכל המלבנים עם אותו היקף, הריבוע נותן את השטח הגדול ביותר.

חוקרים את השטח בתנועה

שנו אורך ורוחב, ובדקו איך מספר ריבועי היחידה משתנה. נסו גם להפוך את המלבן לריבוע ולראות איך אותו רעיון בסיסי של אורך כפול רוחב ממשיך לעבוד.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 10

מה שטח ריבוע שצלעו 7 ס"מ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חזרה - שטח מלבן וריבוע כבר מוכן.

פתחו תרגול

חזרה - שטח מלבן וריבוע

למה חשוב לחזור על היסודות?

מה זה בעצם שטח?

שטח מלבן

נוסחת שטח מלבן

שטח ריבוע

למה יחידות ריבועיות?

זכרו

דוגמאות פתורות

בואו נתרגל

שטח מלבן פשוט

שטח ריבוע

מלבן גדול

מציאת צלע חסרה

בעיות מעשיות מהחיים

ריצוף חדר

צביעת קיר

מה קורה כשמשנים ממדים?

שאלה לחשיבה

חוקי שינוי ממדים

הגדלת ממד אחד פי 2

הגדלת שני ממדים פי 2

הגדלת שני ממדים פי 3

ריבוע כמקרה מיוחד

מלבן מול ריבוע

מלבן

ריבוע

היקף מלבן והיקף ריבוע

נוסחת היקף מלבן

נוסחת היקף ריבוע

טעות נפוצה - היקף מול שטח

דוגמאות היקף - בואו נתרגל

היקף מלבן

היקף ריבוע

מלבן גדול במטרים

מציאת צלע מההיקף

פתרון מודרך - היקף מלבן

תרגיל - היקף ריבוע

תרגיל - מציאת רוחב מההיקף

שאלה לחשיבה

שאלות מאתגרות

שאלה לחשיבה

שטח והיקף - מי הכי יעיל?

חוקרים את השטח בתנועה

מה שטח ריבוע שצלעו 7 ס"מ?

חזרה - שטח מלבן וריבוע

מעבר לדף התרגול של המודול