גרסת הדפסה | החוברת

מגלים למה ממוצע הבסיסים כפול גובה עובד

מהנוסחה ועד ההוכחה

הנוסחה לשטח טרפז נראית מסובכת, אבל ברגע שמבינים למה היא עובדת - הכל מתחבר! הטריק: לקחת שני טרפזים זהים ולהרכיב מהם מקבילית. המודול ממשיך את תכונות הטרפז שלמדנו במודול הקודם.

הנוסחה: שטח = $ממוצע הבסיסים \cdot גובה$
למה עובד?: שני טרפזים = מקבילית
דרך נוספת: פירוק למלבן ומשולשים

הנוסחה

טרפז עם בסיס עליון

a

, בסיס תחתון

b

, וגובה

h

. הנוסחה לשטח:

שטח טרפז

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

במילים: חברו את שני הבסיסים, חלקו ב-

2

(זה הממוצע), והכפילו בגובה. צורה שקולה לכתיבת הנוסחה:

S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}

למה הנוסחה עובדת? הוכחה 1

קחו שני טרפזים זהים. הפכו אחד מהם ראש למטה והצמידו אותו לשני. מה קיבלתם? מקבילית!

שלב 1

טרפז אחד עם בסיסים

a

ו-

b

וגובה

h

שלב 2

שני טרפזים זהים מורכבים יחד (אחד הפוך) ויוצרים מקבילית.

שלב 3

שטח מקבילית =

(a + b) \cdot h

שטח טרפז = חצי =

\frac{( a + b ) \cdot h}{2}

הוכחה 2: פירוק לצורות מוכרות

דרך נוספת: מחלקים את הטרפז למלבן ושני משולשים.

פירוק לדוגמה: בסיסים $4$ ו- $8$ , גובה $3$

S = ?, a = 4, b = 8, h = 3

מציירים מלבן באמצע עם רוחב הבסיס הקצר (4 ס"מ) וגובה 3 ס"מ.
$S_{מלבן} = 4 \cdot 3 = 12 סמ"ר$
ההפרש בין הבסיסים מתחלק לשני משולשים שווים בצדדים.
$בסיס כל משולש = \frac{8 - 4}{2} = 2 ס"מ$
שטח שני המשולשים יחד.
$S_{משולשים} = 2 \cdot \frac{2 \cdot 3}{2} = 6 סמ"ר$
סוכמים את שטח המלבן ושטח שני המשולשים.
$S_{טרפז} = 12 + 6 = 18 סמ"ר$
בדיקה עם הנוסחה הישירה - תוצאה זהה.
$S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 סמ"ר$

תשובה:

S = 18 סמ"ר

"ממוצע" - המפתח לזכירה

שימו לב לרעיון המרכזי:

\frac{a + b}{2}

הוא הממוצע של שני הבסיסים. אפשר לחשוב על שטח טרפז כך: "כאילו" הבסיסים שווים לממוצע שלהם, ואז שטח =

ממוצע \cdot גובה

טעויות נפוצות

דוגמאות פתורות

מציאת בסיס חסר

a = 8, h = 3, S = 21 סמ"ר, b = ?

מציבים בנוסחה את הנתונים, השטח ידוע והבסיס השני נעלם.
$21 = \frac{8 + b}{2} \cdot 3$
מחלקים את שני האגפים ב-3.
$7 = \frac{8 + b}{2}$
מכפילים את שני האגפים ב-2.
$14 = 8 + b$
מחסרים 8 ומקבלים את הבסיס החסר.
$b = 6 ס"מ$

תשובה:

b = 6 ס"מ

עוד דוגמאות מהירות

טרפז פשוט

בסיסים: $5$ ו- $9$ ס"מ, גובה: $4$ ס"מ
שטח = $\frac{5 + 9}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$ סמ"ר

מציאת גובה

בסיסים $4$ ו- $12$ ס"מ, שטח $40$ סמ"ר
$40 = \frac{4 + 12}{2} \cdot h = 8 h$
$h = 5$ ס"מ

שדה טרפזי

בסיסים: $20$ ו- $30$ מ', גובה: $15$ מ'
שטח = $\frac{20 + 30}{2} \cdot 15 = 25 \cdot 15 = 375$ מ"ר

ממוצע מספר שלם

בסיסים: $6$ ו- $10$ ס"מ, גובה: $7$ ס"מ
שטח = $\frac{6 + 10}{2} \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$ סמ"ר

שני טרפזים: אחד עם בסיסים $3$ ו- $7$ ס"מ וגובה $2$ ס"מ, והשני עם בסיסים $4$ ו- $8$ ס"מ וגובה $2$ ס"מ. לאיזה שטח גדול יותר?

מקרים מיוחדים

מה קורה כשאחד הבסיסים הוא

0

? אז הטרפז הופך למשולש! ובאמת:

\frac{0 + b}{2} \cdot h = \frac{b \cdot h}{2}

- זו נוסחת שטח משולש!

ומה קורה כששני הבסיסים שווים? אז הטרפז הופך למקבילית!

\frac{a + a}{2} \cdot h = a \cdot h

- זו נוסחת שטח מקבילית!

שני טרפזים יוצרים רעיון אחד

חברו בדמיון שני טרפזים זהים וראו שהם יוצרים מקבילית. ברגע שמבינים שהבסיס החדש הוא סכום הבסיסים, הנוסחה של הטרפז כבר לא נראית כמו משהו שצריך לשנן.

סיכום

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי הנוסחה לשטח טרפז עם בסיסים a ו-b וגובה h?

$בסיס \times גובה$
$\frac{a + b}{2} \times h$
$\frac{a \times b}{h}$
$(a + b) \times h$

2.טרפז עם בסיסים 7 ו-11 ס"מ וגובה 5 ס"מ. מהו השטח?

45 סמ"ר
35 סמ"ר
55 סמ"ר
90 סמ"ר

3.טרפז עם בסיסים 5 ו-15 ס"מ ושטח 60 סמ"ר. מהו הגובה?

4 ס"מ
6 ס"מ
8 ס"מ
10 ס"מ

4.מאיפה באה נוסחת שטח הטרפז?

זה כלל שצריך לקבל בלי הסבר
משילוב שני טרפזים זהים שיוצרים מקבילית
מנוסחת שטח משולש בלבד
מנוסחת שטח מלבן בלבד

5.אם שני הבסיסים של טרפז שווים זה לזה, איזו צורה מתקבלת?

משולש
מקבילית
עיגול
עדיין טרפז רגיל

6.טרפז עם בסיס אחד 8 ס"מ, גובה 3 ס"מ, ושטח 21 סמ"ר. מהו הבסיס השני?

6 ס"מ
5 ס"מ
7 ס"מ
4 ס"מ

7.אם אחד הבסיסים של הטרפז שווה ל-0, איזו צורה מתקבלת ואיך הנוסחה נראית?

מלבן, ושטח = $a \times h$
משולש, ושטח = $\frac{b \times h}{2}$
מקבילית, ושטח = $b \times h$
אי אפשר, טרפז חייב שני בסיסים שונים מאפס

8.שדה בצורת טרפז עם בסיסים 30 מ' ו-50 מ' וגובה 20 מ'. כמה זרעים צריך אם כל מטר רבוע דורש 3 זרעים?

1,200 זרעים
2,400 זרעים
3,000 זרעים
4,800 זרעים