שטח טרפז

מגלים למה ממוצע הבסיסים כפול גובה עובד

מהנוסחה ועד ההוכחה

הנוסחה לשטח טרפז נראית מסובכת, אבל ברגע שמבינים למה היא עובדת - הכל מתחבר! הטריק: לקחת שני טרפזים זהים ולהרכיב מהם מקבילית. המודול ממשיך את תכונות הטרפז שלמדנו במודול הקודם.

הנוסחה

שטח =

ממוצע הבסיסים \cdot גובה

למה עובד?

שני טרפזים = מקבילית

דרך נוספת

פירוק למלבן ומשולשים

הנוסחה

טרפז עם בסיס עליון $a$ , בסיס תחתון $b$ , וגובה $h$ . הנוסחה לשטח:

שטח טרפז

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

במילים: חברו את שני הבסיסים, חלקו ב- $2$ (זה הממוצע), והכפילו בגובה. צורה שקולה לכתיבת הנוסחה:

S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}

מפתח לזכירה

ממוצע הבסיסים כפול גובה - זה כל הסיפור. הבסיסים שונים? קחו ממוצע, וההמשך כמו במלבן: $ממוצע \times גובה$ .

למה הנוסחה עובדת? הוכחה 1

קחו שני טרפזים זהים. הפכו אחד מהם ראש למטה והצמידו אותו לשני. מה קיבלתם? מקבילית!

שלב 1

טרפז אחד עם בסיסים $a$ ו- $b$ וגובה $h$ .

שלב 2

שני טרפזים זהים מורכבים יחד (אחד הפוך) ויוצרים מקבילית.

שלב 3

שטח מקבילית = $(a + b) \cdot h$
שטח טרפז = חצי = $\frac{( a + b ) \cdot h}{2}$

הוכחה 2: פירוק לצורות מוכרות

דרך נוספת: מחלקים את הטרפז למלבן ושני משולשים.

פירוק לדוגמה: בסיסים $4$ ו- $8$ , גובה $3$

שלב 1 מתוך 5

S = ?, a = 4, b = 8, h = 3

מציירים מלבן באמצע עם רוחב הבסיס הקצר (4 ס"מ) וגובה 3 ס"מ.

S_{מלבן} = 4 \cdot 3 = 12 סמ"ר

"ממוצע" - המפתח לזכירה

שימו לב לרעיון המרכזי: $\frac{a + b}{2}$ הוא הממוצע של שני הבסיסים. אפשר לחשוב על שטח טרפז כך: "כאילו" הבסיסים שווים לממוצע שלהם, ואז שטח = $ממוצע \cdot גובה$ .

טעויות נפוצות

שימו לב - 4 טעויות שכיחות

כשפותרים תרגיל בשטח טרפז, רוב הטעויות מגיעות מאותם 4 מקומות. בדקו את עצמכם:

שוכחים לחלק ב-2: כותבים $(a + b) \cdot h$ במקום $\frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ - זו נוסחת המקבילית, לא של הטרפז.
משתמשים בצלע הצד במקום בגובה: הגובה $h$ הוא תמיד אנך לבסיסים, לא הצלע המשופעת.
מחברים רק בסיס אחד: צריך לחבר את שני הבסיסים ( $a + b$ ), לא להכפיל אחד בשני.
סדר פעולות לא נכון: קודם חיבור הבסיסים, אחר כך חלוקה ב-2, ולבסוף הכפלה בגובה.

דוגמאות פתורות

מציאת בסיס חסר

שלב 1 מתוך 4

a = 8, h = 3, S = 21 סמ"ר, b = ?

מציבים בנוסחה את הנתונים, השטח ידוע והבסיס השני נעלם.

21 = \frac{8 + b}{2} \cdot 3

עוד דוגמאות מהירות

טרפז פשוט

בסיסים: $5$ ו- $9$ ס"מ, גובה: $4$ ס"מ
שטח = $\frac{5 + 9}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$ סמ"ר

מציאת גובה

בסיסים $4$ ו- $12$ ס"מ, שטח $40$ סמ"ר
$40 = \frac{4 + 12}{2} \cdot h = 8 h$
$h = 5$ ס"מ

שדה טרפזי

בסיסים: $20$ ו- $30$ מ', גובה: $15$ מ'
שטח = $\frac{20 + 30}{2} \cdot 15 = 25 \cdot 15 = 375$ מ"ר

ממוצע מספר שלם

בסיסים: $6$ ו- $10$ ס"מ, גובה: $7$ ס"מ
שטח = $\frac{6 + 10}{2} \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$ סמ"ר

שאלה לחשיבה

שני טרפזים: אחד עם בסיסים $3$ ו- $7$ ס"מ וגובה $2$ ס"מ, והשני עם בסיסים $4$ ו- $8$ ס"מ וגובה $2$ ס"מ. לאיזה שטח גדול יותר?

טרפז 1: $\frac{3 + 7}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10$ סמ"ר.
טרפז 2: $\frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$ סמ"ר.
טרפז 2 גדול יותר!

ממוצע הבסיסים של טרפז 2 גדול יותר ( $6$ לעומת $5$ ), ולכן השטח גדול יותר.

מקרים מיוחדים

מה קורה כשאחד הבסיסים הוא $0$ ? אז הטרפז הופך למשולש! ובאמת:
$\frac{0 + b}{2} \cdot h = \frac{b \cdot h}{2}$ - זו נוסחת שטח משולש!

ומה קורה כששני הבסיסים שווים? אז הטרפז הופך למקבילית!
$\frac{a + a}{2} \cdot h = a \cdot h$ - זו נוסחת שטח מקבילית!

גזרו שני טרפזים זהים מנייר (לדוגמה: בסיסים $6$ ס"מ ו- $10$ ס"מ, גובה $4$ ס"מ). הפכו אחד מהם והדביקו אותו לשני. ראו איך הם יוצרים מקבילית!

מדדו ובדקו:
- בסיס המקבילית = $a + b$
- גובה המקבילית = $h$ (של הטרפז)
- שטח המקבילית = $(a + b) \cdot h$
- שטח טרפז אחד = חצי = $\frac{( a + b ) \cdot h}{2}$

שני טרפזים יוצרים רעיון אחד

חברו בדמיון שני טרפזים זהים וראו שהם יוצרים מקבילית. ברגע שמבינים שהבסיס החדש הוא סכום הבסיסים, הנוסחה של הטרפז כבר לא נראית כמו משהו שצריך לשנן.

טוען סימולציה...

סיכום

מה לקחנו מהמודול

שטח טרפז = ממוצע הבסיסים כפול גובה. הנוסחה הזו אינה דבר שצריך לשנן: היא יוצאת ישירות משני טרפזים שיוצרים מקבילית.

הנוסחה: $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ .
ההוכחה הראשית: שני טרפזים זהים = מקבילית עם בסיס $a + b$ , ולכן טרפז = חצי.
הוכחה נוספת: פירוק למלבן ושני משולשים נותן את אותה תוצאה.
המקרים המיוחדים מתחברים ידע קודם: בסיס $0$ = משולש, בסיסים שווים = מקבילית.

שאלה 1 מתוך 8

אם שני הבסיסים של טרפז שווים זה לזה, איזו צורה מתקבלת?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שטח טרפז כבר מוכן.

פתחו תרגול

שטח טרפז

מהנוסחה ועד ההוכחה

הנוסחה

מפתח לזכירה

למה הנוסחה עובדת? הוכחה 1

שלב 1

שלב 2

שלב 3

הוכחה 2: פירוק לצורות מוכרות

פירוק לדוגמה: בסיסים 4 ו-8, גובה 3

"ממוצע" - המפתח לזכירה

טעויות נפוצות

שימו לב - 4 טעויות שכיחות

דוגמאות פתורות

מציאת בסיס חסר

עוד דוגמאות מהירות

טרפז פשוט

מציאת גובה

שדה טרפזי

ממוצע מספר שלם

שאלה לחשיבה

מקרים מיוחדים

פעילות - בניית מקבילית משני טרפזים

שני טרפזים יוצרים רעיון אחד

סיכום

מה לקחנו מהמודול

אם שני הבסיסים של טרפז שווים זה לזה, איזו צורה מתקבלת?

שטח טרפז

מעבר לדף התרגול של המודול

פירוק לדוגמה: בסיסים $4$ ו- $8$ , גובה $3$