גרסת הדפסה | החוברת

מרחיבים את הנוסחה לכל סוגי המשולשים - לא רק ישרי-זווית

ממשולש ישר-זווית לכל משולש

למדנו שמשולש ישר-זווית הוא חצי מלבן. אבל מה עם משולשים אחרים? משולשים חדי-זוויות, קהי-זוויות, שווי-צלעות? גם להם יש נוסחת שטח פשוטה!

התשובה: כל משולש הוא חצי ממקבילית (או מלבן) עם אותו בסיס וגובה. לכן הנוסחה נשמרת!

המושג החדש: גובה במשולש - קו ניצב מקודקוד לבסיס
הנוסחה הכללית: $\frac{בסיס \times גובה}{2}$
בחירת בסיס: כל צלע יכולה להיות בסיס!

מהו גובה במשולש?

בכל משולש, אנחנו בוחרים צלע אחת כ"בסיס". מהקודקוד שמול הבסיס, אנחנו מורידים קו ניצב (בזווית 90 מעלות) עד הבסיס. הקו הזה נקרא "גובה".

הנוסחה הכללית

שטח משולש כללי

הנוסחה עובדת לכל משולש, ללא יוצא מן הכלל:

שטח משולש = \frac{בסיס \times גובה}{2}

הנוסחה הזו היא אחת הנוסחאות החשובות ביותר בגאומטריה. היא עובדת לכל משולש - חד, ישר, או קהה-זווית!

תמונה הממחישה את הבסיס והגובה במשולש כללי עם סימון ניצב לבסיס — בשטח משולש משתמשים בגובה הניצב לבסיס, ולא בצלע משופעת שאינה ניצבת.

בחירת בסיס - תובנה חשובה

דבר מפתיע: אפשר לבחור כל צלע כבסיס! לכל בחירה יש גובה מתאים אחר, אבל השטח יצא תמיד אותו דבר.

בחירה 1

בסיס = צלע

a

גובה =

h_{a}

שטח =

\frac{a \times h _{a}}{2}

בחירה 2

בסיס = צלע

b

גובה =

h_{b}

שטח =

\frac{b \times h _{b}}{2}

בחירה 3

בסיס = צלע

c

גובה =

h_{c}

שטח =

\frac{c \times h _{c}}{2}

בכל שלוש הבחירות התוצאה זהה! זו תכונה חזקה של המשולש. בפועל, אנחנו בוחרים את הבסיס שהכי נוח - בדרך כלל הצלע התחתונה או הצלע שהגובה אליה ידוע.

דוגמאות פתורות

חישובי שטח

משולש עם נתונים ברורים

בסיס = 8 ס"מ, גובה = 6 ס"מ
שטח = $\frac{8 \times 6}{2} = \frac{48}{2} =$ 24 סמ"ר

משולש שווה-צלעות

צלע = 10 ס"מ, גובה = 8.66 ס"מ
שטח = $\frac{10 \times 8.66}{2} =$ 43.3 סמ"ר

מציאת גובה חסר

שטח = 36 סמ"ר, בסיס = 9 ס"מ
$36 = \frac{9 \times h}{2}$
$72 = 9 h$
$h =$ 8 ס"מ

תרגיל

תרגיל - מציאת בסיס חסר

שטח של משולש הוא $20$ סמ"ר והגובה אליו הוא $5$ ס"מ. מהו אורך הבסיס?

S = 20 סמ"ר, h = 5 ס"מ, b = ?

בעיה מעשית

גג בצורת משולש

גג משולשי: בסיס = 12 מ', גובה = 4 מ'.
כל ליטר צבע מכסה 5 מ"ר.
כמה ליטרים דרוש?

פתרון:
שטח =

\frac{12 \times 4}{2}

= 24 מ"ר
ליטרים =

\frac{24}{5} = 4.8

צריך 5 ליטרים (מעגלים למעלה)

משולש על גרף

קודקודים:

A (0, 0)

B (6, 0)

C (3, 4)

.

בסיס

A B

= 6 (על ציר

x)

גובה = 4 (גובה הנקודה

C)

שטח =

\frac{6 \times 4}{2} =

12 יחידות שטח

חוק חשוב: בסיס וגובה - לא צלע!

משולש שבסיסו 10 ס"מ וגובהו 6 ס"מ. משולש אחר שבסיסו 12 ס"מ וגובהו 5 ס"מ. לאיזה משולש שטח גדול יותר?

אותו שטח, בסיסים שונים

החליפו בסיס, שנו את מיקום הקודקוד, ובדקו שהשטח נשאר זהה כל עוד מתאימים לכל בסיס את הגובה שלו. כך רואים שהנוסחה היא רעיון גאומטרי, לא טריק חישובי.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי הנוסחה לשטח משולש כללי?

צלע + צלע + צלע
$\frac{בסיס \times גובה}{2}$
$בסיס \times גובה$
$3 \times צלע$

2.משולש עם בסיס 9 ס"מ וגובה 6 ס"מ. מהו השטח?

54 סמ"ר
27 סמ"ר
15 סמ"ר
18 סמ"ר

3.משולש עם שטח 36 סמ"ר וגובה 8 ס"מ. מהו הבסיס?

4.5 ס"מ
9 ס"מ
18 ס"מ
4 ס"מ

4.אם בוחרים בסיס אחר במשולש, מה קורה לשטח?

רק הצלע התחתונה יכולה להיות בסיס
כל צלע יכולה להיות בסיס, והשטח נשאר זהה
בחירת בסיס שונה משנה את השטח
אפשר לבחור רק שתי צלעות

5.משולש עם שטח 20 סמ"ר וגובה 5 ס"מ. מהו הבסיס?

4 ס"מ
8 ס"מ
10 ס"מ
100 ס"מ

6.גג משולשי בעל בסיס 12 מ' וגובה 4 מ'. מהו שטח הגג?

48 מ"ר
24 מ"ר
16 מ"ר
36 מ"ר

7.במשולש שצלעותיו 5, 7 ו-8 ס"מ, איזה מבין הבאים יכול לשמש כגובה לבסיס שאורכו 8 ס"מ?

הצלע שאורכה 7 ס"מ
הצלע שאורכה 5 ס"מ
קטע ניצב מהקודקוד הנגדי לבסיס
אלכסון המשולש

8.אם נכפיל את הבסיס פי 2 ונשאיר את הגובה אותו דבר, מה יקרה לשטח המשולש?

השטח לא ישתנה
השטח יוכפל פי 2
השטח יוכפל פי 4
השטח יקטן בחצי