גרסת הדפסה | החוברת

קוראים שיפוע וחיתוך עם ציר y ומרכיבים נוסחה

פותחים את הרעיון

כדי לכתוב משוואה מתוך גרף לא מנחשים לפי צורת הקו. קוראים שתי נקודות נוחות, מוצאים שיפוע וקוראים את החיתוך עם ציר $y$ .

לבחור נקודות סריג מדויקות.
לחשב שיפוע מתוך גרף.
לכתוב משוואה מהצורה $y = m x + b$ .

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

שתי שאלות לגרף אחד

כל גרף של פונקציה קווית מכיל את $m$ ואת $b$ .

y = m x + b

בחרו נקודות שנמצאות בדיוק על קווי הרשת, לא נקודות משוערות.

משוואה מגרף

y = m x + b

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לבחור נקודות סריג מדויקות.

חישוב

לחשב שיפוע מתוך גרף.

פירוש

לכתוב משוואה מהצורה $y = m x + b$ .

מסלול עבודה מלא

בוחרים נקודות סריג

מחפשים נקודות שנמצאות בדיוק על מפגש קווי רשת.
לא מסתמכים על נקודה מטושטשת.

קוראים $b$

מאתרים חיתוך עם ציר $y$ .
אם החיתוך אינו ברור, משתמשים בנקודה ושיפוע.

כותבים ובודקים

מחשבים שיפוע ומציבים בצורה $y = m x + b$ .
מציבים נקודה נוספת כדי לבדוק.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

שלבי קריאה מגרף

שלב	מה עושים	דוגמה
1	קוראים $b$	$(0, 2)$
2	בוחרים נקודה נוספת	$(3, 8)$
3	מחשבים שיפוע	$\frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$
4	כותבים נוסחה	$y = 2 x + 2$

גרף מדויק יכול לתת משוואה מלאה ללא טבלה.

מהגרף אל הנוסחה

דוגמאות שמחברות את הרעיון

נקודת חיתוך

אם הגרף עובר ב- $(0, 5)$ , אז $b = 5$ .

מדרגות

משולש שיפוע עוזר לראות את $Δ y$ ואת $Δ x$ .

נקודות סריג

בחרו נקודות שנראות בדיוק על הצטלבות קווי הרשת.

בדיקה

הציבו נקודה נוספת כדי לוודא שהנוסחה מתאימה.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - קוראים משוואה מתוך גרף

הגרףעוברדרך m (0, 2) / m ו - m (3, 8) / m .כתבואתמשוואתהישר.

קוראים חיתוך עם ציר $y$ .
$b = 2$
מחשבים שיפוע.
$m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$
מרכיבים נוסחה.
$y = 2 x + 2$

תשובה:

m y = 2 x + 2 / m .

דוגמה נוספת - קוראים גרף עם חיתוך שלילי

בגרףישרחותךאתציר m y / m ב - m - 3 / m ועוברגםדרך m (2, 1) / m .כתבומשוואה.

קוראים את האיבר החופשי מהחיתוך עם ציר $y$ .
$b = - 3$
מחשבים שיפוע בין $(0, - 3)$ ל- $(2, 1)$ .
$m = \frac{1 - ( - 3 )}{2 - 0} = 2$
כותבים את המשוואה.
$y = 2 x - 3$
בדיקה: עבור $x = 2$ , מקבלים $y = 1$ .
$2 \cdot 2 - 3 = 1$

תשובה:

m y = 2 x - 3 / m .

מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגיל

תרגול - שיפוע שברי

ישר עובר ב- $(0, - 1)$ וב- $(2, 2)$ . כתבו משוואה.

y = m x + b

תרגיל

תרגול - בחירת נקודות מדויקות

בגרף נוח רואים את $(0, 4)$ ו- $(2, 0)$ . כתבו משוואה.

m = \frac{0 - 4}{2 - 0}

תרגיל

תרגול אתגר - ישר יורד מתוך גרף

ישר עובר דרך $(0, 5)$ ו- $(2, 1)$ . כתבו את משוואתו.

y = m x + b

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

למה לא כדאי לבחור נקודה שנראית בערך על הקו?

איך אפשר לבדוק שמשוואה מתוך גרף נכונה?

תרשים זרימה לקריאת משוואה מגרף

כל גרף ניתן לפצח בשלושה צעדים: לזהות חיתוך עם ציר

y

, לבחור נקודה שנייה, לחשב שיפוע. אבל לפעמים אחד הצעדים פחות נוח, וצריך מסלול חלופי.

מסלולים אפשריים מקריאת גרף למשוואה

מצב	צעד 1	צעד 2	צעד 3	תוצאה
חיתוך עם ציר $y$ ברור	קוראים $b$	בוחרים נקודת סריג שנייה	מחשבים שיפוע $m$	$y = m x + b$
שתי נקודות סריג גלויות	מסמנים $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$	מחשבים שיפוע	מציבים נקודה למציאת $b$	$y = m x + b$
ישר אופקי	קוראים את גובה הקו	-	-	$y = k$
ישר אנכי	קוראים את ערך $x$	-	-	$x = h$ , אינו פונקציה

לפני התחלת חישוב, בדקו אם הישר אופקי או אנכי - מקרים אלה לא דורשים חישוב שיפוע.

ארבעה גרפים, ארבע משוואות

ישר עולה דרך הראשית

אם $b = 0$ ושתי הנקודות $(0, 0), (2, 6)$ : $m = 3$ , נוסחה $y = 3 x$ .

ישר יורד עם $b$ חיובי

$b = 4$ עם נקודה $(2, 0)$ : $m = \frac{0 - 4}{2 - 0} = - 2$ , נוסחה $y = - 2 x + 4$ .

ישר אופקי בגובה $3$

$m = 0$ , $b = 3$ : נוסחה $y = 3$ .

ישר אנכי $x = - 2$

אינו פונקציה. נוסחה אלגברית: $x = - 2$ .

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה קוראים קודם מגרף נוח?

חיתוך עם ציר $y$
מספר הצבעים
שם הפונקציה
אורך הדף

2.הקו עובר ב- $(0, 2), (3, 8)$ . מה השיפוע?

$2$
$6$
$3$
$\frac{1}{2}$

3.מה המשוואה לאותן נקודות?

$y = 2 x + 2$
$y = 3 x + 2$
$y = 2 x + 3$
$y = 6 x + 2$

4.מהי נקודת סריג?

נקודה הנמצאת על הצטלבות קווי הרשת
נקודה מחוץ לגרף
כל נקודה משוערת
נקודה ללא שיעורים

5.אם הגרף יורד, מה צריך להיות סימן השיפוע?

שלילי
חיובי
אפס
תמיד לא מוגדר

6.מה עושים אם $b$ לא ברור בגרף?

מחשבים שיפוע ואז מציבים נקודה
מנחשים
מוחקים את הגרף
מחליפים צירים

7.איזו טעות נפוצה?

להחליף בין $m$ ל- $b$
לבדוק נקודה
לחשב שיפוע
לקרוא חיתוך

8.מה המשוואה של קו שעובר ב- $(0, 4), (2, 0)$ ?

$y = - 2 x + 4$
$y = 2 x + 4$
$y = - 2 x - 4$
$y = 4 x - 2$

9.ישר עובר דרך $(0, - 3)$ ו- $(2, 1)$ . מה משוואתו?

$y = 2 x - 3$
$y = - 3 x + 2$
$y = 2 x + 3$
$y = - 2 x - 3$

10.איזו נקודה עדיף לבחור מתוך גרף?

נקודת סריג שנמצאת בדיוק על הישר
נקודה שנראית קרובה לישר
כל נקודה בתוך המישור
רק נקודה עם ערכים חיוביים

11.ישר חוצה $y$ ב- $3$ , מצועד $1$ ימינה ו- $2$ מעלה. משוואתו:

$y = 2 x + 3$
$y = \frac{1}{2} x + 3$
$y = 2 x - 3$
$y = 3 x + 2$

12.ישר עובר ב- $(0, 2) (3, 8)$ . משוואתו:

$y = 2 x + 2$
$y = 2 x - 2$
$y = 3 x + 2$
$y = \frac{1}{2} x + 2$

13.ישר חוצה $y$ ב- $- 2$ ועובר ב- $(4, 1)$ . משוואתו:

$y = \frac{3}{4} x - 2$
$y = \frac{4}{3} x - 2$
$y = 3 x - 2$
$y = \frac{3}{4} x + 2$

14.מה כתוב כש- $m = 0$ ו- $b = 3$ ?

$y = 3$ (אופקי)
$x = 3$ (אנכי)
$y = 3 x$
$y = 0 x + 3 = 3 x$

15.ישר אנכי שעובר ב- $(- 2, 5)$ :

$x = - 2$
$y = - 2$
$y = 5$
$y = - 2 x + 5$

16.מה ההבדל בין $ℓ_{1} : y = 2 x + 2$ ל- $ℓ_{2} : y = 2 x - 5$ ?

מקבילים, חיתוך $y$ שונה
אותו ישר
נחתכים
אנכיים

17.מהי הפעולה הראשונה שמומלץ לעשות כשמסתכלים על גרף?

לבדוק אם הישר אופקי או אנכי
לחשב שיפוע
לכתוב $y = m x + b$
לסמן נקודות אקראיות

18.ישר עובר ב- $(2, 5) (5, 11)$ , ולא נראה חיתוך עם ציר $y$ . משוואתו:

$y = 2 x + 1$
$y = 2 x - 1$
$y = 2 x + 5$
$y = 3 x - 1$

פותחים את הרעיון

הגדרה ומשמעות

שתי שאלות לגרף אחד

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

חישוב

פירוש

מסלול עבודה מלא

בוחרים נקודות סריג

קוראים b

כותבים ובודקים

ייצוגים ודוגמאות

שלבי קריאה מגרף

מהגרף אל הנוסחה

דוגמאות שמחברות את הרעיון

נקודת חיתוך

מדרגות

נקודות סריג

בדיקה

דוגמה מודרכת

דוגמה מודרכת - קוראים משוואה מתוך גרף

דוגמה נוספת - קוראים גרף עם חיתוך שלילי

מתאמנים בהדרגה

תרגול - שיפוע שברי

תרגול - בחירת נקודות מדויקות

תרגול אתגר - ישר יורד מתוך גרף

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מה הפעולה?

איך בודקים?

טעויות נפוצות

תרשים זרימה לקריאת משוואה מגרף

מסלולים אפשריים מקריאת גרף למשוואה

ארבעה גרפים, ארבע משוואות

ישר עולה דרך הראשית

ישר יורד עם b חיובי

ישר אופקי בגובה 3

ישר אנכי x=−2

קוראים $b$

ישר יורד עם $b$ חיובי

ישר אופקי בגובה $3$

ישר אנכי $x = - 2$