משוואה מתוך גרף

קוראים שיפוע וחיתוך עם ציר y ומרכיבים נוסחה

פותחים את הרעיון

כדי לכתוב משוואה מתוך גרף לא מנחשים לפי צורת הקו. קוראים שתי נקודות נוחות, מוצאים שיפוע וקוראים את החיתוך עם ציר

y

לבחור נקודות סריג מדויקות.

לחשב שיפוע מתוך גרף.

לכתוב משוואה מהצורה

y = m x + b

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

$math/048-graphs$ שתי שאלות לגרף אחד

כל גרף של פונקציה קווית מכיל את $m$ ואת $b$ .

חיתוך עם ציר $y$ נותן את $b$ . השיפוע מתקבל ממעבר בין שתי נקודות ברורות על הישר. אחרי שמצאנו את שניהם, מציבים בצורה $y = m x + b$ .

$y = m x + b$

בחרו נקודות שנמצאות בדיוק על קווי הרשת, לא נקודות משוערות.

משוואה מגרף

y = m x + b

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לבחור נקודות סריג מדויקות.

$math/002-calculator$

חישוב

לחשב שיפוע מתוך גרף.

$math/020-math book$

פירוש

לכתוב משוואה מהצורה $y = m x + b$ .

$math/032-axis$ מסלול עבודה מלא

בוחרים נקודות סריג

מחפשים נקודות שנמצאות בדיוק על מפגש קווי רשת.

לא מסתמכים על נקודה מטושטשת.

$math/002-calculator$

קוראים $b$

מאתרים חיתוך עם ציר $y$ .

אם החיתוך אינו ברור, משתמשים בנקודה ושיפוע.

$math/026-reason$

כותבים ובודקים

מחשבים שיפוע ומציבים בצורה $y = m x + b$ .

מציבים נקודה נוספת כדי לבדוק.

$math/048-graphs$ ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

שלבי קריאה מגרף

שלב	מה עושים	דוגמה
1	קוראים $b$	$(0, 2)$
2	בוחרים נקודה נוספת	$(3, 8)$
3	מחשבים שיפוע	$\frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$
4	כותבים נוסחה	$y = 2 x + 2$

* גרף מדויק יכול לתת משוואה מלאה ללא טבלה.

מהגרף אל הנוסחה

$math/030-equation$ דוגמאות שמחברות את הרעיון

נקודת חיתוך

אם הגרף עובר ב- $(0, 5)$ , אז $b = 5$ .

מדרגות

משולש שיפוע עוזר לראות את $Δ y$ ואת $Δ x$ .

נקודות סריג

בחרו נקודות שנראות בדיוק על הצטלבות קווי הרשת.

בדיקה

הציבו נקודה נוספת כדי לוודא שהנוסחה מתאימה.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - קוראים משוואה מתוך גרף

הגרף עובר דרך

(0, 2)

ו-

(3, 8)

. כתבו את משוואת הישר.

$math/048-graphs$ דוגמה נוספת - קוראים גרף עם חיתוך שלילי

בגרף ישר חותך את ציר

y

ב-

- 3

ועובר גם דרך

(2, 1)

. כתבו משוואה.

$math/027-notepad$ מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגול - שיפוע שברי

מאתגר

ישר עובר ב- $(0, - 1)$ וב- $(2, 2)$ . כתבו משוואה.

y = m x + b

תרגול - בחירת נקודות מדויקות

בינוני

בגרף נוח רואים את $(0, 4)$ ו- $(2, 0)$ . כתבו משוואה.

m = \frac{0 - 4}{2 - 0}

תרגול אתגר - ישר יורד מתוך גרף

מאתגר

ישר עובר דרך $(0, 5)$ ו- $(2, 1)$ . כתבו את משוואתו.

y = m x + b

למה הטעות הזאת קורית?

גרף נותן הרבה מידע בבת אחת. מי שממהר בוחר נקודות נוחות לעין, גם אם הן אינן בדיוק על הישר.

הדרך המפתה: לבחור שתי נקודות משוערות ולחשב שיפוע לפי ציור לא מדויק.
הדרך הבטוחה: לחפש נקודות סריג או חיתוך ברור, ואז לבדוק בנקודה נוספת.
אם הנקודה שבחרתם אינה ניתנת לקריאה מדויקת, אל תשתמשו בה לחישוב.

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

$math/002-calculator$ מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

$math/026-reason$ איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

בדיקת סיום לפני תשובה

אם נקודת החיתוך עם ציר $y$ אינה ברורה, בחרו שתי נקודות, חשבו שיפוע ואז הציבו נקודה כדי למצוא $b$ .

בדקו אם התוצאה מתאימה לסימן או לכיוון הגרף.
בדקו יחידות ופירוש מילולי.
הציבו ערך אחד כדי לוודא שהנוסחה או התחום עובדים.

שאלה לחשיבה

למה לא כדאי לבחור נקודה שנראית בערך על הקו?

כי שגיאה קטנה בקריאת נקודה יכולה לשנות את השיפוע ואת המשוואה. עדיף לבחור נקודות שנמצאות בדיוק על קווי הרשת או לחשב מתוך נתונים מספריים.

שאלה לחשיבה

איך אפשר לבדוק שמשוואה מתוך גרף נכונה?

מציבים בה נקודה נוספת מהגרף. אם ערך $y$ שמתקבל שווה לשיעור הנקודה, המשוואה מתאימה לפחות לבדיקת הנתונים שנבחרו.

$math/026-reason$ בדיקת מוכנות לפני החידון

לפני שעונים, עצרו לרגע ובדקו שהשיטה, הסימן והפירוש המילולי מתאימים לנתונים.

אני יודע לקרוא חיתוך עם ציר $y$ מתוך גרף.
אני בוחר נקודות סריג מדויקות לחישוב שיפוע.
אני מציב נקודה מהגרף כדי לבדוק את המשוואה.

$math/048-graphs$ תרשים זרימה לקריאת משוואה מגרף

כל גרף ניתן לפצח בשלושה צעדים: לזהות חיתוך עם ציר $y$ , לבחור נקודה שנייה, לחשב שיפוע. אבל לפעמים אחד הצעדים פחות נוח, וצריך מסלול חלופי.

מסלולים אפשריים מקריאת גרף למשוואה

מצב	צעד 1	צעד 2	צעד 3	תוצאה
חיתוך עם ציר $y$ ברור	קוראים $b$	בוחרים נקודת סריג שנייה	מחשבים שיפוע $m$	$y = m x + b$
שתי נקודות סריג גלויות	מסמנים $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$	מחשבים שיפוע	מציבים נקודה למציאת $b$	$y = m x + b$
ישר אופקי	קוראים את גובה הקו	-	-	$y = k$
ישר אנכי	קוראים את ערך $x$	-	-	$x = h$ , אינו פונקציה

* לפני התחלת חישוב, בדקו אם הישר אופקי או אנכי - מקרים אלה לא דורשים חישוב שיפוע.

ארבעה גרפים, ארבע משוואות

ישר עולה דרך הראשית

אם $b = 0$ ושתי הנקודות $(0, 0), (2, 6)$ : $m = 3$ , נוסחה $y = 3 x$ .

ישר יורד עם $b$ חיובי

$b = 4$ עם נקודה $(2, 0)$ : $m = \frac{0 - 4}{2 - 0} = - 2$ , נוסחה $y = - 2 x + 4$ .

ישר אופקי בגובה $3$

$m = 0$ , $b = 3$ : נוסחה $y = 3$ .

ישר אנכי $x = - 2$

אינו פונקציה. נוסחה אלגברית: $x = - 2$ .

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 18

אם הגרף יורד, מה צריך להיות סימן השיפוע?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משוואה מתוך גרף כבר מוכן.

פתחו תרגול

משוואה מתוך גרף

פותחים את הרעיון

הגדרה ומשמעות

שתי שאלות לגרף אחד

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

חישוב

פירוש

מסלול עבודה מלא

בוחרים נקודות סריג

קוראים b

כותבים ובודקים

ייצוגים ודוגמאות

שלבי קריאה מגרף

דוגמאות שמחברות את הרעיון

נקודת חיתוך

מדרגות

נקודות סריג

בדיקה

דוגמה מודרכת

דוגמה מודרכת - קוראים משוואה מתוך גרף

דוגמה נוספת - קוראים גרף עם חיתוך שלילי

מתאמנים בהדרגה

תרגול - שיפוע שברי

תרגול - בחירת נקודות מדויקות

תרגול אתגר - ישר יורד מתוך גרף

למה הטעות הזאת קורית?

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מה הפעולה?

איך בודקים?

טעויות נפוצות

בדיקת סיום לפני תשובה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

בדיקת מוכנות לפני החידון

תרשים זרימה לקריאת משוואה מגרף

מסלולים אפשריים מקריאת גרף למשוואה

ארבעה גרפים, ארבע משוואות

ישר עולה דרך הראשית

ישר יורד עם b חיובי

ישר אופקי בגובה 3

ישר אנכי x=−2

אם הגרף יורד, מה צריך להיות סימן השיפוע?