גרסת הדפסה | החוברת

מוצאים קודם את השיפוע, אחר כך את האיבר החופשי

פותחים את הרעיון

כדי לקבוע ישר יחיד צריך שני נתונים עצמאיים. שתי נקודות נותנות שיפוע ואז איבר חופשי. נקודה ושיפוע נותנים מיד את השלב השני.

לבנות משוואה משתי נקודות.
לבנות משוואה מנקודה ושיפוע.
להשתמש בהצבה כדי למצוא $b$ .

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

שני נתונים קובעים ישר

הצורה $y = m x + b$ דורשת לדעת גם $m$ וגם $b$ .

b = y_{1} - m x_{1}

בדיקה סופית היא הצבת שתי הנקודות במשוואה שקיבלנו.

מציאת האיבר החופשי לאחר שיפוע

b = y_{1} - m x_{1}

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לבנות משוואה משתי נקודות.

חישוב

לבנות משוואה מנקודה ושיפוע.

פירוש

להשתמש בהצבה כדי למצוא $b$ .

מסלול עבודה מלא

מוצאים שיפוע

אם יש שתי נקודות, קודם מחשבים $m$ .
אם נתון שיפוע, מדלגים לשלב ההצבה.

מציבים נקודה

משתמשים ב- $y = m x + b$ .
מציבים את $x$ , $y$ ואת $m$ כדי למצוא $b$ .

בודקים בשתי נקודות

המשוואה צריכה לקיים כל נקודה נתונה.
בדיקה אחת מוצאת טעויות סימן מהר.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

איזה תהליך מתאים?

נתונים	שלב 1	שלב 2
שתי נקודות	חישוב $m$	הצבת נקודה למציאת $b$
נקודה ושיפוע	כותבים $y = m x + b$	מציבים נקודה למציאת $b$
שיפוע ו- $b$	אין צורך לחשב	כותבים נוסחה

שתי נקודות שונות מספיקות לקביעת ישר יחיד אם הן לא יוצרות ישר אנכי.

ישר דרך שתי נקודות

דוגמאות שמחברות את הרעיון

שתי נקודות

מחשבים $m$ , ואז מוצאים $b$ .

נקודה ושיפוע

מציבים ישר ב- $y = m x + b$ .

בדיקה

שתי הנקודות המקוריות צריכות לקיים את הנוסחה.

ישר אנכי

אם לשתי הנקודות אותו $x$ , זו אינה פונקציה מהצורה $y = m x + b$ .

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - משתי נקודות

מצאומשוואתישרהעוברדרך m (1, 4) / m ו - m (3, 10) / m .

מחשבים שיפוע.
$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3$
מציבים נקודה.
$4 = 3 \cdot 1 + b$
פותרים את $b$ .
$b = 1$

תשובה:

m y = 3 x + 1 / m .

דוגמה נוספת - נקודה ושיפוע

ישרששיפועו m - \frac{1}{2} / m עוברדרך m (4, 1) / m .מצאואתמשוואתו.

מתחילים מהצורה הכללית.
$y = m x + b$
מציבים את השיפוע ואת הנקודה.
$1 = - \frac{1}{2} \cdot 4 + b$
פותרים את המשוואה עבור $b$ .
$1 = - 2 + b \Rightarrow b = 3$
כותבים משוואה מלאה.
$y = - \frac{1}{2} x + 3$

תשובה:

m y = - \frac{1}{2} x + 3 / m .

מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגיל

תרגול - נקודה ושיפוע

כתבו משוואת ישר ששיפועו $4$ ועובר ב- $(- 1, 2)$ .

y = 4 x + b

תרגיל

תרגול - שתי נקודות עם שיפוע שלילי

מצאו משוואת ישר דרך $(0, 5)$ ו- $(2, 1)$ .

m = \frac{1 - 5}{2 - 0}

תרגיל

תרגול אתגר - שתי נקודות ושיפוע שלילי

מצאו משוואת ישר העובר דרך $(- 2, 9)$ ו- $(4, - 3)$ .

m = \frac{- 3 - 9}{4 - ( - 2 )}

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

מדוע נקודה אחת אינה מספיקה לקביעת ישר?

למה אפשר להציב כל אחת משתי הנקודות כדי למצוא $b$ ?

שתי דרכים לבנות משוואה - השוואה

ניתן לבנות משוואת ישר בשתי דרכים שקולות. לפעמים אחת קלה יותר מהשנייה, אבל שתיהן מובילות לאותה תשובה.

השוואת השיטות

שלב	צורת $y = m x + b$	צורת נקודה-שיפוע $y - y_{1} = m (x - x_{1})$
שלב 1	מחשבים שיפוע מ- $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$	מחשבים שיפוע באותה דרך
שלב 2	מציבים נקודה למציאת $b$	מציבים נקודה ישירות בתוך הביטוי
שלב 3	כותבים $y = m x + b$	פותחים סוגריים ומסדרים
דוגמה	$b = 2$ , אז $y = 3 x + 2$	$y - 5 = 3 (x - 1) \Rightarrow y = 3 x + 2$
יתרונות	פשוטה, מתאימה לתחילת הלימוד	חוסכת חישוב $b$ , נוחה לקואורדינטות גדולות

שתי הצורות מובילות לאותה משוואה סופית.

ארבעה תרחישים נפוצים

שתי נקודות סטנדרטיות

$(1, 4)$ ו- $(3, 10)$ : $m = 3$ , $b = 1$ , $y = 3 x + 1$ .

נקודה ושיפוע

$(2, 7)$ עם $m = 4$ : $b = 7 - 4 \cdot 2 = - 1$ , $y = 4 x - 1$ .

שתי נקודות שליליות

$(- 2, - 5)$ ו- $(1, 4)$ : $m = 3$ , $b = 1$ , $y = 3 x + 1$ .

נקודה דרך הראשית

$(0, 0)$ ו- $(4, 12)$ : $m = 3$ , $b = 0$ , $y = 3 x$ .

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה הצעד הראשון כשנתונות שתי נקודות?

לחשב שיפוע
לנחש $b$
למחוק נקודה
להציב $x = 0$ תמיד

2.מה משוואת הישר דרך $(1, 4), (3, 10)$ ?

$y = 3 x + 1$
$y = 3 x + 4$
$y = x + 3$
$y = 6 x + 1$

3.אם נתונים $m = - 3$ והנקודה $(2, 1)$ , מהו $b$ ?

$7$
$- 5$
$- 7$
$1$

4.איזה נתון חסר כדי לקבוע ישר אם יש רק נקודה אחת?

שיפוע או נקודה נוספת
שם הציר
צבע הקו
מספר התרגיל

5.מהי בדיקה טובה למשוואה שמצאתם?

להציב את הנקודות הנתונות
לספור אותיות
לשנות את השיפוע
למחוק את $b$

6.מהי טעות נפוצה?

למצוא $m$ ולא להציב למציאת $b$
לכתוב נוסחה
להשתמש בשבר
לבדוק פתרון

7.ישר דרך $(0, - 2), (4, 6)$ . מה משוואתו?

$y = 2 x - 2$
$y = 4 x - 2$
$y = 2 x + 2$
$y = - 2 x + 2$

8.מתי אי אפשר לכתוב ישר בצורה $y = m x + b$ ?

כאשר הוא אנכי
כאשר $b = 0$
כאשר השיפוע חיובי
כאשר יש שתי נקודות

9.ישר ששיפועו $- \frac{1}{2}$ עובר דרך $(4, 1)$ . מה משוואתו?

$y = - \frac{1}{2} x + 3$
$y = - \frac{1}{2} x + 1$
$y = \frac{1}{2} x + 3$
$y = - 2 x + 3$

10.למה צריך להציב נקודה אחרי שמצאנו שיפוע?

כדי למצוא את האיבר החופשי $b$
כדי לשנות את השיפוע
כדי למחוק את $x$
כדי להפוך את הגרף לאופקי

11.מצאו משוואה לישר דרך $(2, 5)$ ו- $(8, 8)$ .

$y = \frac{1}{2} x + 4$
$y = \frac{1}{2} x - 4$
$y = 2 x + 1$
$y = 3 x - 1$

12.ישר עם שיפוע $- 3$ עובר ב- $(4, 1)$ . משוואתו:

$y = - 3 x + 13$
$y = - 3 x - 13$
$y = - 3 x + 11$
$y = 3 x + 1$

13.מצאו משוואה דרך $(- 3, 7) (2, - 3)$ .

$y = - 2 x + 1$
$y = 2 x + 1$
$y = - 2 x - 1$
$y = - x + 5$

14.ישר עם $m = 5$ ו- $b = 3$ :

$y = 5 x + 3$
$y = 3 x + 5$
$y = 5 x - 3$
$y = 8 x$

15.ישר דרך $(1, - 3) (5, 9)$ , השיפוע הוא:

$3$
$- 3$
$4$
$\frac{1}{3}$

16.ישר דרך $(2, 5) (a, 17)$ עם $m = 3$ . מהו $a$ ?

$6$
$4$
$5$
$12$

17.מתי לא ניתן לכתוב $y = m x + b$ ?

כשהישר אנכי ( $Δ x = 0)$
כשהישר אופקי
כש- $b = 0$
תמיד אפשר

18.במכל: $40$ ליטרים אחרי $2$ שעות, $10$ אחרי $8$ שעות. מהי $V (t)$ ?

$V = - 5 t + 50$
$V = 5 t + 50$
$V = - 5 t - 50$
$V = - 30 t + 50$