משוואה משתי נקודות או מנקודה ושיפוע

מוצאים קודם את השיפוע, אחר כך את האיבר החופשי

פותחים את הרעיון

כדי לקבוע ישר יחיד צריך שני נתונים עצמאיים. שתי נקודות נותנות שיפוע ואז איבר חופשי. נקודה ושיפוע נותנים מיד את השלב השני.

לבנות משוואה משתי נקודות.

לבנות משוואה מנקודה ושיפוע.

להשתמש בהצבה כדי למצוא

b

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

שני נתונים קובעים ישר

הצורה $y = m x + b$ דורשת לדעת גם $m$ וגם $b$ .

אם נתונות שתי נקודות, מחשבים תחילה שיפוע. אחר כך מציבים את אחת הנקודות בנוסחה ומוצאים את $b$ . אם נתונים שיפוע ונקודה, מתחילים ישר מהצבה.

$b = y_{1} - m x_{1}$

בדיקה סופית היא הצבת שתי הנקודות במשוואה שקיבלנו.

מציאת האיבר החופשי לאחר שיפוע

b = y_{1} - m x_{1}

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לבנות משוואה משתי נקודות.

$math/002-calculator$

חישוב

לבנות משוואה מנקודה ושיפוע.

$math/020-math book$

פירוש

להשתמש בהצבה כדי למצוא $b$ .

מסלול עבודה מלא

מוצאים שיפוע

אם יש שתי נקודות, קודם מחשבים $m$ .

אם נתון שיפוע, מדלגים לשלב ההצבה.

$math/002-calculator$

מציבים נקודה

משתמשים ב- $y = m x + b$ .

מציבים את $x$ , $y$ ואת $m$ כדי למצוא $b$ .

$math/026-reason$

בודקים בשתי נקודות

המשוואה צריכה לקיים כל נקודה נתונה.

בדיקה אחת מוצאת טעויות סימן מהר.

$math/032-axis$ ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

איזה תהליך מתאים?

נתונים	שלב 1	שלב 2
שתי נקודות	חישוב $m$	הצבת נקודה למציאת $b$
נקודה ושיפוע	כותבים $y = m x + b$	מציבים נקודה למציאת $b$
שיפוע ו- $b$	אין צורך לחשב	כותבים נוסחה

* שתי נקודות שונות מספיקות לקביעת ישר יחיד אם הן לא יוצרות ישר אנכי.

ישר דרך שתי נקודות

$math/030-equation$ דוגמאות שמחברות את הרעיון

שתי נקודות

מחשבים $m$ , ואז מוצאים $b$ .

נקודה ושיפוע

מציבים ישר ב- $y = m x + b$ .

בדיקה

שתי הנקודות המקוריות צריכות לקיים את הנוסחה.

ישר אנכי

אם לשתי הנקודות אותו $x$ , זו אינה פונקציה מהצורה $y = m x + b$ .

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - משתי נקודות

מצאו משוואת ישר העובר דרך

(1, 4)

ו-

(3, 10)

דוגמה נוספת - נקודה ושיפוע

ישר ששיפועו

- \frac{1}{2}

עובר דרך

(4, 1)

. מצאו את משוואתו.

$math/027-notepad$ מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגול - נקודה ושיפוע

בינוני

כתבו משוואת ישר ששיפועו $4$ ועובר ב- $(- 1, 2)$ .

y = 4 x + b

תרגול - שתי נקודות עם שיפוע שלילי

מאתגר

מצאו משוואת ישר דרך $(0, 5)$ ו- $(2, 1)$ .

m = \frac{1 - 5}{2 - 0}

תרגול אתגר - שתי נקודות ושיפוע שלילי

מאתגר

מצאו משוואת ישר העובר דרך $(- 2, 9)$ ו- $(4, - 3)$ .

m = \frac{- 3 - 9}{4 - ( - 2 )}

למה הטעות הזאת קורית?

אחרי חישוב שיפוע יש תחושה שהשאלה הסתיימה, אבל משוואת ישר דורשת גם נקודת התחלה.

הדרך המפתה: לענות רק $m = - 2$ במקום לכתוב משוואה מלאה.
הדרך הבטוחה: משתמשים בשיפוע ובנקודה כדי למצוא $b$ , ואז כותבים $y = m x + b$ .
משוואה מלאה חייבת לכלול גם מקדם של $x$ וגם איבר חופשי.

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

$math/002-calculator$ מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

$math/026-reason$ איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

בדיקת סיום לפני תשובה

בסוף התהליך הציבו את שתי הנקודות. אם אחת לא מתאימה, חזרו לבדוק את השיפוע או את $b$ .

בדקו אם התוצאה מתאימה לסימן או לכיוון הגרף.
בדקו יחידות ופירוש מילולי.
הציבו ערך אחד כדי לוודא שהנוסחה או התחום עובדים.

שאלה לחשיבה

מדוע נקודה אחת אינה מספיקה לקביעת ישר?

דרך נקודה אחת אפשר להעביר אינסוף ישרים בשיפועים שונים. צריך עוד נקודה או שיפוע כדי לקבוע את התלילות, ורק אז אפשר למצוא את האיבר החופשי.

שאלה לחשיבה

למה אפשר להציב כל אחת משתי הנקודות כדי למצוא $b$ ?

כי שתי הנקודות נמצאות על אותו ישר. אם השיפוע חושב נכון, הצבה של כל אחת מהן תוביל לאותו $b$ . זו גם בדיקה טובה לחישוב.

$math/026-reason$ בדיקת מוכנות לפני החידון

לפני שעונים, עצרו לרגע ובדקו שהשיטה, הסימן והפירוש המילולי מתאימים לנתונים.

אני יודע מתי צריך לחשב שיפוע ומתי הוא כבר נתון.
אני מציב נקודה כדי למצוא $b$ .
אני בודק את המשוואה בעזרת נקודה אחת לפחות.

שתי דרכים לבנות משוואה - השוואה

ניתן לבנות משוואת ישר בשתי דרכים שקולות. לפעמים אחת קלה יותר מהשנייה, אבל שתיהן מובילות לאותה תשובה.

השוואת השיטות

שלב	צורת $y = m x + b$	צורת נקודה-שיפוע $y - y_{1} = m (x - x_{1})$
שלב 1	מחשבים שיפוע מ- $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$	מחשבים שיפוע באותה דרך
שלב 2	מציבים נקודה למציאת $b$	מציבים נקודה ישירות בתוך הביטוי
שלב 3	כותבים $y = m x + b$	פותחים סוגריים ומסדרים
דוגמה	$b = 2$ , אז $y = 3 x + 2$	$y - 5 = 3 (x - 1) \Rightarrow y = 3 x + 2$
יתרונות	פשוטה, מתאימה לתחילת הלימוד	חוסכת חישוב $b$ , נוחה לקואורדינטות גדולות