גרסת הדפסה | החוברת

אותו קשר יכול להופיע כסיפור, טבלה, גרף ונוסחה

פותחים את הרעיון

פונקציה קווית היא קשר עם קצב קבוע. לפעמים נראה אותו בסיפור, לפעמים בטבלה, לפעמים בגרף ולפעמים בנוסחה. הלמידה החשובה היא לדעת לתרגם בין השפות האלה.

לזהות מהו הערך ההתחלתי ומהו הקצב בסיפור.
לבנות טבלה וגרף מתוך נוסחה קווית.
להסביר מה כל ייצוג מוסיף להבנה.

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

ארבע שפות לאותו קשר

ניקח מונית שגובה $12$ שקלים בתחילת נסיעה ועוד $3$ שקלים לכל קילומטר.

y = m x + b

במעבר בין ייצוגים מחפשים תמיד שני דברים: קצב קבוע $m$ וערך התחלתי $b$ .

צורה כללית של פונקציה קווית

y = m x + b

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לזהות מהו הערך ההתחלתי ומהו הקצב בסיפור.

חישוב

לבנות טבלה וגרף מתוך נוסחה קווית.

פירוש

להסביר מה כל ייצוג מוסיף להבנה.

מסלול עבודה מלא

מזהים שני מספרים

מחפשים ערך התחלתי $b$ .
מחפשים קצב קבוע $m$ .

מתרגמים ייצוג

מסיפור לטבלה, מטבלה לגרף, ומגרף לנוסחה.
בכל מעבר שומרים על אותו $m$ ואותו $b$ .

בודקים התאמה

מציבים נקודה אחת בנוסחה.
בודקים אם הגרף, הטבלה והסיפור אומרים אותו דבר.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

סיפור מונית בארבעה ערכים

קילומטרים $x$	עלות $y$	פירוש
$0$	$12$	תשלום פתיחה בלבד
$1$	$15$	$12 + 3$
$2$	$18$	$12 + 2 \cdot 3$
$3$	$21$	$12 + 3 \cdot 3$

כל צעד של קילומטר מוסיף $3$ שקלים.

תמונה הממחישה פונקציה קווית אחת בארבעה ייצוגים: סיפור, טבלה, גרף ונוסחה — אותה פונקציה קווית יכולה להופיע בכמה ייצוגים, וכל ייצוג מדגיש מידע אחר.

מהטבלה אל הגרף

דוגמאות שמחברות את הרעיון

סיפור

מתאר את המשמעות של $m$ ושל $b$ .

טבלה

מאפשרת לחשב ערכים ולזהות הפרשים קבועים.

גרף

מראה ישר, חיתוכים והתנהגות כללית.

נוסחה

מאפשרת למצוא ערך לכל $x$ מתאים.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - מסיפור לנוסחה

שכירתאופנייםעולה m 10 / m שקליםועוד m 4 / m שקליםלכלשעה.כתבופונקציהלמחיר.

מזהים ערך התחלתי.
$b = 10$
מזהים קצב.
$m = 4$
כותבים נוסחה.
$y = 4 x + 10$

תשובה:

m y = 4 x + 10 / m .

דוגמה נוספת - מטבלה לנוסחה ולסיפור

בטבלהנתונותהנקודות m (0, 6), (2, 16), (4, 26) / m .כתבונוסחהופירושמילוליאפשרי.

כאשר $x = 0$ , ערך הפלט הוא האיבר החופשי.
$b = 6$
בכל עלייה של $2$ ב- $x$ , $y$ גדל ב- $10$ .
$m = \frac{10}{2} = 5$
כותבים את הנוסחה בעזרת $m$ ו- $b$ .
$y = 5 x + 6$
פירוש אפשרי: תשלום פתיחה של $6$ שקלים ועוד $5$ שקלים לכל יחידה.
$ערך התחלתי 6, קצב 5$

תשובה:

m y = 5 x + 6 / m .

מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגיל

תרגול - מטבלה לנוסחה

הנקודות $(0, 5), (1, 9), (2, 13)$ שייכות לקשר קווי. כתבו נוסחה.

y = m x + b

תרגיל

תרגול - מזהים ייצוג שאינו מתאים

סיפור מתאר מחיר פתיחה $20$ ועוד $2$ שקלים לכל פריט. איזו נקודה אינה מתאימה?

y = 2 x + 20

תרגיל

תרגול אתגר - מזהים ייצוג חסר

סיפור מתאר חיסכון שמתחיל ב- $40$ שקלים וגדל ב- $15$ שקלים בכל שבוע. איזו נקודה חייבת להופיע בטבלה ואיזו נוסחה מתאימה?

y = 15 x + 40

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

מדוע נוסחה אחת יכולה להספיק גם לערכים שלא מופיעים בטבלה?

מתי גרף יכול להטעות יותר מטבלה?

מטריצת המעברים - מכל ייצוג לכל ייצוג

פונקציה קווית יכולה להופיע בארבעה ייצוגים שונים: סיפור, טבלה, גרף ונוסחה. בין כל שני ייצוגים יש דרך מעבר ברורה. הטבלה הבאה מסכמת את כל המעברים האפשריים.

מטריצת המעברים בין ייצוגים

מ ← אל	סיפור	טבלה	גרף	נוסחה
סיפור	-	מציבים ערכי $x$ סבירים	מסמנים ערך התחלתי וקצב	מזהים $m$ ו- $b$ מילולית
טבלה	מתרגמים יחידות לסיפור	-	מסרטטים זוגות $(x, y)$	$Δ y /Δ x = m$ , ערך ב- $x = 0$ הוא $b$
גרף	מתארים בקצב ויחידות	קוראים זוגות מהציר	-	קוראים חיתוך וצועדים מדרגות
נוסחה	מקצב ויחידות לסיפור	מציבים ערכי $x$	מסמנים $b$ וצועדים בשיפוע	-

כל ארבעת הייצוגים תקפים; בוחרים את היעיל ביותר לפי השאלה.

אותה פונקציה בארבעה ייצוגים

סיפור

במונית מתחילים בתשלום של $12$ שקלים, ועוד $3$ שקלים לכל קילומטר נסיעה.

טבלה

$(0, 12), (1, 15), (2, 18), (3, 21), (4, 24)$ .

גרף

ישר שעובר ב- $(0, 12)$ , עם שיפוע חיובי $3$ , מצייר תוואי עולה.

נוסחה

$y = 3 x + 12$ .

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה מייצג $b$ בסיפור מונית עם מחיר פתיחה?

המחיר כאשר $x = 0$
המחיר לכל קילומטר
מספר הקילומטרים
הנקודה האחרונה בטבלה

2.איזו נוסחה מתאימה לתשלום $7$ שקלים קבוע ועוד $2$ לכל פריט?

$y = 2 x + 7$
$y = 7 x + 2$
$y = 9 x$
$y = 2 x - 7$

3.איזה ייצוג מראה בצורה הברורה ביותר אם הגרף ישר?

גרף
סיפור בלבד
רשימת מילים
תיאור בעל פה בלי נתונים

4.מה מחפשים כשעוברים מטבלה לנוסחה?

קצב קבוע וערך התחלתי
רק את המספר הגדול ביותר
רק את מספר השורות
רק את הציר האופקי

5.בטבלה $(0, 4), (1, 6), (2, 8)$ . מהי הנוסחה?

$y = 2 x + 4$
$y = 4 x + 2$
$y = x + 4$
$y = 2 x - 4$

6.מה נכון על ייצוגים שונים של אותה פונקציה?

כולם מתארים את אותו קשר
כל ייצוג הוא פונקציה אחרת
רק נוסחה נחשבת מתמטיקה
גרף אינו קשור לטבלה

7.אם הנקודות בגרף אינן על ישר אחד, מה אפשר להסיק?

הקשר כנראה אינו קווי
השיפוע הוא אפס
אין ערך התחלתי
כל הנקודות שגויות

8.מהו יתרון של נוסחה לעומת טבלה קצרה?

אפשר לחשב ערכים שלא הופיעו בטבלה
היא תמיד קצרה יותר
היא מבטלת צורך ביחידות
היא מסתירה את הקצב

9.בסיפור יש תשלום פתיחה $18$ ועוד $4$ לכל פריט. מהו $b$ ?

$18$
$4$
$22$
$72$

10.איזו בדיקה מחברת בין נוסחה לטבלה?

מציבים ערך $x$ מהטבלה ובודקים את $y$
סופרים כמה שורות יש
בוחרים את המספר הגדול ביותר
מוחקים את האיבר החופשי

11.מהו $b$ בנוסחה $y = 4 x - 1$ ?

$- 1$
$1$
$4$
$- 4$

12.טבלה: $(0, 7), (2, 1), (4, - 5)$ . מהי הנוסחה?

$y = - 3 x + 7$
$y = 3 x + 7$
$y = - 3 x - 7$
$y = - 2 x + 7$

13.מסיפור: 'מתחילים ב- $50$ ש"ח, מוסיפים $5$ ש"ח לכל שבוע'. מהי הנוסחה?

$y = 5 x + 50$
$y = 50 x + 5$
$y = 5 x - 50$
$y = 55 x$

14.ניתנה $y = 3 x - 5$ . מהו $y (4)$ ?

$7$
$12$
$- 7$
$17$

15.כמה ייצוגים שונים יש לפונקציה קווית?

ארבעה: סיפור, טבלה, גרף, נוסחה
שניים: גרף ונוסחה
אחד בלבד
אינסוף

16.תלמיד טוען ש- $(1, 5), (2, 9), (3, 15)$ מתאימה ל- $y = 4 x + 1$ . צודק?

לא, הטבלה אינה קווית
כן
רק לשתי הנקודות הראשונות
אי אפשר לבדוק

17.אם $f (x) = \frac{1}{2} x + 25$ ש"ח עבור $x$ מ"ק, כמה משלמים על $30$ מ"ק?

$40$ ש"ח
$55$ ש"ח
$25$ ש"ח
$30$ ש"ח

18.איזה ייצוג מציג בדרך כלל את $b$ הברור ביותר?

גרף - חיתוך עם ציר $y$
סיפור בלבד
טבלה בלבד
אף אחד