ארבעת הייצוגים של פונקציה קווית

אותו קשר יכול להופיע כסיפור, טבלה, גרף ונוסחה

$math/048-graphs$ פותחים את הרעיון

פונקציה קווית היא קשר עם קצב קבוע. לפעמים נראה אותו בסיפור, לפעמים בטבלה, לפעמים בגרף ולפעמים בנוסחה. הלמידה החשובה היא לדעת לתרגם בין השפות האלה.

לזהות מהו הערך ההתחלתי ומהו הקצב בסיפור.

לבנות טבלה וגרף מתוך נוסחה קווית.

להסביר מה כל ייצוג מוסיף להבנה.

$math/048-graphs$ הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

ארבע שפות לאותו קשר

ניקח מונית שגובה $12$ שקלים בתחילת נסיעה ועוד $3$ שקלים לכל קילומטר.

הסיפור אומר את המשמעות, הטבלה מאפשרת לחשב ערכים, הגרף מראה קו ישר, והנוסחה $y = 3 x + 12$ מכלילה לכל מרחק מתאים בתחום הבעיה.

$y = m x + b$

במעבר בין ייצוגים מחפשים תמיד שני דברים: קצב קבוע $m$ וערך התחלתי $b$ .

צורה כללית של פונקציה קווית

y = m x + b

מה צריך לדעת לעשות?

$math/048-graphs$

זיהוי

לזהות מהו הערך ההתחלתי ומהו הקצב בסיפור.

$math/030-equation$

חישוב

לבנות טבלה וגרף מתוך נוסחה קווית.

$math/020-math book$

פירוש

להסביר מה כל ייצוג מוסיף להבנה.

מסלול עבודה מלא

$math/048-graphs$

מזהים שני מספרים

מחפשים ערך התחלתי $b$ .

מחפשים קצב קבוע $m$ .

$math/030-equation$

מתרגמים ייצוג

מסיפור לטבלה, מטבלה לגרף, ומגרף לנוסחה.

בכל מעבר שומרים על אותו $m$ ואותו $b$ .

$math/026-reason$

בודקים התאמה

מציבים נקודה אחת בנוסחה.

בודקים אם הגרף, הטבלה והסיפור אומרים אותו דבר.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

סיפור מונית בארבעה ערכים

קילומטרים $x$	עלות $y$	פירוש
$0$	$12$	תשלום פתיחה בלבד
$1$	$15$	$12 + 3$
$2$	$18$	$12 + 2 \cdot 3$
$3$	$21$	$12 + 3 \cdot 3$

* כל צעד של קילומטר מוסיף $3$ שקלים.

תמונה הממחישה פונקציה קווית אחת בארבעה ייצוגים: סיפור, טבלה, גרף ונוסחה — אותה פונקציה קווית יכולה להופיע בכמה ייצוגים, וכל ייצוג מדגיש מידע אחר.

מהטבלה אל הגרף

$math/030-equation$ דוגמאות שמחברות את הרעיון

סיפור

מתאר את המשמעות של $m$ ושל $b$ .

טבלה

מאפשרת לחשב ערכים ולזהות הפרשים קבועים.

גרף

מראה ישר, חיתוכים והתנהגות כללית.

נוסחה

מאפשרת למצוא ערך לכל $x$ מתאים.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

$math/048-graphs$ דוגמה מודרכת - מסיפור לנוסחה

שכירת אופניים עולה

10

שקלים ועוד

4

שקלים לכל שעה. כתבו פונקציה למחיר.

דוגמה נוספת - מטבלה לנוסחה ולסיפור

בטבלה נתונות הנקודות

(0, 6), (2, 16), (4, 26)

. כתבו נוסחה ופירוש מילולי אפשרי.

$math/027-notepad$ מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגול - מטבלה לנוסחה

בינוני

הנקודות $(0, 5), (1, 9), (2, 13)$ שייכות לקשר קווי. כתבו נוסחה.

y = m x + b

תרגול - מזהים ייצוג שאינו מתאים

מאתגר

סיפור מתאר מחיר פתיחה $20$ ועוד $2$ שקלים לכל פריט. איזו נקודה אינה מתאימה?

y = 2 x + 20

תרגול אתגר - מזהים ייצוג חסר

מאתגר

סיפור מתאר חיסכון שמתחיל ב- $40$ שקלים וגדל ב- $15$ שקלים בכל שבוע. איזו נקודה חייבת להופיע בטבלה ואיזו נוסחה מתאימה?

y = 15 x + 40

למה הטעות הזאת קורית?

מעבר בין ייצוגים מבלבל כי הסדר בסיפור אינו תמיד הסדר בנוסחה. צריך לשאול מה כל מספר עושה, לא רק איפה הוא הופיע במשפט.

הדרך המפתה: מספר שמופיע ראשון בסיפור הופך אוטומטית למקדם של $x$ .
הדרך הבטוחה: מספר שחוזר בכל יחידה הוא $m$ ; מספר שמופיע כש- $x = 0$ הוא $b$ .
הציבו $x = 0$ . אם קיבלתם את הערך ההתחלתי, הנוסחה בכיוון הנכון.

איך לא מתבלבלים?

$math/048-graphs$ מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

$math/030-equation$ מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

$math/026-reason$ איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

בדיקת סיום לפני תשובה

כדי לעבור בין ייצוגים, סמנו קודם את $b$ ואת $m$ ; אחר כך בנו טבלה או גרף.

בדקו אם התוצאה מתאימה לסימן או לכיוון הגרף.
בדקו יחידות ופירוש מילולי.
הציבו ערך אחד כדי לוודא שהנוסחה או התחום עובדים.

שאלה לחשיבה

מדוע נוסחה אחת יכולה להספיק גם לערכים שלא מופיעים בטבלה?

כי הנוסחה מתארת את כלל הקשר ולא רק ערכים שנבחרו. אם ידוע שהקצב קבוע והערך ההתחלתי ידוע, הנוסחה $y = m x + b$ מאפשרת לחשב כל ערך בתחום הסיפור.

שאלה לחשיבה

מתי גרף יכול להטעות יותר מטבלה?

כאשר קוראים נקודות לא מדויקות או מסתמכים על ציור לא בקנה מידה. טבלה נותנת ערכים מדויקים, ולכן רצוי לשלב בין הגרף לבין חישוב הפרשים או הצבה בנוסחה.

$math/026-reason$ בדיקת מוכנות לפני החידון

לפני שעונים, עצרו לרגע ובדקו שהשיטה, הסימן והפירוש המילולי מתאימים לנתונים.

אני יכול למצוא $m$ ו- $b$ מתוך סיפור, טבלה או גרף.
אני בודק ייצוגים בעזרת הצבת נקודה אחת לפחות.
אני יודע להסביר מה היתרון של כל ייצוג.

מטריצת המעברים - מכל ייצוג לכל ייצוג

פונקציה קווית יכולה להופיע בארבעה ייצוגים שונים: סיפור, טבלה, גרף ונוסחה. בין כל שני ייצוגים יש דרך מעבר ברורה. הטבלה הבאה מסכמת את כל המעברים האפשריים.

מטריצת המעברים בין ייצוגים

מ ← אל	סיפור	טבלה	גרף	נוסחה
סיפור	-	מציבים ערכי $x$ סבירים	מסמנים ערך התחלתי וקצב	מזהים $m$ ו- $b$ מילולית
טבלה	מתרגמים יחידות לסיפור	-	מסרטטים זוגות $(x, y)$	$Δ y /Δ x = m$ , ערך ב- $x = 0$ הוא $b$
גרף	מתארים בקצב ויחידות	קוראים זוגות מהציר	-	קוראים חיתוך וצועדים מדרגות
נוסחה	מקצב ויחידות לסיפור	מציבים ערכי $x$	מסמנים $b$ וצועדים בשיפוע	-

* כל ארבעת הייצוגים תקפים; בוחרים את היעיל ביותר לפי השאלה.

אותה פונקציה בארבעה ייצוגים

סיפור

במונית מתחילים בתשלום של $12$ שקלים, ועוד $3$ שקלים לכל קילומטר נסיעה.

טבלה

$(0, 12), (1, 15), (2, 18), (3, 21), (4, 24)$ .

גרף

ישר שעובר ב- $(0, 12)$ , עם שיפוע חיובי $3$ , מצייר תוואי עולה.

נוסחה

$y = 3 x + 12$ .

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 18

מה נכון על ייצוגים שונים של אותה פונקציה?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של ארבעת הייצוגים של פונקציה קווית כבר מוכן.

פתחו תרגול