גרסת הדפסה | החוברת

שומרים על אותו סדר בחיסור

פותחים את הרעיון

כאשר אין גרף נוח לקריאה, שתי נקודות מספיקות כדי למצוא שיפוע. הסוד הוא לשמור על אותו סדר בחיסור של ערכי $y$ ושל ערכי $x$ .

להציב שתי נקודות בנוסחת השיפוע.
לזהות שיפוע חיובי, שלילי, אפס ולא מוגדר.
לאתר טעות של סדר חיסור לא עקבי.

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

אותה נקודה מתחילה במונה ובמכנה

נסמן שתי נקודות $(x_{1}, y_{1})$ ו- $(x_{2}, y_{2})$ .

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

בדיקה מהירה: אם הקו יורד משמאל לימין, השיפוע צריך להיות שלילי.

נוסחת השיפוע

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

להציב שתי נקודות בנוסחת השיפוע.

חישוב

לזהות שיפוע חיובי, שלילי, אפס ולא מוגדר.

פירוש

לאתר טעות של סדר חיסור לא עקבי.

מסלול עבודה מלא

מסמנים נקודות

כותבים בבירור $(x_{1}, y_{1})$ ו- $(x_{2}, y_{2})$ .
לא מערבבים בין שיעור $x$ לשיעור $y$ .

שומרים סדר

אם התחלתם ב- $y_{2} - y_{1}$ , המשיכו עם $x_{2} - x_{1}$ .
אפשר להפוך סדר בשניהם יחד בלבד.

בודקים סימן

קו עולה נותן שיפוע חיובי.
קו יורד נותן שיפוע שלילי, וקו אופקי נותן $0$ .

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

ארבעה מצבי שיפוע

נקודות	מונה	מכנה	שיפוע	משמעות
$(2, 5), (6, 13)$	$8$	$4$	$2$	עולה
$(3, 7), (5, 1)$	$- 6$	$2$	$- 3$	יורדת
$(1, 4), (5, 4)$	$0$	$4$	$0$	קבועה
$(2, 1), (2, 6)$	$5$	$0$	לא מוגדר	לא פונקציה קווית מהצורה $y = m x + b$

בפרק הזה מתמקדים בפונקציות קוויות, ולכן ישר אנכי אינו נכתב בצורת $y = m x + b$ .

שיפוע שלילי משתי נקודות

דוגמאות שמחברות את הרעיון

סדר עקבי

אם התחלתם ב- $y_{2} - y_{1}$ , המשיכו ב- $x_{2} - x_{1}$ .

סימן הגיוני

קו יורד צריך לתת שיפוע שלילי.

שיפוע אפס

מתקבל כאשר ערכי $y$ שווים.

מכנה אפס

מתקבל בישר אנכי, שאינו פונקציה מהצורה $y = m x + b$ .

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - שיפוע חיובי

מצאואתהשיפועשלישרהעוברדרך m (2, 5) / m ו - m (6, 13) / m .

מחסרים ערכי $y$ .
$13 - 5 = 8$
מחסרים ערכי $x$ באותו סדר.
$6 - 2 = 4$
מצמצמים.
$m = \frac{8}{4} = 2$

תשובה:

m m = 2 / m .

דוגמה נוספת - נקודות עם מספרים שליליים

מצאואתהשיפועשלישרהעוברדרך m (- 1, 7) / m ו - m (3, - 1) / m .

מסמנים את הנקודות לפי הסדר שנוח לנו.
$(x_{1}, y_{1}) = (- 1, 7), (x_{2}, y_{2}) = (3, - 1)$
מחשבים את השינוי ב- $y$ .
$y_{2} - y_{1} = - 1 - 7 = - 8$
מחשבים את השינוי ב- $x$ .
$x_{2} - x_{1} = 3 - (- 1) = 4$
מחלקים ומקבלים שיפוע שלילי, שמתאים לקו יורד.
$m = \frac{- 8}{4} = - 2$

תשובה:

m m = - 2 / m .

מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגיל

תרגול - שיפוע שלילי

מצאו שיפוע בין $(3, 7)$ ו- $(5, 1)$ .

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

תרגיל

תרגול - שיפוע אפס

מצאו שיפוע בין $(- 2, 4)$ ו- $(3, 4)$ .

m = \frac{4 - 4}{3 - ( - 2 )}

תרגיל

תרגול אתגר - שיפוע חצי

מצאו את השיפוע בין $(- 4, 2)$ ו- $(2, 5)$ .

m = \frac{5 - 2}{2 - ( - 4 )}

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

למה מותר להחליף סדר בשני החיסורים ועדיין לקבל אותו שיפוע?

מה ההבדל בין שיפוע אפס לבין שיפוע לא מוגדר?

ניסוחים שווי ערך של אותה נוסחה

נוסחת השיפוע נראית פשוטה, אבל אפשר לכתוב אותה בכמה צורות שקולות. ההבנה שכולן נותנות אותה תוצאה מוסיפה גמישות בפתרון.

כל הניסוחים השקולים

ניסוח	מתי נוח	דוגמה: $(2, 5), (7, 15)$
$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$	ברירת מחדל	$\frac{15 - 5}{7 - 2} = \frac{10}{5} = 2$
$m = \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}}$	אם נוח להחליף סדר	$\frac{5 - 15}{2 - 7} = \frac{- 10}{- 5} = 2$
$m = \frac{Δ y}{Δ x}$	שיטה גרפית	$Δ y = 10, Δ x = 5 \Rightarrow m = 2$
משוואה לפי נקודה: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$	כשיש שיפוע ונקודה	אם $m = 2$ ו- $(2, 5)$ : $y - 5 = 2 (x - 2)$

כולן שקולות. הכלל - אסור להחליף סדר רק במונה או רק במכנה.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי נוסחת השיפוע משתי נקודות?

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
$m = \frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$
$m = x_{2} - y_{2}$
$m = y_{1} + x_{1}$

2.מה השיפוע בין $(2, 5)$ ו- $(6, 13)$ ?

$2$
$4$
$8$
$\frac{1}{2}$

3.מה השיפוע בין $(3, 7)$ ו- $(5, 1)$ ?

$- 3$
$3$
$- \frac{1}{3}$
$6$

4.מתי השיפוע הוא $0$ ?

כאשר ערכי $y$ שווים וה- $x$ שונה
כאשר ערכי $x$ שווים
כאשר שתי נקודות זהות
כאשר הגרף אנכי

5.מהי טעות סדר חיסור?

להתחיל בנקודה אחת במונה ובנקודה אחרת במכנה
לכתוב שבר
לצמצם
לסמן נקודות

6.מה מצביע על שיפוע לא מוגדר?

$x_{1} = x_{2}$
$y_{1} = y_{2}$
$m = 0$
הקו עולה

7.מדוע כדאי לבדוק סימן אחרי החישוב?

כדי לוודא שהוא מתאים לכיוון הקו
כדי לשנות תשובה כרצוננו
כי סימן לא חשוב
כי תמיד השיפוע חיובי

8.בנקודות $(- 1, 4), (3, - 8)$ , מה השיפוע?

$- 3$
$3$
$- 12$
$4$

9.מה השיפוע בין $(- 1, 7)$ ו- $(3, - 1)$ ?

$- 2$
$2$
$- \frac{1}{2}$
$8$

10.איזו טעות משנה את סימן השיפוע?

שינוי סדר רק במונה או רק במכנה
צמצום שבר
כתיבת נקודות בסוגריים
בדיקת כיוון הגרף

11.מצאו שיפוע בין $(- 3, 5)$ ל- $(2, - 7)$ .

$- \frac{12}{5}$
$\frac{12}{5}$
$- \frac{2}{12}$
$- 2$

12.מצאו שיפוע בין $(1, 2)$ ל- $(7, 11)$ .

$\frac{3}{2}$
$\frac{9}{6}$ (לא מצומצם)
$\frac{2}{3}$
$3$

13. $(5, - 2)$ ו- $(5, 8)$ : מהו השיפוע?

לא מוגדר
$10$
$0$
$\infty$

14. $(- 4, 3)$ ו- $(7, 3)$ : מהו השיפוע?

$0$
$3$
לא מוגדר
$11$

15.אם השיפוע בין $(3, a)$ ל- $(7, 11)$ הוא $2$ , מהו $a$ ?

$3$
$5$
$7$
$- 3$

16.מצאו שיפוע בין $(- 2, 8)$ ל- $(4, - 4)$ .

$- 2$
$2$
$- 12$
$- \frac{1}{2}$

17.מהי הצורה הנכונה של נוסחת השיפוע?

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
$m = \frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$
$m = \frac{y _{2} + y _{1}}{x _{2} + x _{1}}$
$m = y_{2} - y_{1}$

18.מהו $Δ x$ בין $(2, 5)$ ל- $(7, 15)$ ?

$5$
$10$
$- 5$
$9$