נוסחת השיפוע משתי נקודות

שומרים על אותו סדר בחיסור

$math/030-equation$ פותחים את הרעיון

כאשר אין גרף נוח לקריאה, שתי נקודות מספיקות כדי למצוא שיפוע. הסוד הוא לשמור על אותו סדר בחיסור של ערכי

y

ושל ערכי

x

להציב שתי נקודות בנוסחת השיפוע.

לזהות שיפוע חיובי, שלילי, אפס ולא מוגדר.

לאתר טעות של סדר חיסור לא עקבי.

$math/030-equation$ הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

אותה נקודה מתחילה במונה ובמכנה

נסמן שתי נקודות $(x_{1}, y_{1})$ ו- $(x_{2}, y_{2})$ .

אפשר להתחיל מהנקודה השנייה או מהראשונה, אבל חייבים לעשות זאת באותו סדר גם במונה וגם במכנה. אם משנים סדר רק במקום אחד, סימן השיפוע מתהפך בטעות.

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

בדיקה מהירה: אם הקו יורד משמאל לימין, השיפוע צריך להיות שלילי.

נוסחת השיפוע

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

מה צריך לדעת לעשות?

$math/030-equation$

זיהוי

להציב שתי נקודות בנוסחת השיפוע.

$math/002-calculator$

חישוב

לזהות שיפוע חיובי, שלילי, אפס ולא מוגדר.

$math/020-math book$

פירוש

לאתר טעות של סדר חיסור לא עקבי.

מסלול עבודה מלא

$math/030-equation$

מסמנים נקודות

כותבים בבירור $(x_{1}, y_{1})$ ו- $(x_{2}, y_{2})$ .

לא מערבבים בין שיעור $x$ לשיעור $y$ .

$math/002-calculator$

שומרים סדר

אם התחלתם ב- $y_{2} - y_{1}$ , המשיכו עם $x_{2} - x_{1}$ .

אפשר להפוך סדר בשניהם יחד בלבד.

$math/026-reason$

בודקים סימן

קו עולה נותן שיפוע חיובי.

קו יורד נותן שיפוע שלילי, וקו אופקי נותן $0$ .

$math/025-numbers$ ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

ארבעה מצבי שיפוע

נקודות	מונה	מכנה	שיפוע	משמעות
$(2, 5), (6, 13)$	$8$	$4$	$2$	עולה
$(3, 7), (5, 1)$	$- 6$	$2$	$- 3$	יורדת
$(1, 4), (5, 4)$	$0$	$4$	$0$	קבועה
$(2, 1), (2, 6)$	$5$	$0$	לא מוגדר	לא פונקציה קווית מהצורה $y = m x + b$

* בפרק הזה מתמקדים בפונקציות קוויות, ולכן ישר אנכי אינו נכתב בצורת $y = m x + b$ .

שיפוע שלילי משתי נקודות

$math/002-calculator$ דוגמאות שמחברות את הרעיון

סדר עקבי

אם התחלתם ב- $y_{2} - y_{1}$ , המשיכו ב- $x_{2} - x_{1}$ .

סימן הגיוני

קו יורד צריך לתת שיפוע שלילי.

שיפוע אפס

מתקבל כאשר ערכי $y$ שווים.

מכנה אפס

מתקבל בישר אנכי, שאינו פונקציה מהצורה $y = m x + b$ .

$math/030-equation$ דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

$math/030-equation$ דוגמה מודרכת - שיפוע חיובי

מצאו את השיפוע של ישר העובר דרך

(2, 5)

ו-

(6, 13)

דוגמה נוספת - נקודות עם מספרים שליליים

מצאו את השיפוע של ישר העובר דרך

(- 1, 7)

ו-

(3, - 1)

$math/027-notepad$ מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגול - שיפוע שלילי

בינוני

מצאו שיפוע בין $(3, 7)$ ו- $(5, 1)$ .

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

תרגול - שיפוע אפס

בסיסי

מצאו שיפוע בין $(- 2, 4)$ ו- $(3, 4)$ .

m = \frac{4 - 4}{3 - ( - 2 )}

תרגול אתגר - שיפוע חצי

בינוני

מצאו את השיפוע בין $(- 4, 2)$ ו- $(2, 5)$ .

m = \frac{5 - 2}{2 - ( - 4 )}

למה הטעות הזאת קורית?

הנוסחה קצרה, ולכן קל להציב בה מהר מדי. רוב הטעויות הן טעויות סדר או סימן, לא חוסר הבנה של השיפוע.

הדרך המפתה: מחסרים $y$ בסדר אחד ואת $x$ בסדר אחר.
הדרך הבטוחה: כותבים שורת סימון לנקודות ומשתמשים באותו סדר בשני החיסורים.
השוו את סימן השיפוע לכיוון הקו המשוער בין שתי הנקודות.

איך לא מתבלבלים?

$math/030-equation$ מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

$math/002-calculator$ מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

$math/026-reason$ איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

בדיקת סיום לפני תשובה

כתבו את שתי הנקודות זו מתחת לזו וסמנו מה חיסרתם. הסידור החזותי מונע היפוך סימנים.

בדקו אם התוצאה מתאימה לסימן או לכיוון הגרף.
בדקו יחידות ופירוש מילולי.
הציבו ערך אחד כדי לוודא שהנוסחה או התחום עובדים.

שאלה לחשיבה

למה מותר להחליף סדר בשני החיסורים ועדיין לקבל אותו שיפוע?

אם מחליפים סדר גם במונה וגם במכנה, שני הסימנים מתהפכים. לכן המנה נשארת זהה, למשל $\frac{8}{4} = \frac{- 8}{- 4} = 2$ .

שאלה לחשיבה

מה ההבדל בין שיפוע אפס לבין שיפוע לא מוגדר?

שיפוע אפס מתקבל כאשר $Δ y = 0$ והמכנה אינו אפס, כלומר ישר אופקי. שיפוע לא מוגדר מתקבל כאשר $Δ x = 0$ , כלומר ישר אנכי.

$math/026-reason$ בדיקת מוכנות לפני החידון

לפני שעונים, עצרו לרגע ובדקו שהשיטה, הסימן והפירוש המילולי מתאימים לנתונים.

אני כותב את שתי הנקודות לפני ההצבה בנוסחה.
אני מזהה מתי שיפוע הוא $0$ ומתי הוא לא מוגדר.
אני בודק סימן אחרי כל חישוב שיפוע.

ניסוחים שווי ערך של אותה נוסחה

נוסחת השיפוע נראית פשוטה, אבל אפשר לכתוב אותה בכמה צורות שקולות. ההבנה שכולן נותנות אותה תוצאה מוסיפה גמישות בפתרון.

כל הניסוחים השקולים

ניסוח	מתי נוח	דוגמה: $(2, 5), (7, 15)$
$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$	ברירת מחדל	$\frac{15 - 5}{7 - 2} = \frac{10}{5} = 2$
$m = \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}}$	אם נוח להחליף סדר	$\frac{5 - 15}{2 - 7} = \frac{- 10}{- 5} = 2$
$m = \frac{Δ y}{Δ x}$	שיטה גרפית	$Δ y = 10, Δ x = 5 \Rightarrow m = 2$
משוואה לפי נקודה: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$	כשיש שיפוע ונקודה	אם $m = 2$ ו- $(2, 5)$ : $y - 5 = 2 (x - 2)$

* כולן שקולות. הכלל - אסור להחליף סדר רק במונה או רק במכנה.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 18

מה השיפוע בין $(2, 5)$ ו- $(6, 13)$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של נוסחת השיפוע משתי נקודות כבר מוכן.

פתחו תרגול

נוסחת השיפוע משתי נקודות

פותחים את הרעיון

הגדרה ומשמעות

אותה נקודה מתחילה במונה ובמכנה

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

חישוב

פירוש

מסלול עבודה מלא

מסמנים נקודות

שומרים סדר

בודקים סימן

ייצוגים ודוגמאות

ארבעה מצבי שיפוע

דוגמאות שמחברות את הרעיון

סדר עקבי

סימן הגיוני

שיפוע אפס

מכנה אפס

דוגמה מודרכת

דוגמה מודרכת - שיפוע חיובי

דוגמה נוספת - נקודות עם מספרים שליליים

מתאמנים בהדרגה

תרגול - שיפוע שלילי

תרגול - שיפוע אפס

תרגול אתגר - שיפוע חצי

למה הטעות הזאת קורית?

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מה הפעולה?

איך בודקים?

טעויות נפוצות

בדיקת סיום לפני תשובה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

בדיקת מוכנות לפני החידון

ניסוחים שווי ערך של אותה נוסחה

כל הניסוחים השקולים

מה השיפוע בין (2,5) ו-(6,13)?