גרסת הדפסה | החוברת

הסימן קובע כיוון, שיפועים שווים קובעים מקבילות

פותחים את הרעיון

סימן השיפוע מספר מה קורה לפונקציה כשמתקדמים ימינה. שני ישרים עם אותו שיפוע נעים באותה תלילות, ולכן הם מקבילים אם הם אינם אותו ישר.

לזהות עלייה, ירידה וקבועה לפי $m$ .
להשוות שיפועים של שני ישרים.
להבדיל בין שיפוע לבין איבר חופשי.

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

אותו כיוון, אותו שיפוע

בצורה $y = m x + b$ , המספר $m$ קובע את כיוון הישר.

m_{1} = m_{2}

האיבר החופשי קובע היכן הקו חותך את ציר $y$ , לא את התלילות שלו.

תנאי מקבילות

m_{1} = m_{2}

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לזהות עלייה, ירידה וקבועה לפי $m$ .

חישוב

להשוות שיפועים של שני ישרים.

פירוש

להבדיל בין שיפוע לבין איבר חופשי.

מסלול עבודה מלא

קוראים סימן

$m > 0$ אומר פונקציה עולה.
$m < 0$ אומר פונקציה יורדת.

משווים שיפועים

ישרים מקבילים בעלי אותו שיפוע.
האיבר החופשי יכול להיות שונה.

בודקים חיתוך

אם גם $m$ וגם $b$ שווים, זה אותו ישר.
אם רק $m$ שווה, הישרים מקבילים שונים.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

סימן השיפוע ומשמעותו

מצב	דוגמה	משמעות בגרף
$m > 0$	$y = 2 x + 1$	עולה משמאל לימין
$m < 0$	$y = - x + 4$	יורדת משמאל לימין
$m = 0$	$y = 3$	ישר אופקי

במקבילות משווים רק שיפועים, לא איברים חופשיים.

שלושה סימני שיפוע ושני ישרים מקבילים

דוגמאות שמחברות את הרעיון

עולה

$m > 0$ , כש- $x$ גדל גם $y$ גדל.

יורדת

$m < 0$ , כש- $x$ גדל $y$ קטן.

קבועה

$m = 0$ , אין שינוי בפלט.

מקבילים

אותו שיפוע ואיבר חופשי אחר.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - בודקים מקבילות

האםהישרים m y = 3 x - 2 / m ו - m y = 3 x + 7 / m מקבילים ?

מזהים את השיפוע הראשון.
$m_{1} = 3$
מזהים את השיפוע השני.
$m_{2} = 3$
משווים איברים חופשיים כדי לדעת אם אלה אותו ישר.
$b_{1} = - 2, b_{2} = 7$

תשובה:

השיפועיםשוויםוהאיבריםהחופשייםשונים, לכןהישריםמקבילים.

דוגמה נוספת - מקבילים או אותו ישר

השוובין m y = - 3 x + 4 / m ו - m y = - 3 x - 2 / m .האםהםמקבילים, נחתכיםאואותוישר ?

מזהים את השיפוע הראשון.
$m_{1} = - 3$
מזהים את השיפוע השני.
$m_{2} = - 3$
השיפועים שווים, אבל האיברים החופשיים שונים.
$4 \neq = - 2$
לכן אלה ישרים מקבילים שונים.
$m_{1} = m_{2}, b_{1} \neq = b_{2}$

תשובה:

הישריםמקביליםואינםאותוישר.

מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגיל

תרגול - מסווגים כיוון

סווגו את הפונקציה $y = - 4 x + 1$ .

m = - 4

תרגיל

תרגול - זוגות מקבילים

איזה זוג ישרים מקביל: $y = 5 x + 1$ ו- $y = 5 x - 8$ , או $y = 5 x + 1$ ו- $y = - 5 x + 1$ ?

m_{1} = m_{2}

תרגיל

תרגול אתגר - בוחרים ישר מקביל

איזו פונקציה מקבילה ל- $y = 2 x - 5$ ואינה אותו ישר?

m = 2

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

האם שני ישרים עם אותו $b$ חייבים להיות מקבילים?

איך יודעים אם שני ישרים עם אותו שיפוע הם אותו ישר או מקבילים?

מפת חמשת המקרים של שיפוע

פונקציה קווית יכולה להופיע בחמישה מצבים שונים לפי הסימן והערך של השיפוע. הטבלה הבאה מסכמת את כולם.

חמשת מצבי השיפוע

סימן השיפוע	צורת הישר	מילולית	דוגמה	מתי קורה
$m > 0$ גדול	תלול עולה	פונקציה עולה במהירות	$y = 5 x + 2$	כש- $Δ y$ ו- $Δ x$ חיוביים גדולים
$m > 0$ קטן	מתון עולה	פונקציה עולה לאט	$y = \frac{1}{4} x + 1$	$Δ y /Δ x$ קטן מ- $1$
$m = 0$	אופקי	פונקציה קבועה	$y = 4$	כל הערכים של $y$ שווים
$m < 0$	יורד	פונקציה יורדת	$y = - 2 x + 5$	$Δ y$ שלילי או $Δ x$ שלילי (לא שניהם)
$m$ לא מוגדר	אנכי	אינה פונקציה	$x = 3$	$Δ x = 0$ בנקודות שונות

ישר אנכי אינו פונקציה כי $x$ זהה נותן יותר מערך $y$ אחד.

ארבעה זוגות ישרים - מקבילים או לא?

מקבילים

$y = 2 x + 5$ ו- $y = 2 x - 3$ : שיפועים זהים, איברים חופשיים שונים. מקבילים, לא נחתכים לעולם.

אותו ישר

$y = 2 x + 5$ ו- $2 y = 4 x + 10$ : צמצמו והגעתם לאותה משוואה. ישר אחד.

נחתכים

$y = 2 x + 5$ ו- $y = 3 x + 5$ : שיפועים שונים, אז יש בדיוק נקודת חיתוך אחת. שניהם חותכים את ציר $y$ ב- $5$ , אז שם הם נחתכים.

מקבילים לציר

$y = 4$ ו- $y = - 2$ : שניהם אופקיים, מקבילים זה לזה ולציר $x$ .

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזו פונקציה עולה?

$y = 4 x - 1$
$y = - 4 x + 1$
$y = 7$
$y = - x - 2$

2.איזו פונקציה קבועה?

$y = 5$
$y = 5 x$
$y = - 5 x$
$y = x + 5$

3.איזה זוג ישרים מקביל?

$y = 2 x + 3$ ו- $y = 2 x - 4$
$y = 2 x + 3$ ו- $y = 3 x + 2$
$y = - 2 x + 3$ ו- $y = 2 x + 3$
$y = 3$ ו- $y = 2 x + 3$

4.מה קובע אם פונקציה עולה או יורדת?

סימן השיפוע
האיבר החופשי בלבד
מספר האיברים בנוסחה
שם המשתנה

5.מה נכון אם $m_{1} = m_{2}$ אבל $b_{1} \neq = b_{2}$ ?

הישרים מקבילים
הישרים מתלכדים
הישרים מאונכים
אין פונקציות

6.מה שיפוע הפונקציה $y = - 7 x + 9$ ?

$- 7$
$9$
$7$
$- 9$

7.איזו טעות נפוצה בנושא מקבילות?

להשוות את $b$ במקום את $m$
לחשב שיפוע
לכתוב נוסחה
לבדוק שני ישרים

8.אם שיפוע ישר הוא $0$ , מה אפשר לומר?

הישר אופקי
הישר אנכי
הישר יורד
אין לו נקודות

9.איזה ישר מקביל ל- $y = - 4 x + 7$ ?

$y = - 4 x - 1$
$y = 4 x + 7$
$y = - x + 7$
$y = 7 x - 4$

10.מתי שני ישרים הם אותו ישר?

כאשר גם $m$ וגם $b$ שווים
כאשר רק $m$ שווה
כאשר רק $b$ שווה
כאשר השיפועים נגדיים

11.האם $y = 3 x - 7$ ו- $6 x - 2 y = 4$ מקבילים?

כן, מקבילים
לא, נחתכים
אותו ישר
אי אפשר לדעת

12.מצאו ישר מקביל ל- $y = - 2 x + 5$ שעובר ב- $(3, 1)$ .

$y = - 2 x + 7$
$y = - 2 x - 7$
$y = 2 x - 5$
$y = \frac{1}{2} x + 1$

13.ישר אופקי דרך $(- 4, 9)$ :

$y = 9$
$x = - 4$
$y = - 4$
$x = 9$

14.ישר אנכי דרך $(- 4, 9)$ :

$x = - 4$
$y = - 4$
$y = 9$
$x = 9$

15. $ℓ_{1} : y = 2 x + 5, ℓ_{2} : y = - 2 x + 5$ . איפה הם נחתכים?

ב- $(0, 5)$
מקבילים, לא נחתכים
ב- $(2, 5)$
ב- $(0, 0)$

16.פונקציה $y = - x + 3$ היא:

יורדת
עולה
קבועה
אינה פונקציה

17.האם $y = 2 x$ ו- $y = - x$ מקבילים?

לא, נחתכים בראשית
כן, שניהם דרך הראשית
כן, שניהם $b = 0$
אותו ישר

18.ישר $ℓ_{1} : y = 2 x + 3$ ; ישר $ℓ_{2} : y = 2 x - 5$ . מה היחס?

מקבילים
אותו ישר
נחתכים
אנכיים