סימן השיפוע וישרים מקבילים

הסימן קובע כיוון, שיפועים שווים קובעים מקבילות

פותחים את הרעיון

סימן השיפוע מספר מה קורה לפונקציה כשמתקדמים ימינה. שני ישרים עם אותו שיפוע נעים באותה תלילות, ולכן הם מקבילים אם הם אינם אותו ישר.

לזהות עלייה, ירידה וקבועה לפי

m

להשוות שיפועים של שני ישרים.

להבדיל בין שיפוע לבין איבר חופשי.

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

אותו כיוון, אותו שיפוע

בצורה $y = m x + b$ , המספר $m$ קובע את כיוון הישר.

כאשר $m > 0$ הפונקציה עולה, כאשר $m < 0$ היא יורדת, וכאשר $m = 0$ היא קבועה. ישרים בעלי אותו $m$ ואיבר חופשי שונה הם מקבילים.

$m_{1} = m_{2}$

האיבר החופשי קובע היכן הקו חותך את ציר $y$ , לא את התלילות שלו.

תנאי מקבילות

m_{1} = m_{2}

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לזהות עלייה, ירידה וקבועה לפי $m$ .

$math/002-calculator$

חישוב

להשוות שיפועים של שני ישרים.

$math/020-math book$

פירוש

להבדיל בין שיפוע לבין איבר חופשי.

מסלול עבודה מלא

קוראים סימן

$m > 0$ אומר פונקציה עולה.

$m < 0$ אומר פונקציה יורדת.

$math/002-calculator$

משווים שיפועים

ישרים מקבילים בעלי אותו שיפוע.

האיבר החופשי יכול להיות שונה.

$math/026-reason$

בודקים חיתוך

אם גם $m$ וגם $b$ שווים, זה אותו ישר.

אם רק $m$ שווה, הישרים מקבילים שונים.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

סימן השיפוע ומשמעותו

מצב	דוגמה	משמעות בגרף
$m > 0$	$y = 2 x + 1$	עולה משמאל לימין
$m < 0$	$y = - x + 4$	יורדת משמאל לימין
$m = 0$	$y = 3$	ישר אופקי

* במקבילות משווים רק שיפועים, לא איברים חופשיים.

שלושה סימני שיפוע ושני ישרים מקבילים

דוגמאות שמחברות את הרעיון

עולה

$m > 0$ , כש- $x$ גדל גם $y$ גדל.

יורדת

$m < 0$ , כש- $x$ גדל $y$ קטן.

קבועה

$m = 0$ , אין שינוי בפלט.

מקבילים

אותו שיפוע ואיבר חופשי אחר.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - בודקים מקבילות

האם הישרים

y = 3 x - 2

ו-

y = 3 x + 7

מקבילים?

דוגמה נוספת - מקבילים או אותו ישר

השוו בין

y = - 3 x + 4

ו-

y = - 3 x - 2

. האם הם מקבילים, נחתכים או אותו ישר?

$math/027-notepad$ מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגול - מסווגים כיוון

בסיסי

סווגו את הפונקציה $y = - 4 x + 1$ .

m = - 4

תרגול - זוגות מקבילים

בינוני

איזה זוג ישרים מקביל: $y = 5 x + 1$ ו- $y = 5 x - 8$ , או $y = 5 x + 1$ ו- $y = - 5 x + 1$ ?

m_{1} = m_{2}

תרגול אתגר - בוחרים ישר מקביל

בינוני

איזו פונקציה מקבילה ל- $y = 2 x - 5$ ואינה אותו ישר?

m = 2

למה הטעות הזאת קורית?

במשוואה יש שני מספרים, ותלמידים רבים משווים את שניהם בלי להבחין בתפקיד. מקבילות תלויה רק בכיוון, ולכן רק בשיפוע.

הדרך המפתה: שני ישרים מקבילים רק אם גם $m$ וגם $b$ שווים.
הדרך הבטוחה: אם $m$ שווה ו- $b$ שונה, אלה ישרים מקבילים שונים.
אותו $m$ קובע אותו כיוון; $b$ רק מזיז את הישר למעלה או למטה.

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

$math/002-calculator$ מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

$math/026-reason$ איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

בדיקת סיום לפני תשובה

מקבילות נבדקת לפי $m$ . חיתוך עם ציר $y$ נבדק לפי $b$ .

בדקו אם התוצאה מתאימה לסימן או לכיוון הגרף.
בדקו יחידות ופירוש מילולי.
הציבו ערך אחד כדי לוודא שהנוסחה או התחום עובדים.

שאלה לחשיבה

האם שני ישרים עם אותו $b$ חייבים להיות מקבילים?

לא. אם יש להם אותו $b$ הם חותכים את ציר $y$ באותה נקודה. כדי להיות מקבילים הם צריכים שיפועים שווים. אם השיפועים שונים, הם יחתכו זה את זה באותה נקודת חיתוך עם ציר $y$ .

שאלה לחשיבה

איך יודעים אם שני ישרים עם אותו שיפוע הם אותו ישר או מקבילים?

בודקים את האיבר החופשי. אם גם $m$ וגם $b$ שווים, זה אותו ישר. אם $m$ שווה אבל $b$ שונה, הישרים מקבילים ולא נפגשים.

$math/026-reason$ בדיקת מוכנות לפני החידון

לפני שעונים, עצרו לרגע ובדקו שהשיטה, הסימן והפירוש המילולי מתאימים לנתונים.

אני מזהה עלייה, ירידה וקבועה לפי סימן השיפוע.
אני קובע מקבילות לפי $m$ , לא לפי $b$ .
אני מבחין בין ישרים מקבילים לבין אותו ישר.

מפת חמשת המקרים של שיפוע

פונקציה קווית יכולה להופיע בחמישה מצבים שונים לפי הסימן והערך של השיפוע. הטבלה הבאה מסכמת את כולם.

חמשת מצבי השיפוע

סימן השיפוע	צורת הישר	מילולית	דוגמה	מתי קורה
$m > 0$ גדול	תלול עולה	פונקציה עולה במהירות	$y = 5 x + 2$	כש- $Δ y$ ו- $Δ x$ חיוביים גדולים
$m > 0$ קטן	מתון עולה	פונקציה עולה לאט	$y = \frac{1}{4} x + 1$	$Δ y /Δ x$ קטן מ- $1$
$m = 0$	אופקי	פונקציה קבועה	$y = 4$	כל הערכים של $y$ שווים
$m < 0$	יורד	פונקציה יורדת	$y = - 2 x + 5$	$Δ y$ שלילי או $Δ x$ שלילי (לא שניהם)
$m$ לא מוגדר	אנכי	אינה פונקציה	$x = 3$	$Δ x = 0$ בנקודות שונות