גרסת הדפסה | החוברת

פונקציה קווית ואי-שוויונות קוויים

מפת רעיונות

קצב

$\frac{Δ y}{Δ x}$ , שינוי בפלט לכל שינוי בקלט.

ייצוגים

סיפור, טבלה, גרף ונוסחה מתארים אותו קשר.

משוואת ישר

$m$ הוא שיפוע, $b$ הוא חיתוך עם ציר $y$ .

חיתוכים

לחיתוך $y$ מציבים $x = 0$ ; לחיתוך $x$ מציבים $y = 0$ .

מודלים

ערך התחלתי וקצב קבוע עם יחידות ותחום סביר.

אי-שוויונות

פתרון הוא תחום, וצריך לזכור היפוך סימן במספר שלילי.

איך בוחרים שיטה?

הנתונים בשאלה	מה מוצאים	שיטה
טבלה עם צעדים שווים	$m$	מחשבים $\frac{Δ y}{Δ x}$
גרף	$m$ ו- $b$	קוראים חיתוך ומדרגות
שתי נקודות	$m$ ואז $b$	נוסחת שיפוע והצבה
סיפור מציאותי	מודל	מזהים ערך התחלתי וקצב
אי-שוויון	תחום	פותרים, מסמנים ובודקים

בכל שיטה חשוב לפרש את התוצאה ולא רק לחשב.

בעיה מסכמת - גרף, משוואה ואי-שוויון

ישרעוברדרך m (0, - 4) / m ו - m (2, 2) / m .מצאומשוואהופתרו m f (x) > 0 / m .

קוראים את האיבר החופשי.
$b = - 4$
מחשבים שיפוע.
$m = \frac{2 - ( - 4 )}{2 - 0} = 3$
כותבים פונקציה.
$f (x) = 3 x - 4$
פותרים חיוביות.
$3 x - 4 > 0 ולכן x > \frac{4}{3}$

תשובה:

m f (x) = 3 x - 4 / m, והיאחיוביתעבור m x > \frac{4}{3} / m .

איזה מושג בפרק מחבר בין טבלה, גרף וסיפור מציאותי?

שתי בעיות מסכמות נוספות

שתי בעיות שמשלבות מספר רעיונות מהפרק - מודל קווי, חיתוכי צירים, אי-שוויון והשוואה בין פונקציות. שווה לפתור אותן בלי רמזים, ואז לבדוק את הדרך.

בעיה מסכמת - תוכניות סלולר

תוכניתא : m 30 + 0.4 x / m ש"חעבור m x / m דקותשיחה.תוכניתב : m 10 + 0.6 x / m ש"ח. (1) באיזותוכניתכדאילבחורעבורשימושקלמתחתל - m 50 / m דקות ? (2) מהינקודתהמפגש ?

מפגש: משווים בין שתי התוכניות.
$30 + 0.4 x = 10 + 0.6 x$
פותרים.
$20 = 0.2 x \Rightarrow x = 100$
בודקים $x = 50$ .
$y_{a} (50) = 50, y_{b} (50) = 40$
המסקנה.
$x < 100 \Rightarrow b זול; x > 100 \Rightarrow a זול$

תשובה:

מפגשב - m (100, 70) / m .עד m 100 / m דקותתוכניתבזולה; מעל - תוכניתא.

בעיה מסכמת - מודל ריקון ותחום שלילי

מכלמיםמתחילב - m 500 / m ליטריםומתרוקןב - m 25 / m ליטריםבשעה. (1) בנומודל. (2) מתיהמכליכיל m 300 / m ליטרים ? (3) מהותחוםערכי m x / m שמתאיםלמציאות ? (4) פתרואתהאי - שוויון m V (x) \leq 100 / m .

מודל.
$V (x) = - 25 x + 500$
פותרים $V = 300$ .
$300 = - 25 x + 500 \Rightarrow x = 8$
תחום מציאותי: עד שהמכל ריק.
$0 \leq x \leq 20$
פותרים $V (x) \leq 100$ .
$- 25 x + 500 \leq 100 \Rightarrow - 25 x \leq - 400 \Rightarrow x \geq 16$
מצרפים תחום מציאותי.
$16 \leq x \leq 20$

תשובה:

(1) m V (x) = - 25 x + 500 / m . (2) אחרי m 8 / m שעות. (3) m 0 \leq x \leq 20 / m . (4) m 16 \leq x \leq 20 / m .

משחק חזרה לפרק

בחרו קטגוריה ורמת קושי. המשחק מערבב חישובים, פירושים וטעויות נפוצות מכל המודולים בפרק.

מפת החלטה מסכמת

במבחן לא כתוב מראש באיזה כלי להשתמש. לכן כדאי לזהות קודם את סוג הנתון, ורק אחר כך לבחור שיטה. מפת ההחלטה הבאה מחברת בין כל המודולים בפרק.

איך בוחרים כלי בפרק 1

נתון גרף

קוראים חיתוך עם ציר $y$ .
בוחרים נקודות סריג ומחשבים שיפוע.

נתונות נקודות

מחשבים $m$ בנוסחת השיפוע.
מציבים נקודה כדי למצוא $b$ .

נתון תחום

מתרגמים לאי-שוויון.
בודקים אם הגבול כלול ואם הסימן התהפך.

תרגיל

תרגול מסכם - משלבים ישר ואי-שוויון

ישר עובר דרך $(0, 6)$ ו- $(3, 0)$ . כתבו פונקציה וקבעו עבור אילו ערכי $x$ היא חיובית.

f (x) = m x + b

שאלון סיום

השאלון בודק אם אפשר להשתמש ברעיונות הפרק בלי רמזים צמודים. ענו לאט, ובדקו כל תשובה בעזרת הצבה או פירוש מילולי.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה שני הרכיבים המרכזיים ב- $y = m x + b$ ?

$m$ הוא קצב ו- $b$ הוא ערך התחלתי
$m$ הוא נקודת אפס ו- $b$ הוא שיפוע
שניהם תמיד חיוביים
שניהם מספרי נקודות בלבד

2.מה הקשר בין קצב השתנות קבוע לגרף?

הנקודות נמצאות על ישר
הגרף תמיד עקום
אין קשר לגרף
הגרף חייב לעבור בראשית

3.ישר עובר ב- $(0, 4)$ ושיפועו $- 2$ . מה משוואתו?

$y = - 2 x + 4$
$y = 4 x - 2$
$y = 2 x + 4$
$y = - 2 x - 4$

4.מה נקודת האפס של $y = 3 x - 12$ ?

$x = 4$
$x = - 4$
$x = 12$
$x = 3$

5.איזה זוג ישרים מקביל?

$y = - x + 2$ ו- $y = - x - 5$
$y = x + 2$ ו- $y = - x + 2$
$y = 2 x + 1$ ו- $y = x + 1$
$y = 3$ ו- $y = 3 x$

6.בפתרון $- 2 x < 8$ , מה חשוב לזכור?

מחלקים במספר שלילי והסימן מתהפך
הסימן נשאר תמיד
אי אפשר לפתור
הפתרון הוא רק $x = 4$

7.מהו תחום החיוביות של $f (x) = 2 x - 6$ ?

$x > 3$
$x < 3$
$x = 3$
$x \leq 3$

8.איזו בדיקה מתאימה למשוואה שנבנתה משתי נקודות?

להציב את שתי הנקודות במשוואה
להחליף את המשתנים
להתעלם מ- $b$
לבדוק רק את הסימן

9.מה מייצג השיפוע במודל מציאותי?

קצב שינוי עם יחידות
ערך התחלתי בלבד
נקודת סיום בלבד
שם הציר

10.למה אי-שוויון אינו מסתיים בדרך כלל במספר יחיד?

כי הוא מתאר תחום פתרונות
כי אין לו פתרונות
כי כל תשובה שגויה
כי אסור להשתמש בציר

11.בטבלה $(0, 1), (2, 5), (4, 9)$ . מה הקצב?

12.מה נכון על חיתוך עם ציר $y$ ?

מציבים $x = 0$
מציבים $y = 0$
תמיד אין חיתוך
מחפשים את השיפוע

13.ישר עובר דרך $(0, 6)$ ו- $(3, 0)$ . מה הפונקציה?

$f (x) = - 2 x + 6$
$f (x) = 2 x + 6$
$f (x) = - 3 x + 6$
$f (x) = 6 x - 2$

14.עבור $f (x) = - 2 x + 6$ , מתי הפונקציה חיובית?

$x < 3$
$x > 3$
$x = 3$
$x < 6$

15.מה הנתון החשוב ביותר לבניית משוואה מתוך גרף?

נקודות מדויקות וחיתוך עם ציר $y$
צבע הקו
מספר המשבצות הכולל
רק נקודה אחת בלי שיפוע

16.מה ההבדל בין נקודת אפס לבין תחום חיוביות?

נקודת אפס היא גבול, תחום חיוביות הוא כל הערכים שבהם $y > 0$
אין הבדל
תחום חיוביות הוא רק $x = 0$
נקודת אפס תמיד שלילית

17.מתי שני ישרים מקבילים שונים?

כאשר $m$ שווה ו- $b$ שונה
כאשר $b$ שווה ו- $m$ שונה
כאשר שני המספרים שווים
כאשר השיפועים נגדיים

18.מדוע במודל מציאותי צריך לבדוק תחום?

כי המשתנים מייצגים כמויות שאולי מוגבלות בסיפור
כי כל פונקציה קווית מוגדרת רק לערכים חיוביים
כי אי אפשר לחשב שיפוע
כי $b$ תמיד שלילי