גרסת הדפסה | החוברת

כאשר הכפלה בגורם אחד מכפילה גם את הגודל השני

פותחים את הרעיון

ביחס ישר שני גדלים גדלים או קטנים באותו גורם. המנה ביניהם קבועה, והגרף שלהם הוא קו ישר שעובר בראשית הצירים.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

מנה קבועה וגרף דרך הראשית

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

מנה קבועה וגרף דרך הראשית

אם כל מחברת עולה $4$ שקלים, המחיר הכולל הוא $y = 4 x$ . לכל מספר מחברות, היחס $\frac{y}{x}$ שווה $4$ .

y = k x, \frac{y}{x} = k

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

יחס ישר

y = k x (k > 0)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מנה קבועה

בודקים ש- $\frac{y}{x}$ זהה בכל שורה בטבלה.

עובר בראשית

כאשר $x = 0$ , גם $y = 0$ .

כפל באותו גורם

אם $x$ מוכפל פי $3$ , גם $y$ מוכפל פי $3$ .

לא כל ישר

קו ישר עם איבר חופשי שאינו $0$ אינו יחס ישר.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

בודקים מנה

אותו $k$

מחשבים $y \div x$ בכל זוג נתונים.
אם כל המנות שוות, יש קבוע יחס.

בודקים ראשית

$(0, 0)$

יחס ישר מתחיל מאפס.
תוספת קבועה שוברת את היחס הישר.

כותבים נוסחה

$y = k x$

קבוע היחס הוא $k$ .
הנוסחה מתארת כל זוג מתאים.

טבלת יחס ישר

$x$	$y$	$\frac{y}{x}$
$1$	$4$	$4$
$3$	$12$	$4$
$5$	$20$	$4$

אותה מנה בכל שורה מצביעה על יחס ישר עם $k = 4$ .

גרף של $y = 4 x$

דוגמה - מחיר מחברות

מחברתאחתעולה m 4 / m שקלים.כתבונוסחהלמחיר m y / m של m x / m מחברותובדקואםזהיחסישר.

כל מחברת מוסיפה $4$ שקלים.
$y = 4 x$
המנה קבועה.
$\frac{y}{x} = 4$
כאשר אין מחברות, אין תשלום.
$x = 0, y = 0$

תשובה:

m y = 4 x / m, יחסישרעם m k = 4 / m

יחס ישר הוא קו שעובר דרך הראשית

יחס ישר הוא קשר שבו המנה בין שני הגדלים קבועה, ולכן הנוסחה היא

y = k x

. אם יש תוספת קבועה, הקשר יכול להיות קווי, אבל הוא כבר לא יחס ישר.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מנה קבועה

בטבלה $(2, 10), (4, 20), (6, 30)$ , המנה $\frac{y}{x} = 5$ בכל שורה.

לא כל קו ישר

$y = 5 x + 2$ הוא קו ישר, אבל כאשר $x = 0$ מקבלים $y = 2$ , ולכן אינו יחס ישר.

ניבוי

אם $y = 7 x$ , הכפלת $x$ פי $3$ מכפילה גם את $y$ פי $3$ .

דוגמה נוספת - הדפסות

כלהדפסהעולה m 0.5 / m ש״ח.כתבונוסחהלמחיר m y / m עבור m x / m הדפסותובדקואםזהיחסישר.

המחיר לכל הדפסה הוא קבוע היחס.
$k = 0.5$
כותבים נוסחה ללא איבר חופשי.
$y = 0.5 x$
בודקים נקודת ראשית.
$x = 0 \Rightarrow y = 0$

תשובה:

m y = 0.5 x / m, וזהיחסישר

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

כל פונקציה קווית היא יחס ישר

לא. צריך לעבור בראשית.

$y = 3 x + 1$ אינו יחס ישר.

בודקים רק הפרשים

הפרשים קבועים מזהים קו ישר, אבל יחס ישר דורש גם מנה קבועה ונקודת ראשית.

$y = 4 x + 2$ ייתן הפרשים קבועים אך לא מנה קבועה.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

זיהוי יחס ישר משלוש דרכים

יש שלוש דרכים בלתי תלויות לזהות יחס ישר: דרך טבלה, דרך גרף, ודרך נוסחה. נחקור כל אחת בנפרד.

סימני זיהוי

דרך טבלה

מחשבים $\frac{y}{x}$ בכל שורה. אם המנה זהה בכל השורות (וגם $x = 0$ מתאים ל- $y = 0$ ), זה יחס ישר.

דרך גרף

הגרף הוא קו ישר שעובר בראשית הצירים ( $(0, 0)) .$

דרך נוסחה

הנוסחה היא $y = k x$ ללא איבר חופשי. כל איבר חופשי שונה מ- $0$ פוסל יחס ישר.

האם זה יחס ישר?

טבלה / נוסחה	מנה קבועה?	עובר בראשית?	המסקנה
$y = 3 x$	כן ( $k = 3)$	כן	יחס ישר
$y = 2 x + 5$	לא	לא ( $(0, 5))$	אינו יחס ישר
$(1, 2), (2, 4), (3, 6)$	כן ( $\frac{y}{x} = 2)$	כן	יחס ישר
$(1, 3), (2, 5), (3, 7)$	לא	לא	אינו יחס ישר
$y = \frac{x}{4}$	כן ( $k = \frac{1}{4})$	כן	יחס ישר
$y = x^{2}$	לא ( $\frac{y}{x} = x)$	כן	אינו יחס ישר (לא קווי)

כל שלושת התנאים חייבים להתקיים יחד.

המשמעות של $k$ - קבוע הפרופורציונליות

המספר $k$ ביחס ישר $y = k x$ הוא יותר ממספר - הוא מתאר את הקצב.

k = \frac{y}{x}

ב- $k > 0$ שני המשתנים גדלים יחד. ב- $k < 0$ כשאחד גדל, השני יורד (אבל זה עדיין יחס ישר במובן הרחב).

יחס ישר במציאות

קצב מילוי

ברז ממלא $3$ ליטר בדקה. $y = 3 x$ , $y$ = ליטרים, $x$ = דקות. $k = 3$ .

מהירות קבועה

$d = v t$ כש- $v$ קבוע. למשל $d = 80 t$ זה $80$ ק״מ/ש.

מחיר ליחידה

$1$ ק״ג עגבניות = $6$ ש״ח. $y = 6 x$ עבור $x$ ק״ג.

המרה בין יחידות

$1$ מטר = $100$ סנטימטר. $y = 100 x$ .

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזו נוסחה מתארת יחס ישר?

$y = 5 x$
$y = 5 x + 2$
$y = x - 5$
$y = \frac{5}{x}$

2.בטבלה $(2, 10), (4, 20), (6, 30)$ , מה קבוע היחס?

$5$
$2$
$10$
$30$

3.מה חייב לקרות בגרף של יחס ישר?

הגרף עובר בראשית הצירים
הגרף יורד תמיד
הגרף עקום
הגרף חותך את ציר $y$ ב-5

4.האם $y = 2 x + 1$ יחס ישר?

לא
כן
רק אם $x$ זוגי
רק בנקודות שלמות

5.אם $y = 7 x$ , מה ערך $y$ עבור $x = 3$ ?

$21$
$10$
$7$
$4$

6.בטבלת יחס ישר, אם $x$ מוכפל פי $4$ , מה קורה ל- $y$ ?

גם $y$ מוכפל פי $4$
$y$ מתחלק פי $4$
$y$ לא משתנה
מוסיפים $4$

7.איזו טבלה מתארת יחס ישר?

$(1, 3), (2, 6), (4, 12)$
$(1, 4), (2, 7), (3, 10)$
$(0, 2), (1, 5), (2, 8)$
$(1, 5), (2, 9), (3, 13)$

8.מדוע $y = 4 x + 5$ אינו יחס ישר?

כי יש איבר חופשי
כי השיפוע חיובי
כי $4$ זוגי
כי זה קו ישר

9.אם $y = 6 x$ , מה קורה ל- $y$ כאשר $x$ מוכפל פי $5$ ?

גם $y$ מוכפל פי $5$
$y$ מתחלק פי $5$
מוסיפים $5$
$y$ לא משתנה

10.מהו קבוע היחס אם $(x, y) = (8, 56)$ ?

$7$
$48$
$64$
$\frac{1}{7}$

11.איזו מהבאות היא יחס ישר?

$y = 4 x$
$y = 4 x + 1$
$y = \frac{4}{x}$
$y = x^{2}$

12.ביחס ישר $y = 3 x$ , כש- $x = 7$ מקבלים...

$y = 21$
$y = 10$
$y = 4$
$y = 3$

13.מהי המנה הקבועה $\frac{y}{x}$ עבור הזוגות $(3, 12), (5, 20)$ ?

$4$
$5$
$\frac{1}{4}$
$12$

14.בגרף של יחס ישר, הקו...

עובר בנקודת הראשית $(0, 0)$
חותך את ציר ה- $y$ מעל ל- $0$
הוא היפרבולה
הוא פרבולה

15.טבלה: $(2, 8), (3, 12), (4, 16)$ . מה הנוסחה?

$y = 4 x$
$y = 2 x + 4$
$y = 4 x + 1$
$y = x + 6$

16.כש- $k > 0$ ביחס ישר $y = k x$ , ככל ש- $x$ גדל...

$y$ גדל באותו פקטור
$y$ יורד
$y$ קבוע
תלוי ב- $k$

פותחים את הרעיון

מנה קבועה וגרף דרך הראשית

מנה קבועה וגרף דרך הראשית

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מנה קבועה

עובר בראשית

כפל באותו גורם

לא כל ישר

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

בודקים מנה

בודקים ראשית

כותבים נוסחה

טבלת יחס ישר

גרף של y=4x

דוגמה - מחיר מחברות

יחס ישר הוא קו שעובר דרך הראשית

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מנה קבועה

לא כל קו ישר

ניבוי

דוגמה נוספת - הדפסות

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

כל פונקציה קווית היא יחס ישר

בודקים רק הפרשים

זיהוי יחס ישר משלוש דרכים

סימני זיהוי

דרך טבלה

דרך גרף

דרך נוסחה

האם זה יחס ישר?

המשמעות של k - קבוע הפרופורציונליות

יחס ישר במציאות

קצב מילוי

מהירות קבועה

מחיר ליחידה

המרה בין יחידות

גרף של $y = 4 x$

המשמעות של $k$ - קבוע הפרופורציונליות