יחס ישר

כאשר הכפלה בגורם אחד מכפילה גם את הגודל השני

פותחים את הרעיון

ביחס ישר שני גדלים גדלים או קטנים באותו גורם. המנה ביניהם קבועה, והגרף שלהם הוא קו ישר שעובר בראשית הצירים.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

טוען סימולציה...

מנה קבועה וגרף דרך הראשית

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

מנה קבועה וגרף דרך הראשית

אם כל מחברת עולה $4$ שקלים, המחיר הכולל הוא $y = 4 x$ . לכל מספר מחברות, היחס $\frac{y}{x}$ שווה $4$ .

לא כל פונקציה קווית היא יחס ישר. למשל $y = 4 x + 2$ היא קו ישר, אבל כאשר $x = 0$ מקבלים $y = 2$ , ולכן הגרף אינו עובר בראשית.

$y = k x, \frac{y}{x} = k$

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

יחס ישר

y = k x (k > 0)

(9)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מנה קבועה

בודקים ש- $\frac{y}{x}$ זהה בכל שורה בטבלה.

עובר בראשית

כאשר $x = 0$ , גם $y = 0$ .

כפל באותו גורם

אם $x$ מוכפל פי $3$ , גם $y$ מוכפל פי $3$ .

לא כל ישר

קו ישר עם איבר חופשי שאינו $0$ אינו יחס ישר.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

בודקים מנה

אותו $k$

מחשבים $y \div x$ בכל זוג נתונים.

אם כל המנות שוות, יש קבוע יחס.

בודקים ראשית

$(0, 0)$

יחס ישר מתחיל מאפס.

תוספת קבועה שוברת את היחס הישר.

כותבים נוסחה

$y = k x$

קבוע היחס הוא $k$ .

הנוסחה מתארת כל זוג מתאים.

טבלת יחס ישר

$x$	$y$	$\frac{y}{x}$
$1$	$4$	$4$
$3$	$12$	$4$
$5$	$20$	$4$

* אותה מנה בכל שורה מצביעה על יחס ישר עם $k = 4$ .

גרף של $y = 4 x$

דוגמה - מחיר מחברות

שלב 1 מתוך 3

מחברת אחת עולה

4

שקלים. כתבו נוסחה למחיר

y

של

x

מחברות ובדקו אם זה יחס ישר.

איזו נוסחה מתאימה?

בדיקה לפני שממשיכים

בכל טבלה של יחס ישר הוסיפו עמודה קטנה של $y \div x$ . אם העמודה קבועה, מצאתם את $k$ .

בדקו את סדר המילים.
בדקו יחידות.
בדקו שהפעולה מתאימה למשמעות.

יחס ישר הוא קו שעובר דרך הראשית

יחס ישר הוא קשר שבו המנה בין שני הגדלים קבועה, ולכן הנוסחה היא $y = k x$ . אם יש תוספת קבועה, הקשר יכול להיות קווי, אבל הוא כבר לא יחס ישר.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מנה קבועה

בטבלה $(2, 10), (4, 20), (6, 30)$ , המנה $\frac{y}{x} = 5$ בכל שורה.

לא כל קו ישר

$y = 5 x + 2$ הוא קו ישר, אבל כאשר $x = 0$ מקבלים $y = 2$ , ולכן אינו יחס ישר.

ניבוי

אם $y = 7 x$ , הכפלת $x$ פי $3$ מכפילה גם את $y$ פי $3$ .

דוגמה נוספת - הדפסות

שלב 1 מתוך 3

כל הדפסה עולה

0.5

ש״ח. כתבו נוסחה למחיר

y

עבור

x

הדפסות ובדקו אם זה יחס ישר.

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

כל פונקציה קווית היא יחס ישר

לא. צריך לעבור בראשית.

דוגמה: $y = 3 x + 1$ אינו יחס ישר.

בודקים רק הפרשים

הפרשים קבועים מזהים קו ישר, אבל יחס ישר דורש גם מנה קבועה ונקודת ראשית.

דוגמה: $y = 4 x + 2$ ייתן הפרשים קבועים אך לא מנה קבועה.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בדיקת איכות לפתרון

פתרון טוב בפרק יחס כולל גם תשובה מספרית וגם בדיקת משמעות. הרשימה הקצרה הזאת נועדה למנוע טעויות של סדר, יחידות ושלם.

חשבו $\frac{y}{x}$ .
בדקו שהמנה קבועה.
בדקו שהקשר עובר בראשית או שאין איבר חופשי.

זיהוי יחס ישר משלוש דרכים

יש שלוש דרכים בלתי תלויות לזהות יחס ישר: דרך טבלה, דרך גרף, ודרך נוסחה. נחקור כל אחת בנפרד.

סימני זיהוי

דרך טבלה

מחשבים $\frac{y}{x}$ בכל שורה. אם המנה זהה בכל השורות (וגם $x = 0$ מתאים ל- $y = 0$ ), זה יחס ישר.

דרך גרף

הגרף הוא קו ישר שעובר בראשית הצירים ( $(0, 0)) .$

דרך נוסחה

הנוסחה היא $y = k x$ ללא איבר חופשי. כל איבר חופשי שונה מ- $0$ פוסל יחס ישר.

האם זה יחס ישר?

טבלה / נוסחה	מנה קבועה?	עובר בראשית?	המסקנה
$y = 3 x$	כן ( $k = 3)$	כן	יחס ישר
$y = 2 x + 5$	לא	לא ( $(0, 5))$	אינו יחס ישר
$(1, 2), (2, 4), (3, 6)$	כן ( $\frac{y}{x} = 2)$	כן	יחס ישר
$(1, 3), (2, 5), (3, 7)$	לא	לא	אינו יחס ישר
$y = \frac{x}{4}$	כן ( $k = \frac{1}{4})$	כן	יחס ישר
$y = x^{2}$	לא ( $\frac{y}{x} = x)$	כן	אינו יחס ישר (לא קווי)

* כל שלושת התנאים חייבים להתקיים יחד.

המשמעות של $k$ - קבוע הפרופורציונליות

המספר $k$ ביחס ישר $y = k x$ הוא יותר ממספר - הוא מתאר את הקצב.

אם $y = 4 x$ , אז $k = 4$ . זה אומר שעל כל יחידת $x$ , $y$ גדל ב- $4$ . ב $x = 1$ מתקבל $y = 4$ , ב- $x = 2$ מתקבל $y = 8$ . הקבוע מתאר את היחס בין השינויים. ב- $k = 0.5$ , על כל יחידת $x$ , $y$ גדל בחצי. $k$ זה גם השיפוע של הקו בגרף.

$k = \frac{y}{x}$

ב- $k > 0$ שני המשתנים גדלים יחד. ב- $k < 0$ כשאחד גדל, השני יורד (אבל זה עדיין יחס ישר במובן הרחב).

יחס ישר במציאות

קצב מילוי

ברז ממלא $3$ ליטר בדקה. $y = 3 x$ , $y$ = ליטרים, $x$ = דקות. $k = 3$ .

מהירות קבועה

$d = v t$ כש- $v$ קבוע. למשל $d = 80 t$ זה $80$ ק״מ/ש.

מחיר ליחידה

$1$ ק״ג עגבניות = $6$ ש״ח. $y = 6 x$ עבור $x$ ק״ג.

המרה בין יחידות

$1$ מטר = $100$ סנטימטר. $y = 100 x$ .

תנאי הזהב של יחס ישר

המנה $\frac{y}{x}$ קבועה לכל זוג ( $x, y) .$
הגרף הוא קו ישר.
הקו עובר בראשית הצירים: $(0, 0)$ .
הנוסחה היא $y = k x$ בלי איבר חופשי.
כל שלושת התנאים חייבים להתקיים יחד.

יחס ישר: $y = k x$ , $k \neq = 0$ .
$k = \frac{y}{x}$ - קבוע הפרופורציונליות, גם השיפוע.
מנה קבועה בכל הזוגות.
גרף קווי שעובר בראשית.
מתאים לקצב קבוע, מהירות קבועה, מחיר ליחידה.

התקדמות בפרק

במודול הבא נחקור יחס הפוך - מצב שבו כש- $x$ גדל, $y$ יורד, ולא רק במספר אחד אלא ביחס מסוים. נראה שזה רעיון שונה לחלוטין.

שאלה 1 מתוך 16

כש- $k > 0$ ביחס ישר $y = k x$ , ככל ש- $x$ גדל...

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של יחס ישר כבר מוכן.

פתחו תרגול

יחס ישר

פותחים את הרעיון

מנה קבועה וגרף דרך הראשית

מנה קבועה וגרף דרך הראשית

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מנה קבועה

עובר בראשית

כפל באותו גורם

לא כל ישר

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

בודקים מנה

בודקים ראשית

כותבים נוסחה

טבלת יחס ישר

דוגמה - מחיר מחברות

בדיקה לפני שממשיכים

יחס ישר הוא קו שעובר דרך הראשית

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מנה קבועה

לא כל קו ישר

ניבוי

דוגמה נוספת - הדפסות

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

כל פונקציה קווית היא יחס ישר

בודקים רק הפרשים

בדיקת איכות לפתרון

זיהוי יחס ישר משלוש דרכים

סימני זיהוי

דרך טבלה

דרך גרף

דרך נוסחה

האם זה יחס ישר?

המשמעות של k - קבוע הפרופורציונליות

יחס ישר במציאות

קצב מילוי

מהירות קבועה

מחיר ליחידה

המרה בין יחידות

תנאי הזהב של יחס ישר

התקדמות בפרק

כש-k>0 ביחס ישר y=kx, ככל ש-x גדל...

יחס ישר

מעבר לדף התרגול של המודול

המשמעות של $k$ - קבוע הפרופורציונליות

כש- $k > 0$ ביחס ישר $y = k x$ , ככל ש- $x$ גדל...