גרסת הדפסה | החוברת

מחלקים שלם לפי יחידות יחס

פותחים את הרעיון

בחלוקה ביחס נתון לא מתחילים בחלוקה לשני חלקים שווים. קודם מבינים כמה יחידות יחס יש בסך הכול, ואז מוצאים את הערך של יחידת יחס אחת.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

יחידת יחס אחת היא המפתח

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

יחידת יחס אחת היא המפתח

בחלוקה של $120$ שקלים ביחס $2 : 3$ , יש $5$ יחידות יחס. כל יחידה שווה $120 \div 5 = 24$ שקלים.

יחידת יחס = \frac{שלם}{סכום חלקי היחס}

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

תמונה הממחישה חלוקת סכום כסף ביחס נתון בעזרת מעטפות ויחידות יחס — חלוקה ביחס נתון מתחילה ממציאת יחידת יחס אחת, ורק אחר כך מחשבים כל חלק.

יחידת יחס

יחידת יחס = \frac{T}{a + b}

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מחברים חלקים

ביחס $2 : 3$ יש $5$ יחידות יחס.

מוצאים יחידה

מחלקים את השלם במספר יחידות היחס.

מכפילים חלקים

כל חלק שווה מספר יחידות כפול ערך יחידה אחת.

בודקים סכום

החלקים שמצאנו צריכים להסתכם בשלם המקורי.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

סכום יחידות

כמה חלקים יש

מחברים את כל מספרי היחס.
הסכום הוא מספר יחידות היחס בשלם.

יחידת יחס

ערך חלק אחד

מחלקים את הכמות הכוללת בסכום היחידות.
מקבלים כמה שווה יחידה אחת.

כל חלק

מכפילים

מכפילים כל מספר ביחס בערך היחידה.
בודקים שהסכום חזר לשלם.

תבנית פתרון לחלוקה ביחס

שלם	יחס	חלקים
$100$	$2 : 3$	$40, 60$
$84$	$5 : 2$	$60, 24$
$96$	$1 : 3$	$24, 72$

בכל שורה סכום החלקים שווה לשלם.

דוגמה - חלוקת פרס

חלקו m 150 / m שקליםביחס m 2 : 3 / m .

מחברים את חלקי היחס.
$2 + 3 = 5$
מוצאים יחידת יחס אחת.
$150 \div 5 = 30$
מחשבים את שני החלקים.
$2 \cdot 30 = 60, 3 \cdot 30 = 90$

תשובה:

m 60 / m שקליםו - m 90 / m שקלים

חלוקה ביחס היא חלוקה ליחידות שוות

בחלוקה ביחס לא מחלקים את השלם באחד המספרים של היחס. קודם מחשבים כמה יחידות יחס יש יחד, ואז מוצאים כמה שווה יחידת יחס אחת.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

שני חלקים

מחלקים $90$ ביחס $2 : 3$ : יש $5$ יחידות, יחידה אחת $18$ , החלקים $36$ ו- $54$ .

בדיקת סכום

$36 + 54 = 90$ . בלי בדיקת סכום קשה לתפוס טעות חישוב.

כאשר חלק אחד נתון

אם יחס הוא $4 : 7$ והחלק הראשון $28$ , יחידה אחת היא $7$ , והשני $49$ .

דוגמה נוספת - תקציב כיתה

מחלקים m 1200 / m ש״חלפעילותולציודביחס m 5 : 3 / m .כמהיקבלכלסעיף ?

מחברים את יחידות היחס.
$5 + 3 = 8$
מוצאים יחידת יחס אחת.
$1200 \div 8 = 150$
מכפילים לפי כל חלק.
$5 \cdot 150 = 750, 3 \cdot 150 = 450$

תשובה:

פעילות m 750 / m ש״ח, ציוד m 450 / m ש״ח

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

מחלקים את השלם בשני המספרים

לא. מחלקים בסכום יחידות היחס.

$100$ ביחס $2 : 3$ מתחיל מ- $100 \div 5$ , לא מ- $100 \div 2$ .

החלק הגדול הוא תמיד רוב מוחלט

הוא גדול יותר, אבל צריך לחשב לפי היחידות.

ב- $1 : 2$ , החלק הגדול הוא $\frac{2}{3}$ מהשלם.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

אסטרטגיית חלוקה משופרת

כדי לחלק שלם לפי יחס בצורה מהירה ובטוחה, נשתמש בתהליך של ארבעה צעדים שאפשר ליישם על כל בעיה.

ארבעת הצעדים לחלוקה

צעד 1: סכום יחידות

מחברים את כל החלקים

ביחס $a : b$ סכום הוא $a + b$ .
ביחס $a : b : c$ סכום הוא $a + b + c$ .
זה מספר היחידות הכולל.

צעד 2: ערך יחידה

מחלקים את השלם

ערך יחידה = שלם / סכום יחידות.
זה כמה כל יחידה שווה.
אם החילוק לא יפה, התשובה לא תהיה שלמה.

צעד 3: חישוב חלקים

מכפילים יחידות בערך

חלק ראשון: $a \cdot ערך יחידה$ .
חלק שני: $b \cdot ערך יחידה$ .
וכן הלאה.

צעד 4: בדיקה

סכום החלקים = שלם

מסכמים את כל החלקים שחישבנו.
הסכום חייב להיות בדיוק השלם המקורי.
אם לא - יש טעות.

חלוקה ביחס במציאות

איפה נפגוש חלוקה לפי יחס

חלוקת רווחים בעסק

שלושה שותפים בעסק, השקעו ביחס $2 : 3 : 5$ . רווח של $50, 000$ ש״ח מתחלק לפי יחס ההשקעה.

מתכון לכמות שונה

מתכון ל- $500$ ג' חלה: $300$ ג' קמח, $200$ ג' מים. ל- $1500$ ג' מכפילים פי $3$ .

חלוקת ירושה

ירושה של $600, 000$ ש״ח מחולקת בין שלושה אחים ביחס $3 : 2 : 1$ לפי הצוואה.

חלוקת עבודה

פרויקט של $120$ שעות מחולק בין שלושה צוותים ביחס $4 : 3 : 5$ לפי גודלם.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי יחידת יחס בחלוקת $120$ ביחס $2 : 3$ ?

$24$
$40$
$60$
$5$

2.חלקו $80$ ביחס $1 : 4$ .

$16$ ו- $64$
$40$ ו- $40$
$20$ ו- $60$
$1$ ו- $4$

3.מה בודקים בסוף חלוקה ביחס?

שהחלקים מסתכמים לשלם ושומרים יחס
רק שהמספרים שלמים
רק שהחלק הראשון גדול
שאין שברים

4.ביחס $4 : 5$ וסכום $72$ , יחידת יחס היא...

$8$
$9$
$72$
$4$

5.אם שני חלקים הם $18$ ו- $30$ , מה היחס המצומצם?

$3 : 5$
$5 : 3$
$18 : 48$
$2 : 3$

6.מהי הטעות בחלוקת $90$ ביחס $2 : 7$ ל- $45$ ו- $45$ ?

חילקו לשני חלקים שווים במקום לפי היחס
לא חיברו יחידות
הפכו יחידות אורך
שכחו יחידות שקל

7.חלקו $70$ ביחס $2 : 5$ . מה החלק הקטן?

$20$
$10$
$28$
$50$

8.מה הבדיקה האחרונה בחלוקה ביחס?

סכום החלקים שווה לשלם
החלקים שווים
היחס חייב להיות $1 : 1$
המספרים חייבים להיות זוגיים

9.ביחס $4 : 6$ , כמה יחידות יחס יש?

$10$
$6$
$4$
$2$

10.אם $5$ יחידות יחס שוות $45$ , כמה שוות $2$ יחידות?

$18$
$9$
$47$
$90$

11.מחלקים $60$ ביחס $1 : 5$ . החלק הקטן הוא...

$10$
$12$
$50$
$5$

12. $120$ ביחס $3 : 5$ . החלק הגדול הוא...

$75$
$45$
$24$
$40$

13. $144$ ביחס $1 : 2 : 3$ . החלק הגדול הוא...

$72$
$48$
$24$
$36$

14.ביחס $4 : 7$ החלק הקטן הוא $20$ . מה השלם?

$55$
$80$
$35$
$11$

15.מחלקים $50$ ביחס $2 : 3$ . סכום החלקים הוא...

$50$ (זה תמיד השלם)
$5$
$25$
$10$

16.במשולש זוויות ביחס $2 : 3 : 4$ , סכום הזוויות $180°$ . הזווית הקטנה?

$40°$
$60°$
$80°$
$30°$