גרסת הדפסה | החוברת

יחסים שקולים נוצרים בכפל או חילוק של שני החלקים

פותחים את הרעיון

יחס שקול שומר על אותו דגם השוואה. הדרך היחידה לשמור על יחס היא לכפול או לחלק את כל החלקים באותו גורם חיובי.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

כפל וחילוק שומרים יחס

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

כפל וחילוק שומרים יחס

$2 : 3$ , $4 : 6$ ו- $10 : 15$ מתארים אותו יחס, כי בכל פעם שני החלקים הוכפלו באותו גורם.

a : b = k a : k b (k > 0)

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

יחסים שקולים

a : b = k a : k b (k > 0)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מרחיבים

כופלים את שני החלקים באותו גורם: $3 : 5 = 9 : 15$ .

מצמצמים

מחלקים את שני החלקים באותו גורם: $18 : 24 = 3 : 4$ .

בודקים גורם

אם מצד אחד הכפלנו פי $4$ , גם הצד השני צריך להיות כפול $4$ .

לא מוסיפים

המעבר $2 : 3$ ל- $4 : 5$ מוסיף $2$ , אבל אינו שומר על המנה.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

בודקים צמצום

מחלק משותף

מחפשים מחלק משותף לשני החלקים.
מחלקים את שני החלקים באותו מספר.

בודקים הרחבה

גורם כפל

מזהים פי כמה גדל החלק הראשון.
בודקים שגם החלק השני גדל באותו גורם.

מזהים טעות

הוספה שווה

הוספה לשני הצדדים משנה בדרך כלל את היחס.
בודקים באמצעות שברים או כפל בהצלבה.

בדיקת שקילות

יחס ראשון	יחס שני	שקולים?
$2 : 3$	$8 : 12$	כן, כפול $4$
$5 : 7$	$10 : 14$	כן, כפול $2$
$4 : 6$	$6 : 8$	לא, זו הוספה שווה

אפשר לבדוק גם באמצעות שברים או כפל בהצלבה.

דוגמה - האם היחסים שקולים?

בדקואם m 6 : 10 / m ו - m 15 : 25 / m שקולים.

מצמצמים את היחס הראשון.
$6 : 10 = 3 : 5$
מצמצמים את היחס השני.
$15 : 25 = 3 : 5$
שני היחסים מצטמצמים לאותו יחס.
$6 : 10 = 15 : 25$

תשובה:

כן, שניהיחסיםשקולים.

שקילות נשמרת בכפל וחילוק בלבד

שני יחסים שקולים כאשר אפשר לעבור מאחד לשני על ידי אותו גורם כפל או אותו גורם חילוק בשני החלקים. הוספה שווה נראית מפתה, אבל בדרך כלל שוברת את היחס.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

הרחבה

$2 : 3$ מורחב פי $4$ נותן $8 : 12$ . המנה נשארת $\frac{2}{3}$ .

צמצום

$18 : 30$ מצטמצם ב- $6$ ל- $3 : 5$ . שני החלקים עברו אותה פעולה.

הוספה אינה שומרת יחס

$2 : 3$ אינו שקול ל- $4 : 5$ , אף שהוספנו $2$ לשני החלקים.

דוגמה נוספת - השלמת יחס שקול

מצאואתהמספרהחסר : m 6 : 9 = x : 24 / m .

מצמצמים את היחס הראשון כדי לראות את הדגם.
$6 : 9 = 2 : 3$
כדי להגיע מ- $3$ ל- $24$ מכפילים פי $8$ .
$3 \cdot 8 = 24$
מכפילים גם את החלק הראשון פי $8$ .
$2 \cdot 8 = 16$

תשובה:

m x = 16 / m

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

אפשר להוסיף אותו מספר

לא. יחס נשמר בכפל או חילוק של שני החלקים באותו גורם.

$2 : 5$ אינו שקול ל- $4 : 7$ .

אם שני היחסים מצומצמים, הם בהכרח שונים

לא. לפעמים שני יחסים שונים מצטמצמים לאותו יחס.

$12 : 18$ ו- $20 : 30$ שניהם $2 : 3$ .

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בנייה שיטתית של יחסים שקולים

כדי להבין יחסים שקולים בעומק, נבנה טבלאות שמראות את אותו יחס במספרים שונים. בכל שורה הגורם הכפלי משתנה, אבל המנה נשארת קבועה.

יחסים שקולים ל- $2 : 3$

גורם	צורה מורחבת	מנה כשבר	מנה עשרונית
$\times 1$	$2 : 3$	$\frac{2}{3}$	$\approx 0.667$
$\times 2$	$4 : 6$	$\frac{4}{6}$	$\approx 0.667$
$\times 5$	$10 : 15$	$\frac{10}{15}$	$\approx 0.667$
$\times 10$	$20 : 30$	$\frac{20}{30}$	$\approx 0.667$
$\times 100$	$200 : 300$	$\frac{200}{300}$	$\approx 0.667$

כל הצורות מייצגות אותו יחס. המנה היא $\frac{2}{3} \approx 0.667$ .

תכונת המנה הקבועה

כל היחסים השקולים שווים את אותה מנה.

a_{1} : b_{1} \sim a_{2} : b_{2} ⟺ \frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}

הבדיקה הקלה: מצמצמים את שני היחסים לצורה מצומצמת ומשווים.

שימוש ביחסים שקולים בחיים האמיתיים

יחסים שקולים מאפשרים להגדיל או להקטין מתכון, מבנה או תכנית בלי לאבד את היחס המקורי. זה הרעיון מאחורי קני מידה, מתכוני בישול ועיצוב גרפי.

איפה יחסים שקולים מצילים אותנו

הגדלת מתכון

מתכון ל- $4$ סועדים: $2$ כוסות קמח על $1$ כוס סוכר. ל- $12$ סועדים מכפילים פי $3$ : $6$ כוסות קמח על $3$ כוסות סוכר. היחס $2 : 1$ נשמר.

הקטנת תכנית בנייה

אדריכל מצייר חדר $5$ מטר על $3$ מטר בקנה $1 : 50$ : $10$ ס״מ על $6$ ס״מ. היחס נשמר באמצעות הצמצום.

מסכים שונים

פרופורציה של מסך $16 : 9$ : $1920 \times 1080$ , $1280 \times 720$ , $640 \times 360$ . כל המסכים שומרים על היחס.

צילום ועריכה

תמונה $3000 \times 2000$ פיקסלים שמתקטנת ל- $600 \times 400$ . היחס $3 : 2$ נשמר. אם היחס משתנה, התמונה תיראה מעוותת.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזה יחס שקול ל- $3 : 5$ ?

$12 : 20$
$6 : 8$
$9 : 10$
$5 : 3$

2.מה היחס המצומצם של $18 : 30$ ?

$3 : 5$
$6 : 10$
$9 : 15$
$5 : 3$

3.האם $2 : 3$ שקול ל- $4 : 5$ ?

לא
כן, כי הוסיפו $2$
כן, כי המספרים קרובים
אי אפשר לדעת

4.השלימו: $5 : 8 = 15 : ?$

$24$
$18$
$21$
$40$

5.איזו בדיקה מוכיחה שקילות בין $4 : 9$ ו- $8 : 18$ ?

שניהם מצטמצמים ל- $4 : 9$
המספרים זוגיים
הפרש החלקים שווה
הסכום שווה

6.מה אסור לעשות כדי לשמור יחס?

להוסיף אותו מספר לשני החלקים בלי בדיקה
לכפול באותו גורם חיובי
לחלק באותו גורם חיובי
לצמצם במחלק משותף

7.איזה יחס שקול ל- $5 : 8$ ?

$15 : 24$
$10 : 13$
$8 : 5$
$5 : 13$

8.מדוע $2 : 3$ אינו שקול ל- $4 : 5$ ?

כי זו הוספה ולא כפל באותו גורם
כי המספרים גדלו
כי היחס השני גדול יותר
כי אסור לצמצם

9.מצאו $x$ : $3 : 4 = 18 : x$

$24$
$19$
$12$
$21$

10.מהי דרך בטוחה לבדוק שקילות?

לצמצם את שני היחסים או לבדוק גורם כפל
להשוות רק את הסכום
להשוות רק את ההפרש
לבדוק מי גדול יותר

11.אילו יחסים שקולים? $6 : 9$ , $10 : 15$ , $12 : 18$ .

כולם שקולים (כולם $2 : 3)$
רק שני הראשונים
רק השני והשלישי
אף לא אחד

12.השלימו: $5 : 8 = ? : 32$ .

$20$
$10$
$25$
$40$

13.כפל בהצלבה ל- $\frac{x}{6} = \frac{15}{18}$ נותן...

$18 x = 90$ , ולכן $x = 5$
$x = 15$
$x = 6$
$x = 18$

14.האם הוספת $3$ לשני אגפי $2 : 5$ שומרת על שקילות?

לא, מקבלים $5 : 8$ שאינו שקול
כן, תמיד
רק לפעמים
רק לחיבור שלילי

15.מהיחס $3 : 5$ , איזה זוג שקול?

$21 : 35$
$21 : 30$
$5 : 3$
$3 : 7$

16.כמה יחסים שקולים יש ליחס $1 : 2$ ?

אינסוף
שניים
עשרה
רק אחד

פותחים את הרעיון

כפל וחילוק שומרים יחס

כפל וחילוק שומרים יחס

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מרחיבים

מצמצמים

בודקים גורם

לא מוסיפים

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

בודקים צמצום

בודקים הרחבה

מזהים טעות

בדיקת שקילות

דוגמה - האם היחסים שקולים?

שקילות נשמרת בכפל וחילוק בלבד

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

הרחבה

צמצום

הוספה אינה שומרת יחס

דוגמה נוספת - השלמת יחס שקול

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

אפשר להוסיף אותו מספר

אם שני היחסים מצומצמים, הם בהכרח שונים

בנייה שיטתית של יחסים שקולים

יחסים שקולים ל-2:3

תכונת המנה הקבועה

שימוש ביחסים שקולים בחיים האמיתיים

איפה יחסים שקולים מצילים אותנו

הגדלת מתכון

הקטנת תכנית בנייה

מסכים שונים

צילום ועריכה

יחסים שקולים ל- $2 : 3$