צמצום, הרחבה ושינוי יחס

יחסים שקולים נוצרים בכפל או חילוק של שני החלקים

פותחים את הרעיון

יחס שקול שומר על אותו דגם השוואה. הדרך היחידה לשמור על יחס היא לכפול או לחלק את כל החלקים באותו גורם חיובי.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

טוען סימולציה...

כפל וחילוק שומרים יחס

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

כפל וחילוק שומרים יחס

$2 : 3$ , $4 : 6$ ו- $10 : 15$ מתארים אותו יחס, כי בכל פעם שני החלקים הוכפלו באותו גורם.

הוספה של אותו מספר לשני הצדדים אינה שומרת בדרך כלל על היחס. למשל $2 : 3$ אינו שקול ל- $4 : 5$ .

$a : b = k a : k b (k > 0)$

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

יחסים שקולים

a : b = k a : k b (k > 0)

(4)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מרחיבים

כופלים את שני החלקים באותו גורם: $3 : 5 = 9 : 15$ .

מצמצמים

מחלקים את שני החלקים באותו גורם: $18 : 24 = 3 : 4$ .

בודקים גורם

אם מצד אחד הכפלנו פי $4$ , גם הצד השני צריך להיות כפול $4$ .

לא מוסיפים

המעבר $2 : 3$ ל- $4 : 5$ מוסיף $2$ , אבל אינו שומר על המנה.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

בודקים צמצום

מחלק משותף

מחפשים מחלק משותף לשני החלקים.

מחלקים את שני החלקים באותו מספר.

בודקים הרחבה

גורם כפל

מזהים פי כמה גדל החלק הראשון.

בודקים שגם החלק השני גדל באותו גורם.

מזהים טעות

הוספה שווה

הוספה לשני הצדדים משנה בדרך כלל את היחס.

בודקים באמצעות שברים או כפל בהצלבה.

בדיקת שקילות

יחס ראשון	יחס שני	שקולים?
$2 : 3$	$8 : 12$	כן, כפול $4$
$5 : 7$	$10 : 14$	כן, כפול $2$
$4 : 6$	$6 : 8$	לא, זו הוספה שווה

* אפשר לבדוק גם באמצעות שברים או כפל בהצלבה.

דוגמה - האם היחסים שקולים?

שלב 1 מתוך 3

בדקו אם

6 : 10

ו-

15 : 25

שקולים.

בדיקה לפני שממשיכים

אם המילה שקול מופיעה בשאלה, חפשו גורם כפל או חילוק משותף. אם מצאתם רק הוספה, עצרו ובדקו שוב.

בדקו את סדר המילים.
בדקו יחידות.
בדקו שהפעולה מתאימה למשמעות.

שקילות נשמרת בכפל וחילוק בלבד

שני יחסים שקולים כאשר אפשר לעבור מאחד לשני על ידי אותו גורם כפל או אותו גורם חילוק בשני החלקים. הוספה שווה נראית מפתה, אבל בדרך כלל שוברת את היחס.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

הרחבה

$2 : 3$ מורחב פי $4$ נותן $8 : 12$ . המנה נשארת $\frac{2}{3}$ .

צמצום

$18 : 30$ מצטמצם ב- $6$ ל- $3 : 5$ . שני החלקים עברו אותה פעולה.

הוספה אינה שומרת יחס

$2 : 3$ אינו שקול ל- $4 : 5$ , אף שהוספנו $2$ לשני החלקים.

דוגמה נוספת - השלמת יחס שקול

שלב 1 מתוך 3

מצאו את המספר החסר:

6 : 9 = x : 24

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

אפשר להוסיף אותו מספר

לא. יחס נשמר בכפל או חילוק של שני החלקים באותו גורם.

דוגמה: $2 : 5$ אינו שקול ל- $4 : 7$ .

אם שני היחסים מצומצמים, הם בהכרח שונים

לא. לפעמים שני יחסים שונים מצטמצמים לאותו יחס.

דוגמה: $12 : 18$ ו- $20 : 30$ שניהם $2 : 3$ .

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בדיקת איכות לפתרון

פתרון טוב בפרק יחס כולל גם תשובה מספרית וגם בדיקת משמעות. הרשימה הקצרה הזאת נועדה למנוע טעויות של סדר, יחידות ושלם.

חפשו גורם כפל משותף.
צמצמו את שני היחסים להשוואה.
פסלו הוספה או חיסור שווים כפעולת שקילות.

בנייה שיטתית של יחסים שקולים

כדי להבין יחסים שקולים בעומק, נבנה טבלאות שמראות את אותו יחס במספרים שונים. בכל שורה הגורם הכפלי משתנה, אבל המנה נשארת קבועה.

יחסים שקולים ל-{m}2:3{/m}

גורם	צורה מורחבת	מנה כשבר	מנה עשרונית
$\times 1$	$2 : 3$	$\frac{2}{3}$	$\approx 0.667$
$\times 2$	$4 : 6$	$\frac{4}{6}$	$\approx 0.667$
$\times 5$	$10 : 15$	$\frac{10}{15}$	$\approx 0.667$
$\times 10$	$20 : 30$	$\frac{20}{30}$	$\approx 0.667$
$\times 100$	$200 : 300$	$\frac{200}{300}$	$\approx 0.667$

* כל הצורות מייצגות אותו יחס. המנה היא $\frac{2}{3} \approx 0.667$ .

תכונת המנה הקבועה

כל היחסים השקולים שווים את אותה מנה.

אם שני יחסים $a_{1} : b_{1}$ ו- $a_{2} : b_{2}$ שקולים, אז $\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}$ . זה הקריטריון העיקרי לבדיקת שקילות. דרך נוספת היא לראות שמתקיים $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{b _{2}}{b _{1}} = k$ כלומר שניהם הוכפלו באותו גורם $k$ .

$a_{1} : b_{1} \sim a_{2} : b_{2} ⟺ \frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}$

הבדיקה הקלה: מצמצמים את שני היחסים לצורה מצומצמת ומשווים.

שימוש ביחסים שקולים בחיים האמיתיים

יחסים שקולים מאפשרים להגדיל או להקטין מתכון, מבנה או תכנית בלי לאבד את היחס המקורי. זה הרעיון מאחורי קני מידה, מתכוני בישול ועיצוב גרפי.

איפה יחסים שקולים מצילים אותנו

הגדלת מתכון

מתכון ל- $4$ סועדים: $2$ כוסות קמח על $1$ כוס סוכר. ל- $12$ סועדים מכפילים פי $3$ : $6$ כוסות קמח על $3$ כוסות סוכר. היחס $2 : 1$ נשמר.

הקטנת תכנית בנייה

אדריכל מצייר חדר $5$ מטר על $3$ מטר בקנה $1 : 50$ : $10$ ס״מ על $6$ ס״מ. היחס נשמר באמצעות הצמצום.

מסכים שונים

פרופורציה של מסך $16 : 9$ : $1920 \times 1080$ , $1280 \times 720$ , $640 \times 360$ . כל המסכים שומרים על היחס.

צילום ועריכה

תמונה $3000 \times 2000$ פיקסלים שמתקטנת ל- $600 \times 400$ . היחס $3 : 2$ נשמר. אם היחס משתנה, התמונה תיראה מעוותת.

החוק החשוב ביותר

אסור להוסיף או להחסיר את אותו מספר מהמונה והמכנה ולקבל יחס שקול. מותר רק להכפיל או לחלק את שני הצדדים באותו גורם חיובי.

דוגמה לטעות: $2 : 5$ פלוס $3$ לכל אחד נותן $5 : 8$ , אבל $\frac{2}{5} = 0.4$ בעוד $\frac{5}{8} = 0.625$ . אינם שקולים.

שני יחסים שקולים אם המנות שלהם זהות.
$a_{1} : b_{1} \sim a_{2} : b_{2} ⟺ \frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}$ .
אפשר לבדוק בכפל בהצלבה: $a_{1} \cdot b_{2} = a_{2} \cdot b_{1}$ .
הצורה המצומצמת היא נציג קנוני - שני יחסים שקולים יצטמצמו לאותה צורה.
להגדלה או הקטנה - מכפילים את שני הצדדים באותו גורם חיובי.
אסור להוסיף או להחסיר אותו מספר משני האגפים.

התקדמות בפרק

במודול הבא נחקור איך יחסים מתחברים לשלם - יחסי חלק לשלם, ואיך לכתוב חלק מתוך הכלל בעזרת שבר.

שאלה 1 מתוך 16

אילו יחסים שקולים? $6 : 9$ , $10 : 15$ , $12 : 18$ .

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של צמצום, הרחבה ושינוי יחס כבר מוכן.

פתחו תרגול

צמצום, הרחבה ושינוי יחס

פותחים את הרעיון

כפל וחילוק שומרים יחס

כפל וחילוק שומרים יחס

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מרחיבים

מצמצמים

בודקים גורם

לא מוסיפים

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

בודקים צמצום

בודקים הרחבה

מזהים טעות

בדיקת שקילות

דוגמה - האם היחסים שקולים?

בדיקה לפני שממשיכים

שקילות נשמרת בכפל וחילוק בלבד

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

הרחבה

צמצום

הוספה אינה שומרת יחס

דוגמה נוספת - השלמת יחס שקול

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

אפשר להוסיף אותו מספר

אם שני היחסים מצומצמים, הם בהכרח שונים

בדיקת איכות לפתרון

בנייה שיטתית של יחסים שקולים

יחסים שקולים ל-{m}2:3{/m}

תכונת המנה הקבועה

שימוש ביחסים שקולים בחיים האמיתיים

איפה יחסים שקולים מצילים אותנו

הגדלת מתכון

הקטנת תכנית בנייה

מסכים שונים

צילום ועריכה

החוק החשוב ביותר

התקדמות בפרק

אילו יחסים שקולים? 6:9, 10:15, 12:18.