גרסת הדפסה | החוברת

כאשר גדל אחד הגורמים, האחר קטן באותו גורם

פותחים את הרעיון

ביחס הפוך מכפלת שני הגדלים נשמרת. אם מספר עובדים גדל פי $2$ , הזמן לביצוע אותה עבודה קטן פי $2$ , בהנחה שכל העובדים עובדים באותו קצב.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

מכפלה קבועה במקום מנה קבועה

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

מכפלה קבועה במקום מנה קבועה

בדרך קבועה, מהירות וזמן נמצאים ביחס הפוך: $מהירות \cdot זמן = דרך$ .

x y = k, y = \frac{k}{x}

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

יחס הפוך

x y = k ⟺ y = \frac{k}{x}

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מכפלה קבועה

בכל זוג נתונים, $x \cdot y$ נשאר אותו מספר.

גורם הפוך

אם $x$ מוכפל פי $3$ , אז $y$ מתחלק פי $3$ .

בעיות עבודה

יותר עובדים באותו קצב מקצרים את הזמן לאותה עבודה.

לא יחס ישר

המנה אינה קבועה, והגרף אינו קו ישר דרך הראשית.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

בודקים מכפלה

$x y$

מכפילים כל זוג ערכים.
אם המכפלות שוות, זה סימן ליחס הפוך.

משתמשים בגורם

גדל וקטן

כאשר ערך אחד גדל פי גורם, השני קטן באותו גורם.
אותו רעיון עובד גם בכיוון הפוך.

בודקים הקשר

אותה עבודה או דרך

יחס הפוך דורש כמות קבועה כמו עבודה או דרך.
אם הכמות עצמה משתנה, אין מספיק מידע.

טבלת יחס הפוך בעבודה קבועה

עובדים	שעות	מכפלה
$2$	$12$	$24$
$3$	$8$	$24$
$6$	$4$	$24$

המכפלה $24$ מייצגת את כמות העבודה ביחידות עובד-שעה.

גרף של $y = \frac{24}{x}$

דוגמה - עובדים וזמן

m 4 / m עובדיםמסיימיםעבודהב - m 9 / m שעות.כמהשעותיידרשול - m 6 / m עובדיםבאותוקצב ?

מחשבים את כמות העבודה בעובד-שעה.
$4 \cdot 9 = 36$
מחלקים במספר העובדים החדש.
$36 \div 6 = 6$

תשובה:

m 6 / m שעות

ביחס הפוך המכפלה נשמרת

ביחס ישר בודקים מנה קבועה. ביחס הפוך בודקים מכפלה קבועה. כאשר גודל אחד גדל פי מספר מסוים, השני קטן באותו גורם כדי שהמכפלה לא תשתנה.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

עבודה קבועה

אם $3$ עובדים מסיימים ב- $8$ שעות, מכפלת עובדים ושעות היא $24$ . $6$ עובדים יסיימו ב- $4$ שעות.

נסיעה קבועה

לדרך קבועה, מהירות וזמן ביחס הפוך: $v \cdot t = d$ .

לא קו ישר

הגרף של $y = \frac{24}{x}$ יורד ומתעקל. הוא אינו קו ישר ואינו עובר בראשית.

דוגמה נוספת - צוות עבודה

m 4 / m עובדיםמסיימיםמשימהב - m 9 / m שעות.כמהשעותיידרשול - m 6 / m עובדיםבאותוקצב ?

מוצאים את המכפלה הקבועה.
$4 \cdot 9 = 36$
משתמשים במכפלה עבור $6$ עובדים.
$6 \cdot t = 36$
פותרים.
$t = 36 \div 6 = 6$

תשובה:

m 6 / m שעות

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

אם אחד גדל גם השני גדל

זה נכון ביחס ישר, לא ביחס הפוך.

ביחס הפוך אחד גדל והשני קטן כדי לשמור מכפלה.

בודקים מנה גם ביחס הפוך

הבדיקה הנכונה היא מכפלה.

$\frac{y}{x}$ משתנה, אבל $x y$ נשאר קבוע.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

יחס הפוך מול יחס ישר

ההבדל בין יחס ישר ליחס הפוך הוא הקריטי ביותר במודול הזה. נראה השוואה מפורטת שתעזור להבחין ביניהם בכל בעיה.

השוואה מקיפה

מאפיין	יחס ישר	יחס הפוך
נוסחה	$y = k x$	$y = \frac{k}{x}$
מה קבוע?	מנה $\frac{y}{x} = k$	מכפלה $x y = k$
$x$ גדל פי $2$	$y$ גדל פי $2$	$y$ יורד פי $2$
$x$ גדל פי $3$	$y$ גדל פי $3$	$y$ יורד פי $3$
צורת הגרף	קו ישר	היפרבולה
מעבר בראשית?	כן	לא (אינסוף קרוב לצירים)
דוגמה במציאות	מהירות קבועה: $d = v t$ , המרחק תלוי לינארית בזמן	מרחק קבוע: $v \cdot t = d$ , מהירות וזמן ביחס הפוך

ההבדל המהותי: ביחס ישר שני המשתנים גדלים יחד. ביחס הפוך אחד גדל והשני יורד.

מתי יחס הפוך מופיע במציאות?

יחס הפוך מופיע בכל מקום שבו עבודה מתחלקת או משאב מוגבל מתחלק.

n \cdot t = k

זהו יחס הפוך מובהק - יותר אנשים, פחות זמן.

יחס הפוך במציאות

עבודה משותפת

$n$ עובדים גומרים ב- $t$ שעות. $n t =$ סך עבודה (קבוע).

מהירות וזמן בנסיעה

מרחק קבוע $d$ : $v \cdot t = d$ . מהירות גבוהה, זמן קצר.

צריכה ויחידות

סוללה של $1000$ מילי-אמפר-שעה. צריכה של $10$ מילי-אמפר: סוללה ל- $100$ שעות. צריכה של $50$ מילי-אמפר: ל- $20$ שעות. $I \cdot t = Q$ .

לחץ ונפח (חוק בויל)

בגז עם טמפרטורה קבועה: $P V = k$ . כשנפח גדל, לחץ קטן.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה מאפיין יחס הפוך?

מכפלה קבועה
מנה קבועה
סכום קבוע תמיד
גרף עובר בראשית

2.אם $x \cdot y = 24$ ו- $x = 6$ , אז $y = ...$

$4$
$18$
$30$
$144$

3. $3$ עובדים מסיימים עבודה ב- $8$ שעות. כמה שעות ל- $6$ עובדים?

$4$
$16$
$8$
$11$

4.איך בודקים טבלה של יחס הפוך?

מכפילים כל זוג ערכים
מחלקים $y \div x$
מחברים כל שורה
בודקים רק אם הערכים עולים

5.איזו נוסחה מתאימה ליחס הפוך?

$y = \frac{12}{x}$
$y = 12 x$
$y = x + 12$
$y = 12 - x$

6.אם מהירות מוכפלת פי $3$ עבור אותה דרך, הזמן...

מתחלק פי $3$
מוכפל פי $3$
גדל ב- $3$
לא משתנה

7.בטבלה $(2, 12), (3, 8), (6, 4)$ , מה קבוע?

המכפלה $24$
המנה $6$
הסכום $14$
ההפרש $10$

8. $5$ עובדים מסיימים ב- $12$ שעות. כמה שעות ל- $10$ עובדים?

$6$
$24$
$17$
$60$

9.איזו נוסחה מתארת יחס הפוך?

$y = \frac{18}{x}$
$y = 18 x$
$y = x + 18$
$y = 18 - x$

10.מה קורה לזמן כאשר מספר העובדים גדל פי $3$ , באותה עבודה?

הזמן קטן פי $3$
הזמן גדל פי $3$
הזמן לא משתנה
מוסיפים $3$ שעות

11.איזו מהבאות היא יחס הפוך?

$y = \frac{12}{x}$
$y = 12 x$
$y = 12 x + 1$
$y = 12$

12.ביחס הפוך $x y = 24$ , כש- $x = 4$ מקבלים...

$y = 6$
$y = 20$
$y = 4$
$y = 24$

13. $5$ פועלים מסיימים בעבודה ב- $6$ ימים. כמה ימים ל- $10$ פועלים?

$3$
$12$
$1$
$30$

14.מה צורת הגרף של יחס הפוך?

היפרבולה
קו ישר העובר בראשית
פרבולה
מעגל

15.ביחס הפוך, אם $x$ גדל פי $3$ , $y$ ...

יורד פי $3$
גדל פי $3$
נשאר
גדל פי $9$

16.טבלה: $(2, 18), (3, 12), (6, 6)$ . האם זה יחס הפוך?

כן, $x y = 36$
כן, $x y = 18$
לא
רק חלק מהזוגות

פותחים את הרעיון

מכפלה קבועה במקום מנה קבועה

מכפלה קבועה במקום מנה קבועה

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מכפלה קבועה

גורם הפוך

בעיות עבודה

לא יחס ישר

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

בודקים מכפלה

משתמשים בגורם

בודקים הקשר

טבלת יחס הפוך בעבודה קבועה

גרף של y=x24​

דוגמה - עובדים וזמן

ביחס הפוך המכפלה נשמרת

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

עבודה קבועה

נסיעה קבועה

לא קו ישר

דוגמה נוספת - צוות עבודה

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

אם אחד גדל גם השני גדל

בודקים מנה גם ביחס הפוך

יחס הפוך מול יחס ישר

השוואה מקיפה

מתי יחס הפוך מופיע במציאות?

יחס הפוך במציאות

עבודה משותפת

מהירות וזמן בנסיעה

צריכה ויחידות

לחץ ונפח (חוק בויל)

גרף של $y = \frac{24}{x}$