יחס הפוך

כאשר גדל אחד הגורמים, האחר קטן באותו גורם

פותחים את הרעיון

ביחס הפוך מכפלת שני הגדלים נשמרת. אם מספר עובדים גדל פי

2

, הזמן לביצוע אותה עבודה קטן פי

2

, בהנחה שכל העובדים עובדים באותו קצב.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

טוען סימולציה...

מכפלה קבועה במקום מנה קבועה

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

מכפלה קבועה במקום מנה קבועה

בדרך קבועה, מהירות וזמן נמצאים ביחס הפוך: $מהירות \cdot זמן = דרך$ .

ביחס ישר בודקים מנה קבועה. ביחס הפוך בודקים מכפלה קבועה. לכן הטבלה נראית יורדת ולא עוברת בקו ישר דרך הראשית.

$x y = k, y = \frac{k}{x}$

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

יחס הפוך

x y = k ⟺ y = \frac{k}{x}

(11)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

מכפלה קבועה

בכל זוג נתונים, $x \cdot y$ נשאר אותו מספר.

גורם הפוך

אם $x$ מוכפל פי $3$ , אז $y$ מתחלק פי $3$ .

בעיות עבודה

יותר עובדים באותו קצב מקצרים את הזמן לאותה עבודה.

לא יחס ישר

המנה אינה קבועה, והגרף אינו קו ישר דרך הראשית.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

בודקים מכפלה

$x y$

מכפילים כל זוג ערכים.

אם המכפלות שוות, זה סימן ליחס הפוך.

משתמשים בגורם

גדל וקטן

כאשר ערך אחד גדל פי גורם, השני קטן באותו גורם.

אותו רעיון עובד גם בכיוון הפוך.

בודקים הקשר

אותה עבודה או דרך

יחס הפוך דורש כמות קבועה כמו עבודה או דרך.

אם הכמות עצמה משתנה, אין מספיק מידע.

טבלת יחס הפוך בעבודה קבועה

עובדים	שעות	מכפלה
$2$	$12$	$24$
$3$	$8$	$24$
$6$	$4$	$24$

* המכפלה $24$ מייצגת את כמות העבודה ביחידות עובד-שעה.

גרף של $y = \frac{24}{x}$

דוגמה - עובדים וזמן

שלב 1 מתוך 2

4

עובדים מסיימים עבודה ב-

9

שעות. כמה שעות יידרשו ל-

6

עובדים באותו קצב?

בדיקה לפני שממשיכים

ביחס הפוך כתבו את המילה קבוע ליד הכמות שאינה משתנה, למשל אותה עבודה או אותה דרך. זה מונע שימוש לא נכון בנוסחה.

בדקו את סדר המילים.
בדקו יחידות.
בדקו שהפעולה מתאימה למשמעות.

ביחס הפוך המכפלה נשמרת

ביחס ישר בודקים מנה קבועה. ביחס הפוך בודקים מכפלה קבועה. כאשר גודל אחד גדל פי מספר מסוים, השני קטן באותו גורם כדי שהמכפלה לא תשתנה.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

עבודה קבועה

אם $3$ עובדים מסיימים ב- $8$ שעות, מכפלת עובדים ושעות היא $24$ . $6$ עובדים יסיימו ב- $4$ שעות.

נסיעה קבועה

לדרך קבועה, מהירות וזמן ביחס הפוך: $v \cdot t = d$ .

לא קו ישר

הגרף של $y = \frac{24}{x}$ יורד ומתעקל. הוא אינו קו ישר ואינו עובר בראשית.

דוגמה נוספת - צוות עבודה

שלב 1 מתוך 3

4

עובדים מסיימים משימה ב-

9

שעות. כמה שעות יידרשו ל-

6

עובדים באותו קצב?

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

אם אחד גדל גם השני גדל

זה נכון ביחס ישר, לא ביחס הפוך.

דוגמה: ביחס הפוך אחד גדל והשני קטן כדי לשמור מכפלה.

בודקים מנה גם ביחס הפוך

הבדיקה הנכונה היא מכפלה.

דוגמה: $\frac{y}{x}$ משתנה, אבל $x y$ נשאר קבוע.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בדיקת איכות לפתרון

פתרון טוב בפרק יחס כולל גם תשובה מספרית וגם בדיקת משמעות. הרשימה הקצרה הזאת נועדה למנוע טעויות של סדר, יחידות ושלם.

חשבו $x y$ בכמה שורות.
בדקו אם המכפלה קבועה.
זכרו שגדילה באחד גוררת הקטנה בשני.

יחס הפוך מול יחס ישר

ההבדל בין יחס ישר ליחס הפוך הוא הקריטי ביותר במודול הזה. נראה השוואה מפורטת שתעזור להבחין ביניהם בכל בעיה.

השוואה מקיפה

מאפיין	יחס ישר	יחס הפוך
נוסחה	$y = k x$	$y = \frac{k}{x}$
מה קבוע?	מנה $\frac{y}{x} = k$	מכפלה $x y = k$
$x$ גדל פי $2$	$y$ גדל פי $2$	$y$ יורד פי $2$
$x$ גדל פי $3$	$y$ גדל פי $3$	$y$ יורד פי $3$
צורת הגרף	קו ישר	היפרבולה
מעבר בראשית?	כן	לא (אינסוף קרוב לצירים)
דוגמה במציאות	מהירות קבועה: $d = v t$ , המרחק תלוי לינארית בזמן	מרחק קבוע: $v \cdot t = d$ , מהירות וזמן ביחס הפוך

* ההבדל המהותי: ביחס ישר שני המשתנים גדלים יחד. ביחס הפוך אחד גדל והשני יורד.

מתי יחס הפוך מופיע במציאות?

יחס הפוך מופיע בכל מקום שבו עבודה מתחלקת או משאב מוגבל מתחלק.

אם משימה דורשת $120$ שעות עבודה, ואדם אחד יבצע אותה ב- $120$ שעות, אז $2$ אנשים בעבודה משותפת יסיימו ב- $60$ שעות, $3$ אנשים ב- $40$ שעות. במכפלה: $1 \cdot 120 = 2 \cdot 60 = 3 \cdot 40 = 120$ . המכפלה אנשים-שעות נשמרת.