גרסת הדפסה | החוברת

השוואה כפלית בין כמויות לפי סדר קבוע

פותחים את הרעיון

יחס עונה על השאלה כמה יחידות מסוג אחד מתאימות לכמות מסוג אחר. הוא אינו סתם שני מספרים עם נקודתיים, אלא דרך מסודרת להשוות כמויות.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

יחס הוא השוואה כפלית

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

יחס הוא השוואה כפלית

כשאומרים היחס בין תפוחים לאגסים הוא $2 : 3$ , המשמעות היא שעל כל $2$ תפוחים יש $3$ אגסים באותו דגם של השוואה.

a : b = \frac{a}{b}, b \neq = 0

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

תמונה הממחישה את כתיבת היחס לפי סדר הכמויות בעזרת סלסלות פירות — ביחס מסודר, הכמות הראשונה במשפט קובעת את המספר הראשון בכתיבת היחס.

יחס כמנה

a : b = \frac{a}{b}

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

הסדר קובע

היחס $4 : 7$ בין כחולים לאדומים אינו אותו דבר כמו היחס $7 : 4$ בין אדומים לכחולים.

יחס הוא מנה

אפשר לקרוא את היחס גם כשבר: $4 : 7 = \frac{4}{7}$ . לכן צמצום יחס דומה לצמצום שבר.

לא הפרש

הפרש עונה בכמה יותר. יחס עונה פי כמה או כמה לכל כמה. אלו שתי שאלות שונות.

כמויות חיוביות

בפרק זה עובדים עם יחסים בין כמויות חיוביות, ולכן מחלקים בגורם חיובי בלבד.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

קוראים את המשפט

מילה ראשונה, מספר ראשון

מסמנים מי הקבוצה הראשונה ומי השנייה.
כותבים את הכמויות באותו סדר שבו הופיעו במילים.

מצמצמים

אותו גורם לשני החלקים

מחלקים את שני חלקי היחס באותו גורם חיובי.
מפסיקים כאשר אין מחלק משותף גדול מ- $1$ .

בודקים משמעות

לא רק מספרים

שואלים אם היחס המצומצם עדיין מתאר את אותה השוואה.
בודקים שלא החלפנו בטעות בין הקבוצות.

איך משפט הופך ליחס

משפט	יחס לפי הסדר	יחס מצומצם
$8$ עפרונות ו- $12$ עטים	עפרונות:עטים $8 : 12$	$2 : 3$
$15$ תלמידות ו- $10$ תלמידים	תלמידות:תלמידים $15 : 10$	$3 : 2$
$6$ כוסות מים ו- $2$ כוסות תרכיז	מים:תרכיז $6 : 2$	$3 : 1$

הכותרת של היחס חשובה לא פחות מהמספרים עצמם.

דוגמה - סל פירות

בסליש m 12 / m תפוחיםו - m 18 / m אגסים.כתבואתהיחסתפוחיםלאגסיםוצמצמו.

כותבים לפי סדר המילים: תפוחים ואז אגסים.
$12 : 18$
מחלקים את שני החלקים ב- $6$ .
$12 : 18 = 2 : 3$
היחס המצומצם אומר שעל כל $2$ תפוחים יש $3$ אגסים.
$2 : 3$

תשובה:

m 2 : 3 / m

יחס כמשפט מתמטי מלא

כדי שיחס יהיה תשובה מלאה צריך לדעת שלושה דברים: מי הקבוצה הראשונה, מי הקבוצה השנייה, ומהי פעולת ההשוואה. המספרים לבד אינם מספיקים.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מכיתה ליחס

בכיתה יש $14$ תלמידות ו- $21$ תלמידים. היחס תלמידות לתלמידים הוא $14 : 21 = 2 : 3$ . הכותרת נשמרה גם אחרי הצמצום.

אותם מספרים, משמעות אחרת

היחס תלמידים לתלמידות באותה כיתה הוא $21 : 14 = 3 : 2$ . ההחלפה משנה את נקודת המבט, לא רק את הסדר.

יחס מול הפרש

בין $14$ ל- $21$ ההפרש הוא $7$ , אבל היחס הוא $2 : 3$ . הפרש ויחס עונים על שאלות שונות.

דוגמה נוספת - כרטיסי צבע

בקופסהיש m 16 / m כרטיסיםכחוליםו - m 24 / m כרטיסיםאדומים.כתבואתהיחסכחוליםלאדומיםואתהיחסאדומיםלכחולים.

כותבים את היחס הראשון לפי סדר המילים.
$16 : 24$
מצמצמים את שני החלקים ב- $8$ .
$16 : 24 = 2 : 3$
מחליפים סדר רק כאשר השאלה מבקשת את היחס ההפוך.
$24 : 16 = 3 : 2$

תשובה:

כחוליםלאדומים m 2 : 3 / m, אדומיםלכחולים m 3 : 2 / m

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

מספר גדול קודם

לא תמיד. המספר הראשון נקבע לפי המילה הראשונה, גם אם הוא קטן יותר.

$5 : 12$ יכול להיות תשובה נכונה אם שאלו קטנים לגדולים.

יחס הוא הפרש

לא. יחס בודק הכפלה וחלוקה, הפרש בודק חיסור.

$8$ מול $12$ : יחס $2 : 3$ , הפרש $4$ .

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

יחס במציאות - חמישה הקשרים שונים

יחס אינו רק תרגיל בכיתה. הוא מופיע בכל מקום שבו צריך לשמור על תבנית קבועה בין כמויות. בקטע הזה ננתח חמישה הקשרים אמיתיים ונראה שבכולם פועלים אותם כללים.

איפה פוגשים יחס בחיים

מתכון בישול

במתכון לעוגה כתוב $3$ כוסות קמח לכל $2$ כוסות סוכר. היחס $3 : 2$ נשמר גם כאשר מכפילים את המתכון לכל המשפחה.

תערובת צבע

כדי לקבל גוון תכלת מערבבים $1$ חלק כחול עם $4$ חלקים לבן. היחס $1 : 4$ מבטיח שהגוון יישאר זהה גם בכמות גדולה.

מהירות בנסיעה

אוטו שעובר $80$ ק״מ ב- $1$ שעה שומר על יחס $80 : 1$ בין מרחק לזמן. בשעה וחצי הוא יעבור $120$ ק״מ.

צפיפות אוכלוסייה

בעיר נתונה היחס בין כלבים לתושבים הוא $1 : 5$ . אם בעיר $10, 000$ תושבים, יש בה $2, 000$ כלבים.

יחס בכתיבה סימבולית

כאשר עוברים מדוגמאות מספריות לכתיבה כללית, חשוב להבין את הסימנים. הקטע הזה מציג את הכתיבה המתמטית הרשמית של יחס ואת הקשר שלה לשברים, מנות ופרופורציות.

שלוש דרכים לכתוב את אותו יחס

ביחס בין שתי כמויות אפשר להשתמש בשלוש כתיבות שקולות: עם נקודתיים, בצורת שבר ובצורת מנה. כל כתיבה מדגישה היבט אחר.

a : b = \frac{a}{b} = a \div b, b \neq = 0

בבחירת הכתיבה תלמדו להעדיף את הצורה שעוזרת לכם לראות את המבנה - לרוב נקודתיים ביחסים פשוטים, ושבר כשצריך לבצע פעולות.

אותו יחס בכתיבות שונות

במילים	כתיבה עם נקודתיים	כתיבה בצורת שבר	כתיבה כמנה
שלוש על כל ארבע	$3 : 4$	$\frac{3}{4}$	$3 \div 4 = 0.75$
אחד על כל שניים	$1 : 2$	$\frac{1}{2}$	$1 \div 2 = 0.5$
שבע על כל חמש	$7 : 5$	$\frac{7}{5}$	$7 \div 5 = 1.4$

בצורת המנה רואים את גודל היחס: כאשר התוצאה גדולה מ- $1$ , הקבוצה הראשונה גדולה יותר.

צמצום יחס - סוד היציבות

צמצום יחס הוא פעולה שמשמרת את המשמעות בעוד שהמספרים הופכים לקטנים יותר.

a : b = k a : k b, k > 0

ביחס מצומצם המספרים מספרים את אותו סיפור באופן הפשוט ביותר. מסיבה זו תמיד מצופה ממכם לצמצם עד הסוף.

צמצום צעד אחר צעד

צמצום יחס $48 : 36$

שלב $1$ : מחלקים ב- $2$ : $48 : 36 = 24 : 18$ . שלב $2$ : עדיין שניהם זוגיים, מחלקים ב- $2$ : $24 : 18 = 12 : 9$ . שלב $3$ : שניהם מתחלקים ב- $3$ : $12 : 9 = 4 : 3$ . סוף - $g cd (4, 3) = 1$ , היחס המצומצם הוא $4 : 3$ .

צמצום ישיר עם $g cd$

במקום לחלק כמה פעמים, מוצאים את $g cd (48, 36) = 12$ , ומחלקים פעם אחת: $48 \div 12 : 36 \div 12 = 4 : 3$ . אותה תוצאה, פחות צעדים.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה מתאר יחס?

השוואה כפלית מסודרת בין כמויות
הפרש בלבד
סכום הכמויות
רשימת מספרים בלי משמעות

2.בסל יש $6$ עפרונות ו- $9$ עטים. מה היחס עפרונות לעטים?

$2 : 3$
$3 : 2$
$6 : 15$
$15 : 9$

3.מה ההבדל בין יחס להפרש?

יחס משווה בכפל והפרש משווה בחיסור
אין הבדל
יחס תמיד גדול יותר
הפרש חייב להיות שבר

4.איזו כתיבה שקולה ל- $4 : 10$ ?

$2 : 5$
$4 : 6$
$8 : 10$
$10 : 4$

5.למה אסור למחוק את כותרת היחס?

כי בלי הכותרת לא יודעים מה שייך לכל מספר
כי היחס תמיד עם יחידות
כי אסור לצמצם
כי יחס הוא תמיד אחוז

6.היחס $a : b$ ניתן לכתיבה כשבר כאשר...

$b \neq = 0$
$a = 0$ בלבד
$a = b$ בלבד
אין צורך בתנאי

7.באיזה מצב היחס $3 : 5$ מתאר בנות לבנים?

כאשר על כל $3$ בנות יש $5$ בנים
כאשר יש $5$ בנות ו- $3$ בנים
כאשר ההפרש הוא $2$
כאשר השלם הוא $8$ בלבד

8.מה ההבדל בין יחס להפרש?

יחס הוא השוואה כפלית והפרש הוא חיסור
יחס תמיד גדול מהפרש
יחס מודד רק אחוזים
אין הבדל

9.איזו תשובה שומרת על משמעות היחס $12 : 20$ ?

$3 : 5$
$5 : 3$
$12 : 8$
$32 : 20$

10.למה חשוב לכתוב 'כחולים לאדומים' ליד היחס?

כדי לדעת מה מייצג כל מספר
כדי להפוך אותו לאחוז
כדי להימנע מצמצום
כי יחס חייב להכיל יחידות

11.מצמצמו: היחס $45 : 60$ .

$3 : 4$
$9 : 12$
$5 : 6$
$4 : 3$

12.מהו ערך המנה $\frac{a}{b}$ כשהיחס $a : b$ הוא $5 : 8$ ?

$\frac{5}{8} = 0.625$
$\frac{8}{5} = 1.6$
$13$
$3$

13.אילו פעולות שומרות על שוויון יחס?

כפל וחילוק של שני החלקים באותו גורם חיובי
חיבור וחיסור של אותו מספר משני החלקים
החלפת הסדר
כל פעולה אריתמטית

14.במכוורת $\frac{1}{4}$ הם דבורים זכרים. מה היחס בין זכרים לנקבות?

$1 : 3$
$1 : 4$
$3 : 1$
$4 : 3$

15.למה היחס $5 : 0$ אינו מוגדר?

כי המנה דורשת מכנה שונה מאפס
כי $5$ ו- $0$ שונים
כי הסדר חייב להיות שלם
אין סיבה - הוא מוגדר

16.ביחס $3 : 7$ שני החלקים מוכפלים ב- $4$ . מה היחס החדש?

$12 : 28$ , שקול ל- $3 : 7$
$7 : 11$
$3 : 11$
$12 : 7$

פותחים את הרעיון

יחס הוא השוואה כפלית

יחס הוא השוואה כפלית

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

הסדר קובע

יחס הוא מנה

לא הפרש

כמויות חיוביות

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

קוראים את המשפט

מצמצמים

בודקים משמעות

איך משפט הופך ליחס

דוגמה - סל פירות

יחס כמשפט מתמטי מלא

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מכיתה ליחס

אותם מספרים, משמעות אחרת

יחס מול הפרש

דוגמה נוספת - כרטיסי צבע

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

מספר גדול קודם

יחס הוא הפרש

יחס במציאות - חמישה הקשרים שונים

איפה פוגשים יחס בחיים

מתכון בישול

תערובת צבע

מהירות בנסיעה

צפיפות אוכלוסייה

יחס בכתיבה סימבולית

שלוש דרכים לכתוב את אותו יחס

אותו יחס בכתיבות שונות

צמצום יחס - סוד היציבות

צמצום צעד אחר צעד

צמצום יחס 48:36

צמצום ישיר עם gcd

צמצום יחס $48 : 36$

צמצום ישיר עם $g cd$