מהו יחס

השוואה כפלית בין כמויות לפי סדר קבוע

פותחים את הרעיון

יחס עונה על השאלה כמה יחידות מסוג אחד מתאימות לכמות מסוג אחר. הוא אינו סתם שני מספרים עם נקודתיים, אלא דרך מסודרת להשוות כמויות.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

טוען סימולציה...

יחס הוא השוואה כפלית

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

יחס הוא השוואה כפלית

כשאומרים היחס בין תפוחים לאגסים הוא $2 : 3$ , המשמעות היא שעל כל $2$ תפוחים יש $3$ אגסים באותו דגם של השוואה.

יחס שומר על סדר. המספר הראשון שייך למילה הראשונה במשפט, והמספר השני שייך למילה השנייה. אם הופכים את הסדר, משווים דבר אחר.

$a : b = \frac{a}{b}, b \neq = 0$

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

תמונה הממחישה את כתיבת היחס לפי סדר הכמויות בעזרת סלסלות פירות — ביחס מסודר, הכמות הראשונה במשפט קובעת את המספר הראשון בכתיבת היחס.

יחס כמנה

a : b = \frac{a}{b}

(1)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

הסדר קובע

היחס $4 : 7$ בין כחולים לאדומים אינו אותו דבר כמו היחס $7 : 4$ בין אדומים לכחולים.

יחס הוא מנה

אפשר לקרוא את היחס גם כשבר: $4 : 7 = \frac{4}{7}$ . לכן צמצום יחס דומה לצמצום שבר.

לא הפרש

הפרש עונה בכמה יותר. יחס עונה פי כמה או כמה לכל כמה. אלו שתי שאלות שונות.

כמויות חיוביות

בפרק זה עובדים עם יחסים בין כמויות חיוביות, ולכן מחלקים בגורם חיובי בלבד.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

קוראים את המשפט

מילה ראשונה, מספר ראשון

מסמנים מי הקבוצה הראשונה ומי השנייה.

כותבים את הכמויות באותו סדר שבו הופיעו במילים.

מצמצמים

אותו גורם לשני החלקים

מחלקים את שני חלקי היחס באותו גורם חיובי.

מפסיקים כאשר אין מחלק משותף גדול מ- $1$ .

בודקים משמעות

לא רק מספרים

שואלים אם היחס המצומצם עדיין מתאר את אותה השוואה.

בודקים שלא החלפנו בטעות בין הקבוצות.

איך משפט הופך ליחס

משפט	יחס לפי הסדר	יחס מצומצם
$8$ עפרונות ו- $12$ עטים	עפרונות:עטים $8 : 12$	$2 : 3$
$15$ תלמידות ו- $10$ תלמידים	תלמידות:תלמידים $15 : 10$	$3 : 2$
$6$ כוסות מים ו- $2$ כוסות תרכיז	מים:תרכיז $6 : 2$	$3 : 1$

* הכותרת של היחס חשובה לא פחות מהמספרים עצמם.

דוגמה - סל פירות

שלב 1 מתוך 3

בסל יש

12

תפוחים ו-

18

אגסים. כתבו את היחס תפוחים לאגסים וצמצמו.

איזה יחס מתאים לסדר תפוחים לאגסים?

בדיקה לפני שממשיכים

לפני הצמצום אמרו בקול את כותרת היחס, למשל תפוחים לאגסים. אחרי הצמצום אמרו אותה שוב כדי לוודא שהסדר נשמר.

בדקו את סדר המילים.
בדקו יחידות.
בדקו שהפעולה מתאימה למשמעות.

יחס כמשפט מתמטי מלא

כדי שיחס יהיה תשובה מלאה צריך לדעת שלושה דברים: מי הקבוצה הראשונה, מי הקבוצה השנייה, ומהי פעולת ההשוואה. המספרים לבד אינם מספיקים.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מכיתה ליחס

בכיתה יש $14$ תלמידות ו- $21$ תלמידים. היחס תלמידות לתלמידים הוא $14 : 21 = 2 : 3$ . הכותרת נשמרה גם אחרי הצמצום.

אותם מספרים, משמעות אחרת

היחס תלמידים לתלמידות באותה כיתה הוא $21 : 14 = 3 : 2$ . ההחלפה משנה את נקודת המבט, לא רק את הסדר.

יחס מול הפרש

בין $14$ ל- $21$ ההפרש הוא $7$ , אבל היחס הוא $2 : 3$ . הפרש ויחס עונים על שאלות שונות.

דוגמה נוספת - כרטיסי צבע

שלב 1 מתוך 3

בקופסה יש

16

כרטיסים כחולים ו-

24

כרטיסים אדומים. כתבו את היחס כחולים לאדומים ואת היחס אדומים לכחולים.

מה היחס כחולים לאדומים לפני צמצום?

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

מספר גדול קודם

לא תמיד. המספר הראשון נקבע לפי המילה הראשונה, גם אם הוא קטן יותר.

דוגמה: $5 : 12$ יכול להיות תשובה נכונה אם שאלו קטנים לגדולים.

יחס הוא הפרש

לא. יחס בודק הכפלה וחלוקה, הפרש בודק חיסור.

דוגמה: $8$ מול $12$ : יחס $2 : 3$ , הפרש $4$ .

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בדיקת איכות לפתרון

פתרון טוב בפרק יחס כולל גם תשובה מספרית וגם בדיקת משמעות. הרשימה הקצרה הזאת נועדה למנוע טעויות של סדר, יחידות ושלם.

כתבו כותרת מילולית ליחס.
צמצמו רק באותו גורם לשני החלקים.
בדקו שהמשפט אחרי הצמצום עדיין נכון.

יחס במציאות - חמישה הקשרים שונים

יחס אינו רק תרגיל בכיתה. הוא מופיע בכל מקום שבו צריך לשמור על תבנית קבועה בין כמויות. בקטע הזה ננתח חמישה הקשרים אמיתיים ונראה שבכולם פועלים אותם כללים.

איפה פוגשים יחס בחיים

מתכון בישול

במתכון לעוגה כתוב $3$ כוסות קמח לכל $2$ כוסות סוכר. היחס $3 : 2$ נשמר גם כאשר מכפילים את המתכון לכל המשפחה.

תערובת צבע

כדי לקבל גוון תכלת מערבבים $1$ חלק כחול עם $4$ חלקים לבן. היחס $1 : 4$ מבטיח שהגוון יישאר זהה גם בכמות גדולה.

מהירות בנסיעה

אוטו שעובר $80$ ק״מ ב- $1$ שעה שומר על יחס $80 : 1$ בין מרחק לזמן. בשעה וחצי הוא יעבור $120$ ק״מ.

צפיפות אוכלוסייה

בעיר נתונה היחס בין כלבים לתושבים הוא $1 : 5$ . אם בעיר $10, 000$ תושבים, יש בה $2, 000$ כלבים.

יחס בכתיבה סימבולית

כאשר עוברים מדוגמאות מספריות לכתיבה כללית, חשוב להבין את הסימנים. הקטע הזה מציג את הכתיבה המתמטית הרשמית של יחס ואת הקשר שלה לשברים, מנות ופרופורציות.

שלוש דרכים לכתוב את אותו יחס

ביחס בין שתי כמויות אפשר להשתמש בשלוש כתיבות שקולות: עם נקודתיים, בצורת שבר ובצורת מנה. כל כתיבה מדגישה היבט אחר.

הכתיבה $a : b$ מדגישה השוואה בין שני אגפים. הכתיבה $\frac{a}{b}$ מדגישה ערך מספרי. הכתיבה $a \div b$ מדגישה פעולה. כל השלוש שוות במשמעות אבל שימושיות במצבים שונים.

$a : b = \frac{a}{b} = a \div b, b \neq = 0$

בבחירת הכתיבה תלמדו להעדיף את הצורה שעוזרת לכם לראות את המבנה - לרוב נקודתיים ביחסים פשוטים, ושבר כשצריך לבצע פעולות.

אותו יחס בכתיבות שונות

במילים	כתיבה עם נקודתיים	כתיבה בצורת שבר	כתיבה כמנה
שלוש על כל ארבע	$3 : 4$	$\frac{3}{4}$	$3 \div 4 = 0.75$
אחד על כל שניים	$1 : 2$	$\frac{1}{2}$	$1 \div 2 = 0.5$
שבע על כל חמש	$7 : 5$	$\frac{7}{5}$	$7 \div 5 = 1.4$

* בצורת המנה רואים את גודל היחס: כאשר התוצאה גדולה מ- $1$ , הקבוצה הראשונה גדולה יותר.

חוק הזהב של היחס

כדי לשמור על יחס שווה, מותר להכפיל או לחלק את שני חלקיו באותו מספר חיובי. לעומת זאת אסור להוסיף או להחסיר את אותו מספר משני החלקים, כי הפעולה הזאת משנה את המנה.

כלל זהב זה תקף בכל פרק היחס: בצמצום, בהרחבה, בפרופורציה ובחלוקה לפי יחס.

צמצום יחס - סוד היציבות

צמצום יחס הוא פעולה שמשמרת את המשמעות בעוד שהמספרים הופכים לקטנים יותר.

כאשר מצמצמים יחס, מתעלמים מההבדל בכמות המוחלטת ושומרים על התבנית הכפלית. $10 : 15$ , $20 : 30$ , $100 : 150$ - כולם אותו יחס $2 : 3$ , כי בכולם הפרופורציה זהה. הצמצום הוא כמו לבחור את היחידה הטבעית הקטנה ביותר.

$a : b = k a : k b, k > 0$

ביחס מצומצם המספרים מספרים את אותו סיפור באופן הפשוט ביותר. מסיבה זו תמיד מצופה ממכם לצמצם עד הסוף.

צמצום צעד אחר צעד

צמצום יחס $48 : 36$

שלב $1$ : מחלקים ב- $2$ : $48 : 36 = 24 : 18$ . שלב $2$ : עדיין שניהם זוגיים, מחלקים ב- $2$ : $24 : 18 = 12 : 9$ . שלב $3$ : שניהם מתחלקים ב- $3$ : $12 : 9 = 4 : 3$ . סוף - $g cd (4, 3) = 1$ , היחס המצומצם הוא $4 : 3$ .

צמצום ישיר עם $g cd$

במקום לחלק כמה פעמים, מוצאים את $g cd (48, 36) = 12$ , ומחלקים פעם אחת: $48 \div 12 : 36 \div 12 = 4 : 3$ . אותה תוצאה, פחות צעדים.

יחס הוא השוואה כפלית בין כמויות לפי סדר.
כתיבה: $a : b$ , או $\frac{a}{b}$ , או $a \div b$ - שלושתן שקולות.
תנאי: $b \neq = 0$ כדי שהמנה תהיה מוגדרת.
הסדר משנה את המשמעות. $a : b$ שונה מ- $b : a$ כאשר $a \neq = b$ .
הוספת אותו מספר לשני האגפים אינה משמרת את היחס.
מותר להכפיל או לחלק את שני האגפים באותו גורם חיובי.
יחס הוא לא הפרש. הם עונים על שאלות שונות.

מסע הלמידה - איפה אנחנו ולאן ממשיכים

השלמתם את היסוד של פרק היחס. בנינו הגדרה מדויקת, למדנו לכתוב יחס לפי הסדר, לצמצם, ולזהות את ההבדל מהפרש.

במודול הבא נעמיק את המושג כאשר היחידות שונות. נראה שלפני כל יחס בין כמויות עם יחידות חייבים לוודא שהן זהות, אחרת התשובה תהיה שגויה לחלוטין.

שאלה 1 מתוך 16

איזו תשובה שומרת על משמעות היחס $12 : 20$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מהו יחס כבר מוכן.

פתחו תרגול

מהו יחס

פותחים את הרעיון

יחס הוא השוואה כפלית

יחס הוא השוואה כפלית

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

הסדר קובע

יחס הוא מנה

לא הפרש

כמויות חיוביות

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

קוראים את המשפט

מצמצמים

בודקים משמעות

איך משפט הופך ליחס

דוגמה - סל פירות

בדיקה לפני שממשיכים

יחס כמשפט מתמטי מלא

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מכיתה ליחס

אותם מספרים, משמעות אחרת

יחס מול הפרש

דוגמה נוספת - כרטיסי צבע

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

מספר גדול קודם

יחס הוא הפרש

בדיקת איכות לפתרון

יחס במציאות - חמישה הקשרים שונים

איפה פוגשים יחס בחיים

מתכון בישול

תערובת צבע

מהירות בנסיעה

צפיפות אוכלוסייה

יחס בכתיבה סימבולית

שלוש דרכים לכתוב את אותו יחס

אותו יחס בכתיבות שונות

חוק הזהב של היחס

צמצום יחס - סוד היציבות

צמצום צעד אחר צעד

צמצום יחס 48:36

צמצום ישיר עם gcd

מסע הלמידה - איפה אנחנו ולאן ממשיכים

איזו תשובה שומרת על משמעות היחס 12:20?

מהו יחס

מעבר לדף התרגול של המודול

צמצום יחס $48 : 36$

צמצום ישיר עם $g cd$

איזו תשובה שומרת על משמעות היחס $12 : 20$ ?