גרסת הדפסה | החוברת

מתי היחידות נעלמות ומתי הן הופכות לקצב

פותחים את הרעיון

לפני שמחשבים יחס צריך לשאול אם משווים גדלים מאותו סוג. אם כן, מתאימים יחידות והיחס חסר יחידות. אם לא, מקבלים קצב כמו קמ״ש או שקלים לקילוגרם.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

יחידות קובעות את סוג התשובה

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

יחידות קובעות את סוג התשובה

אורך מול אורך, מסה מול מסה וכמות מול כמות נותנים יחס חסר יחידות לאחר התאמת יחידות. דרך מול זמן או מחיר מול משקל נותנים יחידה מורכבת.

\frac{מרחק}{זמן} = מהירות

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

קצב כיחס בין סוגים שונים

קצב = \frac{כמות מסוג אחד}{כמות מסוג אחר}

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

אותו סוג

אורך מול אורך מחייב התאמת יחידות ואז היחס חסר יחידות.

סוגים שונים

מרחק לזמן יוצר קצב, למשל $60$ ק״מ לשעה.

לפני צמצום

ממירים יחידות לפני שמחלקים או מצמצמים.

יחידה מורכבת

מחיר לקילוגרם או עמודים לדקה הם יחסים עם יחידה משמעותית.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

שואלים מה משווים

אותו סוג?

אם שני הגדלים מאותו סוג, עוברים לאותה יחידה.
אם הם מסוגים שונים, מזהים את היחידה של הקצב.

ממירים

יחידות אחידות

מטרים לסנטימטרים, שקלים לאגורות או שעות לדקות לפי הצורך.
רושמים את היחידה ליד כל כמות.

מחשבים משמעות

מה יצא?

יחס חסר יחידות מתאר השוואה טהורה.
קצב מתאר כמה מכל סוג יש לכל יחידה מהסוג האחר.

סוג היחס לפי היחידות

השוואה	מה עושים?	סוג התשובה
$1.5$ מ׳ מול $50$ ס״מ	ממירים ל- $150 : 50$	$3 : 1$ , בלי יחידות
$180$ ק״מ ב- $3$ שעות	מחלקים דרך בזמן	$60$ קמ״ש
$36$ שקלים ל- $3$ ק״ג	מחלקים מחיר במשקל	$12$ ש״ח לק״ג

יחידות אינן קישוט. הן אומרות איזו פעולה מתאימה.

דוגמה - אורך באותן יחידות

מצאואתהיחסבין m 1.2 / m מטרלבין m 30 / m סנטימטר.

ממירים מטרים לסנטימטרים.
$1.2 מ’ = 120 ס״מ$
כותבים יחס באותה יחידה.
$120 : 30$
מצמצמים.
$120 : 30 = 4 : 1$

תשובה:

m 4 : 1 / m

היחידות מחליטות מה מותר לצמצם

לפני שמצמצמים יחס צריך לשאול אם שני הגדלים מאותו סוג. אם כן, ממירים לאותה יחידה. אם לא, היחידות נשארות כחלק מהמשמעות, כמו מחיר לקילוגרם או קילומטר לשעה.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

אותו סוג

$1.2$ מטר מול $40$ סנטימטר: קודם $120$ סנטימטר מול $40$ סנטימטר, ואז $3 : 1$ .

סוגים שונים

$60$ קילומטר ב- $2$ שעות אינו יחס חסר יחידות, אלא קצב $30$ קמ״ש.

מחיר ליחידה

$18$ ש״ח ל- $3$ ק״ג נותן $6$ ש״ח לק״ג. היחידות מספרות מה חישבנו.

דוגמה נוספת - מטרים וסנטימטרים

מצאואתהיחסבין m 2.5 / m מטרלבין m 75 / m סנטימטר.

ממירים מטרים לסנטימטרים כדי להשוות אותו סוג באותה יחידה.
$2.5 מ’ = 250 ס״מ$
כותבים יחס באותה יחידה.
$250 : 75$
מצמצמים ב- $25$ .
$250 : 75 = 10 : 3$

תשובה:

m 10 : 3 / m

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

תמיד מצמצמים מספרים מיד

קודם בודקים יחידות.

$1$ מטר ו- $50$ סנטימטר אינם $1 : 50$ , אלא $100 : 50 = 2 : 1$ .

כל יחס מצטמצם ליחס בלי יחידות

רק כאשר משווים אותו סוג.

שקלים לקילוגרם היא יחידה מורכבת שממשיכה להיות חשובה.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

טבלת המרות מקיפה

לפני כל בעיית יחס עם יחידות, צריך לדעת להמיר ביעילות. הטבלה הבאה מסכמת את ההמרות הנפוצות ביותר במבחנים.

המרות אורך

יחידה	המרה לסנטימטר	המרה למטר
$1$ מ״מ	$0.1$ ס״מ	$0.001$ מ'
$1$ ס״מ	$1$ ס״מ	$0.01$ מ'
$1$ מ'	$100$ ס״מ	$1$ מ'
$1$ ק״מ	$100, 000$ ס״מ	$1000$ מ'

תמיד ממירים ליחידה הקטנה יותר כדי להימנע מערכים עשרוניים.

המרות זמן

יחידה	המרה לשניות	המרה לדקות
$1$ שניה	$1$ ש'	$\frac{1}{60}$ ד'
$1$ דקה	$60$ ש'	$1$ ד'
$1$ שעה	$3600$ ש'	$60$ ד'
$1$ יום	$86, 400$ ש'	$1440$ ד'

המרת זמן חיונית בתרגילי מהירות וקצב.

המרות מסה ונפח

יחידה	המרה לגרם או למ״ל
$1$ ק״ג	$1000$ גרם
$1$ טון	$1, 000, 000$ גרם
$1$ ליטר	$1000$ מ״ל
$1$ מ״ק	$1000$ ליטר

במסות גדולות עוברים ליחידות גדולות יותר אחרי החישוב.

יחס עם יחידות מורכבות

כאשר היחס מערב גדלים מסוגים שונים שלא ניתן להמיר זה לזה, התוצאה היא יחידה מורכבת. למשל: שקל לליטר, ק״מ לשעה, אנשים לקמ״ר.

\frac{a [ יחידה 1 ]}{b [ יחידה 2 ]}

ביחסים עם יחידות מורכבות, היחידה אינה מצטמצמת והיא חייבת להופיע בתשובה.

יחידות מורכבות נפוצות

מחיר ליחידה

ש״ח/ק״ג, ש״ח/ל', ש״ח/מ'. עוזר להשוות מחיר בין מוצרים בגדלים שונים.

מהירות

ק״מ/שעה, מ'/שניה. תיאור התקדמות בזמן.

צפיפות אוכלוסייה

אנשים לקמ״ר. השוואת מצוקה או מרחב בין אזורים.

צפיפות חומר

ג'/סמ״ק, ק״ג/מ״ק. תכונת חומר חשובה בפיזיקה ובכימיה.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה עושים לפני יחס בין $1$ מטר ל- $25$ ס״מ?

ממירים לאותה יחידת אורך
מצמצמים מיד $1 : 25$
מחברים
מתעלמים מהיחידות

2. $150$ ס״מ לעומת $50$ ס״מ הוא יחס...

$3 : 1$
$150 : 50$ בלבד
$1 : 3$
$200 : 1$

3. $120$ ק״מ ב- $2$ שעות נותנים...

$60$ קמ״ש
$240$ קמ״ש
$2 : 120$ בלי יחידה
$118$ קמ״ש

4.מה מאפיין יחס בין גדלים מאותו סוג לאחר המרה?

היחידות מצטמצמות
נוצרת תמיד מהירות
אסור לצמצם
צריך לחבר יחידות

5.מחיר של $24$ ש״ח ל- $3$ ק״ג הוא...

$8$ ש״ח לק״ג
$72$ ש״ח לק״ג
$21$ ש״ח לק״ג
$3$ ש״ח לק״ג

6.מהי הטעות ב- $2$ מ׳: $50$ ס״מ = $1 : 25$ ?

לא המירו מטרים לסנטימטרים
לא צמצמו מספיק
הפכו את הסדר
שמרו יחידה מורכבת

7.מה היחס בין $2$ מטר ל- $50$ סנטימטר?

$4 : 1$
$2 : 50$
$1 : 25$
$50 : 2$

8. $30$ ש״ח עבור $5$ ק״ג נותנים...

$6$ ש״ח לק״ג
$5$ ש״ח לק״ג
$30 : 5$ בלי יחידות
$150$ ש״ח

9.מתי יחס הופך למספר חסר יחידות?

כאשר שני הגדלים מאותו סוג ובאותה יחידה
כאשר יש מספרים גדולים
כאשר יש שבר
כאשר יש שקלים

10.מהו הצעד הראשון בהשוואת $0.8$ מטר ו- $20$ סנטימטר?

להמיר לאותה יחידה
לחבר את המספרים
להפוך את הסדר
לחשב אחוז

11.המירו: $2.5$ מטר לסנטימטר.

$250$ ס״מ
$25$ ס״מ
$2.5$ ס״מ
$2500$ ס״מ

12.מה היחס המצומצם בין $3$ מטר ל- $50$ סנטימטר?

$6 : 1$
$3 : 50$
$1 : 6$
$50 : 3$

13.מהירות $10$ מטר/שניה היא בערך כמה ק״מ/שעה?

$36$ ק״מ/שעה
$10$ ק״מ/שעה
$100$ ק״מ/שעה
$3.6$ ק״מ/שעה

14.מהי יחידה מורכבת לדוגמה?

ש״ח/ק״ג, ק״מ/שעה, אנשים/קמ״ר
רק ק״ג
רק ס״מ
רק שניה

15.ל- $4$ ק״ג עגבניות עולה $24$ ש״ח. מה המחיר ליחידה?

$6$ ש״ח/ק״ג
$24$ ש״ח/ק״ג
$4$ ש״ח/ק״ג
$96$ ש״ח/ק״ג

16.המרת $3$ מ״ר לסמ״ר נותנת...

$30, 000$ סמ״ר
$300$ סמ״ר
$3000$ סמ״ר
$3, 000, 000$ סמ״ר