גרסת הדפסה | החוברת

הציור קטן או גדול, היחס נשמר

פותחים את הרעיון

קנה מידה הוא יחס בין מידה בשרטוט לבין המידה במציאות. הוא מאפשר לעבור בין מפה, תוכנית, דגם ומציאות בלי לאבד את יחסי האורכים.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

קנה מידה הוא יחס קבוע בין שרטוט למציאות

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

קנה מידה הוא יחס קבוע בין שרטוט למציאות

קנה מידה $1 : 500$ אומר ש- $1$ ס״מ בשרטוט מייצג $500$ ס״מ במציאות, כלומר $5$ מטר.

מידה במציאות = מידה בשרטוט \cdot גורם הקנה

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

תמונה הממחישה קנה מידה בעזרת מפה, סרגל ודגם מוקטן — בקנה מידה המידות משתנות, אבל היחסים בין האורכים נשמרים לאחר התאמת יחידות.

מעבר משרטוט למציאות

L_{מציאות} = L_{שרטוט} \cdot n בקנה מידה 1 : n

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

שרטוט למציאות

בקנה מידה $1 : n$ , מכפילים את המידה בשרטוט ב- $n$ .

מציאות לשרטוט

כדי למצוא מידה בשרטוט מחלקים את המידה במציאות ב- $n$ .

יחידות

ס״מ, מ׳ וק״מ חייבים להיות מתואמים לפני התשובה.

יחסי אורכים

דגם נכון שומר על היחס בין כל האורכים המתאימים.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

מזהים כיוון

שרטוט או מציאות

שואלים מה נתון ומה צריך למצוא.
מסמנים את קנה המידה כ- $1 : n$ או $n : 1$ .

מתאימים יחידות

לפני חישוב

עוברים לס״מ אם עובדים עם מפה.
מחזירים למטרים או ק״מ בסוף לפי ההקשר.

כופלים או מחלקים

לפי הכיוון

שרטוט למציאות: כפל.
מציאות לשרטוט: חילוק.

כיווני עבודה בקנה מידה

נתון	קנה מידה	פעולה
$3$ ס״מ במפה	$1 : 200$	$3 \cdot 200 = 600$ ס״מ = $6$ מ׳
$40$ מ׳ במציאות	$1 : 500$	$4000 \div 500 = 8$ ס״מ
$2.5$ ס״מ במפה	$1 : 100000$	$250000$ ס״מ = $2.5$ ק״מ

הקושי העיקרי אינו הכפל, אלא היחידות.

דוגמה - מרחק במפה

במפהבקנהמידה m 1 : 50, 000 / m, המרחקביןשתינקודותהוא m 4 / m ס״מ.מההמרחקבמציאות ?

מכפילים בגורם הקנה.
$4 \cdot 50, 000 = 200, 000 ס״מ$
ממירים ס״מ לק״מ.
$200, 000 ס״מ = 2, 000 מ’ = 2 ק״מ$

תשובה:

m 2 / m ק״מ

קנה מידה עובד רק אחרי התאמת יחידות

קנה מידה הוא יחס בין גודל בשרטוט או בדגם לבין הגודל במציאות. כדי לחשב נכון צריך לדעת לאיזה כיוון עוברים ולוודא שהיחידות מתאימות.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מפה למציאות

בקנה מידה $1 : 50, 000$ , $3$ ס״מ במפה הם $150, 000$ ס״מ במציאות, כלומר $1.5$ ק״מ.

מציאות למפה

מרחק אמיתי של $2$ ק״מ הוא $200, 000$ ס״מ. בקנה $1 : 50, 000$ הוא $4$ ס״מ במפה.

דגם מוגדל

אם קנה המידה הוא $5 : 1$ , הדגם גדול פי $5$ מהמקור. לא כל קנה מידה הוא הקטנה.

דוגמה נוספת - מרחק בין יישובים

במפהבקנהמידה m 1 : 25, 000 / m, המרחקביןשנייישוביםהוא m 6 / m ס״מ.מההמרחקבמציאותבק״מ ?

מכפילים את המרחק במפה בגורם הקנה.
$6 \cdot 25, 000 = 150, 000 ס״מ$
ממירים סנטימטרים לקילומטרים.
$150, 000 ס״מ = 1, 500 מ’ = 1.5 ק״מ$
בודקים סבירות: כמה ס״מ במפה מייצג ק״מ אחד?
$100, 000 \div 25, 000 = 4$

תשובה:

m 1.5 / m ק״מ

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

תמיד מחלקים בגורם הקנה

הפעולה תלויה בכיוון המעבר.

ממפה למציאות מכפילים, ממציאות למפה מחלקים.

אפשר להתעלם מיחידות

קנה מידה כמעט תמיד דורש המרה.

ס״מ במפה וק״מ במציאות חייבים להיפגש דרך יחידה משותפת.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

סוגי קני מידה

קני מידה אינם זהים. יש שלושה סוגים עיקריים, וצריך לדעת לזהות כל אחד.

שלושה סוגי קני מידה

סוג	סימול	משמעות	דוגמה
קנה הקטנה	$1 : n$ , $n > 1$	המפה קטנה מהמציאות	מפה $1 : 50, 000$
קנה הגדלה	$n : 1$ , $n > 1$	הדגם גדול מהמציאות	דגם תא $100, 000 : 1$
קנה זהה	$1 : 1$	אותו גודל	תוכנית בגודל אמיתי

ברוב המקרים בכיתה ח' עוסקים בקנה הקטנה.

הקשר בין קנה מידה לאורך, שטח ונפח

כש- $k$ הוא קנה מידה ( $1 : k$ ), אז אורך, שטח ונפח לא משתנים באותו פקטור.

אורך \to k, שטח \to k^{2}, נפח \to k^{3}

תופעה זאת מסבירה למה דגמים קטנים יכולים להחליק במקום שדברים גדולים מתעקלים.

קני מידה במציאות

מפה גיאוגרפית

מפת מדינה: $1 : 1, 000, 000$ . $1$ ס״מ במפה = $10$ ק״מ במציאות.

תכנית אדריכלית

תכנית דירה: $1 : 50$ או $1 : 100$ . $1$ ס״מ בתכנית = $50$ ס״מ או מ' במציאות.

דגם מכונית

דגם $1 : 24$ : דגם של $18$ ס״מ מתאים לרכב של $4.32$ מ' במציאות.

מיקרוסקופ

תא ביולוגי בהגדלה $500 : 1$ : תא של $10$ מיקרון מופיע באורך $5000$ מיקרון = $5$ מ״מ.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.בקנה מידה $1 : 200$ , $3$ ס״מ בשרטוט הם...

$6$ מטר
$600$ מטר
$1.5$ מטר
$200$ ס״מ בלבד

2.מה חייבים לעשות לפני חישוב קנה מידה?

להתאים יחידות
להפוך את היחס
לצמצם לאחוז
לחבר מרחקים

3.במפה $1 : 100, 000$ , $5$ ס״מ הם...

$5$ ק״מ
$500$ ק״מ
$50$ מ׳
$0.5$ ק״מ

4.מציאות לשרטוט בקנה מידה $1 : n$ עושים בעזרת...

חילוק ב- $n$
כפל ב- $n$
חיבור $n$
היפוך תמיד

5. $20$ מטר במציאות, קנה מידה $1 : 100$ . מה בשרטוט?

$20$ ס״מ
$2$ ס״מ
$200$ ס״מ
$100$ ס״מ

6.מה קנה מידה שומר?

יחסי אורכים מתאימים
שטח תמיד באותו יחס
מספר הצלעות בלבד
צבעים במפה

7.בקנה מידה $1 : 10, 000$ , $5$ ס״מ במפה הם...

$500$ מטר
$50$ מטר
$5$ ק״מ
$10$ מטר

8.מה הצעד הראשון בחישוב קנה מידה?

לזהות כיוון ולהתאים יחידות
לצמצם מיד
לחבר את המספרים
להפוך את היחס תמיד

9.מרחק אמיתי $3$ ק״מ בקנה $1 : 100, 000$ . מה במפה?

$3$ ס״מ
$30$ ס״מ
$0.3$ ס״מ
$300$ ס״מ

10.אם אורך גדל פי $3$ , השטח המתאים גדל פי...

$9$
$3$
$6$
$27$

11.במפה $1 : 1000$ , $3$ ס״מ במפה הם...

$30$ מטר במציאות
$3$ מטר
$3000$ ס״מ
$3$ ק״מ

12.במציאות מסלול הוא $5$ ק״מ. במפה $1 : 50, 000$ , אורכו...

$10$ ס״מ
$50$ ס״מ
$1$ ס״מ
$5$ ס״מ

13.בקנה $1 : 100$ , שטח של $1$ סמ״ר במפה הוא...

$10, 000$ סמ״ר = $1$ מ״ר במציאות
$100$ סמ״ר
$1$ סמ״ר
$1000$ סמ״ר

14.מהו ההבדל בין $1 : 50$ ל- $50 : 1$ ?

הראשון הקטנה (מפה), השני הגדלה (דגם/מיקרוסקופ)
אין הבדל
שניהם הגדלה
שניהם הקטנה

15.במפה אורך כביש $4$ ס״מ, במציאות $2$ ק״מ. הקנה...

$1 : 50, 000$
$1 : 5000$
$1 : 500$
$1 : 1$

16.בקנה $1 : 100$ , נפח של $2$ סמ״ק במציאות הוא...

$2, 000, 000$ סמ״ק = $2$ מ״ק
$200$ סמ״ק
$2$ סמ״ק
$20, 000$ סמ״ק