קנה מידה במפה ובדגם

הציור קטן או גדול, היחס נשמר

פותחים את הרעיון

קנה מידה הוא יחס בין מידה בשרטוט לבין המידה במציאות. הוא מאפשר לעבור בין מפה, תוכנית, דגם ומציאות בלי לאבד את יחסי האורכים.

במודול הזה נבנה הגדרה מדויקת, נעבוד דרך דוגמה פתורה, נזהה טעות נפוצה ונעבור לתרגול שמכריח לבדוק משמעות.

טוען סימולציה...

קנה מידה הוא יחס קבוע בין שרטוט למציאות

בקטע הזה נעמיק את המושג שכבר פגשנו ונקשר אותו לשאלות שבהן צריך לבחור דרך פתרון, לא רק לבצע חישוב.

קנה מידה הוא יחס קבוע בין שרטוט למציאות

קנה מידה $1 : 500$ אומר ש- $1$ ס״מ בשרטוט מייצג $500$ ס״מ במציאות, כלומר $5$ מטר.

בקנה מידה חייבים להתאים יחידות. רק לאחר שכל המידות באותה יחידה אפשר להכפיל או לחלק בגורם הקנה.

$מידה במציאות = מידה בשרטוט \cdot גורם הקנה$

המשמעות קובעת איזו פעולה מתאימה, והמספרים מאשרים את המשמעות.

תמונה הממחישה קנה מידה בעזרת מפה, סרגל ודגם מוקטן — בקנה מידה המידות משתנות, אבל היחסים בין האורכים נשמרים לאחר התאמת יחידות.

מעבר משרטוט למציאות

L_{מציאות} = L_{שרטוט} \cdot n בקנה מידה 1 : n

(10)

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

שרטוט למציאות

בקנה מידה $1 : n$ , מכפילים את המידה בשרטוט ב- $n$ .

מציאות לשרטוט

כדי למצוא מידה בשרטוט מחלקים את המידה במציאות ב- $n$ .

יחידות

ס״מ, מ׳ וק״מ חייבים להיות מתואמים לפני התשובה.

יחסי אורכים

דגם נכון שומר על היחס בין כל האורכים המתאימים.

שיטת עבודה

כאן הופכים את הרעיון לשגרת פתרון. המטרה היא שתוכלו לחזור על אותם צעדים גם בשאלה חדשה ולא להסתמך על זיהוי מהיר בלבד.

איך פותרים בלי לנחש

מזהים כיוון

שרטוט או מציאות

שואלים מה נתון ומה צריך למצוא.

מסמנים את קנה המידה כ- $1 : n$ או $n : 1$ .

מתאימים יחידות

לפני חישוב

עוברים לס״מ אם עובדים עם מפה.

מחזירים למטרים או ק״מ בסוף לפי ההקשר.

כופלים או מחלקים

לפי הכיוון

שרטוט למציאות: כפל.

מציאות לשרטוט: חילוק.

כיווני עבודה בקנה מידה

נתון	קנה מידה	פעולה
$3$ ס״מ במפה	$1 : 200$	$3 \cdot 200 = 600$ ס״מ = $6$ מ׳
$40$ מ׳ במציאות	$1 : 500$	$4000 \div 500 = 8$ ס״מ
$2.5$ ס״מ במפה	$1 : 100000$	$250000$ ס״מ = $2.5$ ק״מ

* הקושי העיקרי אינו הכפל, אלא היחידות.

דוגמה - מרחק במפה

שלב 1 מתוך 2

במפה בקנה מידה

1 : 50, 000

, המרחק בין שתי נקודות הוא

4

ס״מ. מה המרחק במציאות?

בדיקה לפני שממשיכים

כתבו תמיד שתי עמודות: שרטוט ומציאות. כך קל לראות אם צריך להכפיל או לחלק.

בדקו את סדר המילים.
בדקו יחידות.
בדקו שהפעולה מתאימה למשמעות.

$math/039-measurement$ קנה מידה עובד רק אחרי התאמת יחידות

קנה מידה הוא יחס בין גודל בשרטוט או בדגם לבין הגודל במציאות. כדי לחשב נכון צריך לדעת לאיזה כיוון עוברים ולוודא שהיחידות מתאימות.

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מפה למציאות

בקנה מידה $1 : 50, 000$ , $3$ ס״מ במפה הם $150, 000$ ס״מ במציאות, כלומר $1.5$ ק״מ.

מציאות למפה

מרחק אמיתי של $2$ ק״מ הוא $200, 000$ ס״מ. בקנה $1 : 50, 000$ הוא $4$ ס״מ במפה.

דגם מוגדל

אם קנה המידה הוא $5 : 1$ , הדגם גדול פי $5$ מהמקור. לא כל קנה מידה הוא הקטנה.

דוגמה נוספת - מרחק בין יישובים

שלב 1 מתוך 3

במפה בקנה מידה

1 : 25, 000

, המרחק בין שני יישובים הוא

6

ס״מ. מה המרחק במציאות בק״מ?

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

תמיד מחלקים בגורם הקנה

הפעולה תלויה בכיוון המעבר.

דוגמה: ממפה למציאות מכפילים, ממציאות למפה מחלקים.

אפשר להתעלם מיחידות

קנה מידה כמעט תמיד דורש המרה.

דוגמה: ס״מ במפה וק״מ במציאות חייבים להיפגש דרך יחידה משותפת.

כאשר אתם מזהים מלכודת, אל תמשיכו לחשב. עצרו וכתבו משפט משמעות קצר.

בדיקת איכות לפתרון

פתרון טוב בפרק יחס כולל גם תשובה מספרית וגם בדיקת משמעות. הרשימה הקצרה הזאת נועדה למנוע טעויות של סדר, יחידות ושלם.

זהו כיוון: מפה למציאות או מציאות למפה.
המירו לאותה יחידה.
כפלו או חלקו ובדקו סבירות.

סוגי קני מידה

קני מידה אינם זהים. יש שלושה סוגים עיקריים, וצריך לדעת לזהות כל אחד.

שלושה סוגי קני מידה

סוג	סימול	משמעות	דוגמה
קנה הקטנה	$1 : n$ , $n > 1$	המפה קטנה מהמציאות	מפה $1 : 50, 000$
קנה הגדלה	$n : 1$ , $n > 1$	הדגם גדול מהמציאות	דגם תא $100, 000 : 1$
קנה זהה	$1 : 1$	אותו גודל	תוכנית בגודל אמיתי

* ברוב המקרים בכיתה ח' עוסקים בקנה הקטנה.

הקשר בין קנה מידה לאורך, שטח ונפח

כש- $k$ הוא קנה מידה ( $1 : k$ ), אז אורך, שטח ונפח לא משתנים באותו פקטור.

אורך מצטמצם פי $k$ . אבל שטח, שהוא מכפלה של שני אורכים, מצטמצם פי $k^{2}$ . ונפח, שהוא מכפלה של שלושה אורכים, מצטמצם פי $k^{3}$ . למשל בקנה $1 : 100$ : אורך $1$ מ' מתבטא ב- $1$ ס״מ במפה, אבל שטח $1$ מ״ר מתבטא ב- $1$ סמ״ר ( $10, 000$ פי קטן יותר), ונפח $1$ מ״ק מתבטא ב- $1$ סמ״ק ( $1, 000, 000$ פי קטן יותר).

$אורך \to k, שטח \to k^{2}, נפח \to k^{3}$

תופעה זאת מסבירה למה דגמים קטנים יכולים להחליק במקום שדברים גדולים מתעקלים.

קני מידה במציאות

מפה גיאוגרפית

מפת מדינה: $1 : 1, 000, 000$ . $1$ ס״מ במפה = $10$ ק״מ במציאות.

תכנית אדריכלית

תכנית דירה: $1 : 50$ או $1 : 100$ . $1$ ס״מ בתכנית = $50$ ס״מ או מ' במציאות.

דגם מכונית

דגם $1 : 24$ : דגם של $18$ ס״מ מתאים לרכב של $4.32$ מ' במציאות.

מיקרוסקופ

תא ביולוגי בהגדלה $500 : 1$ : תא של $10$ מיקרון מופיע באורך $5000$ מיקרון = $5$ מ״מ.

מלכודות קנה מידה

תמיד ממירים ליחידה משותפת לפני החישוב.
מפה למציאות: כפל. מציאות למפה: חילוק.
אורך משתנה פי $k$ , שטח פי $k^{2}$ , נפח פי $k^{3}$ .
$1 : n$ זה הקטנה. $n : 1$ זה הגדלה.
תמיד בודקים אם התשובה הגיונית בגודלה.

קנה מידה $1 : k$ פירושו $1$ יחידה במפה = $k$ יחידות במציאות.
מפה למציאות: מכפילים בקנה.
מציאות למפה: מחלקים בקנה.
המרת יחידות חיונית: ס״מ ↔ מ' ↔ ק״מ.
אורך $k$ , שטח $k^{2}$ , נפח $k^{3}$ .
תמיד בודקים שתשובה הגיונית.

סיום פרק 2

כל הכבוד! סיימתם את כל המודולים של פרק 2 - יחס ופרופורציה. במודול הסיכום נעבור על מפת המושגים הכוללת ונסמן הקשרים בין הרעיונות. בנוסף יש משחק Jeopardy חוויתי לחזרה מהנה.

שאלה 1 מתוך 16

במפה אורך כביש $4$ ס״מ, במציאות $2$ ק״מ. הקנה...

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של קנה מידה במפה ובדגם כבר מוכן.

פתחו תרגול

קנה מידה במפה ובדגם

פותחים את הרעיון

קנה מידה הוא יחס קבוע בין שרטוט למציאות

קנה מידה הוא יחס קבוע בין שרטוט למציאות

רעיונות שחייבים להחזיק בראש

שרטוט למציאות

מציאות לשרטוט

יחידות

יחסי אורכים

שיטת עבודה

איך פותרים בלי לנחש

מזהים כיוון

מתאימים יחידות

כופלים או מחלקים

כיווני עבודה בקנה מידה

דוגמה - מרחק במפה

בדיקה לפני שממשיכים

קנה מידה עובד רק אחרי התאמת יחידות

שלוש דוגמאות קצרות שמחדדות את הרעיון

מפה למציאות

מציאות למפה

דגם מוגדל

דוגמה נוספת - מרחק בין יישובים

מלכודות נפוצות ואיך יוצאים מהן

תמיד מחלקים בגורם הקנה

אפשר להתעלם מיחידות

בדיקת איכות לפתרון

סוגי קני מידה

שלושה סוגי קני מידה

הקשר בין קנה מידה לאורך, שטח ונפח

קני מידה במציאות

מפה גיאוגרפית

תכנית אדריכלית

דגם מכונית

מיקרוסקופ

מלכודות קנה מידה

סיום פרק 2

במפה אורך כביש 4 ס״מ, במציאות 2 ק״מ. הקנה...