גרסת הדפסה | החוברת

שתי זוויות והצלע שביניהן קובעות את המשולש

מה נבנה כאן

משפט ז.צ.ז משתמש בשתי זוויות ובצלע הכלואה ביניהן. הוא מתאים למצבים שבהם צורת המשולש נקבעת על ידי פתיחות הזוויות והמרחק ביניהן. במודול הזה נכיר את המשפט, נבין למה שתי זוויות קובעות גם את השלישית (סכום $18 0^{\circ}$ ), נתרגל ונראה יישומים.

זיהוי שתי זוויות: נזהה שתי זוויות מתאימות בכל משולש.
צלע כלואה: נבדוק שהצלע הנתונה נמצאת בין שתי הזוויות.
חישוב תומך: נשתמש בסכום זוויות במשולש כדי להבין מדוע שתי זוויות קובעות גם את השלישית.
יישומים: נראה איפה ז.צ.ז עובד במציאות - ניווט, מדידה, מיפוי.

למה שתי זוויות קובעות גם את השלישית

סכום הזוויות במשולש הוא תמיד

18 0^{\circ}

. זה אומר שאם יודעים שתי זוויות, הזווית השלישית נקבעת אוטומטית:

∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A - ∠ B

. לכן בז.צ.ז, נתון של שתי זוויות שווה בעצם לנתון על שלוש הזוויות. כל מה שחסר לחפיפה הוא גודל - והצלע הכלואה נותנת את זה.

זה אומר משהו עוצמתי על משפט ז.צ.ז: אם תקבלו

∠ A = ∠ D

ו-

∠ C = ∠ F

(זוויות שאינן הזוויות המבטיחות את הצלע הנתונה) - בעצם יש לכם גם

∠ B = ∠ E

בחינם, מסכום 180. אז עם צלע אחת + שתי זוויות כלשהן בכל משולש, אפשר תמיד להפוך את זה למבנה ז.צ.ז על ידי חישוב הזווית השלישית. זוהי הסיבה שאחרי הוכחת ז.צ.ז, מקבלים את ז.ז.צ ("לא כלואה") בחינם - הוא שקול ל-ז.צ.ז בעצם.

הצלע שבין שתי הזוויות

בז.צ.ז לא מחפשים סתם שני סימוני זווית וצלע. מחפשים צלע שמחברת בדיוק את שני קודקודי הזוויות, כי היא נועלת גם את הגודל של המשולש.

הצלע שבין שתי הזוויות

משפט $ז.צ.ז$ אומר: אם שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן שוות בהתאמה בשני משולשים, המשולשים חופפים. המילה 'הכלואה' היא הקריטית - הצלע חייבת לחבר את שני הקודקודים שבהם נמצאות הזוויות הנתונות.

∠ A = ∠ D, A B = D E, ∠ B = ∠ E

הצלע חייבת להיות בין שתי הזוויות הנתונות, לא צלע אחרת במשולש. אם הזווית והצלע נמצאים באותו קצה אבל הזווית השנייה במקום אחר - זה כבר לא ז.צ.ז במובן הצר.

ז.צ.ז מול ז.ז.צ - מה ההבדל

מצב	מה נתון	כליאת הצלע?	האם משפט?
ז.צ.ז (קלאסי)	$∠ A, A B, ∠ B$	כן - $A B$ בין $∠ A$ ו- $∠ B$	כן (ישיר)
ז.ז.צ (לא כלואה)	$∠ A, ∠ B, B C$	לא - $B C$ מחוץ לזוויות הנתונות	כן (דרך סכום 180)
ז.ז.ז (שלוש זוויות)	$∠ A, ∠ B, ∠ C$	אין צלע	לא - דמיון בלבד
צ.ז.ז (זווית-צלע-זווית, סדר אחר)	$∠ A, A C, ∠ C$	כן - $A C$ בין הזוויות	כן (זה אותו ז.צ.ז)

צלע כלואה בין שתי זוויות

הצלע AB כלואה בין הזוויות A ו-B, והצלע DE כלואה בין D ו-E.

נתוני ז.צ.ז

∠ A = ∠ D, A B = D E, ∠ B = ∠ E \Rightarrow △ A B C ≅ △ D E F

צ.ז.צ מול ז.צ.ז

משפט	מה כלוא	בדיקה מהירה
צ.ז.צ	זווית בין שתי צלעות	הצלעות נפגשות בקודקוד הזווית
ז.צ.ז	צלע בין שתי זוויות	הצלע מחברת את קודקודי הזוויות
צ.צ.צ	אין כליאה - שלוש צלעות	כל צלע מתאימה לאורך מסוים

ז.צ.ז במציאות - ניווט ומדידה

ז.צ.ז שימושי במצבים שבהם קל למדוד זוויות אבל קשה למדוד אורכים - למשל בימים מהתבטעי לעצמים רחוקים. במצב כזה, מודדים את אורך הקטע שבין שתי תחנות, ואת הזוויות מכל תחנה אל היעד.

ז.צ.ז במציאות

ניווט ימי

הספן יודע את המרחק בין שני סימני חוף וממדוד את הזוויות אליהם - וכך מוצא את מיקומו.

אסטרונומיה (פרלקס)

מדידת זווית לכוכב משני נקודות במסלול כדור הארץ - הוא הבסיס לחישוב מרחקים אסטרונומיים.

סקר קרקע

מודדים אורך בסיס ואת הזוויות, ומחשבים את גובה הר או רוחב נהר ללא צורך לטפס.

GPS

טריאנגולציה (שילוש) - שיטה המבוססת על משולשים יחידים מקבלים מזוויות וצלע.

ארכאולוגיה

במדידת מרחקים בחפירה משתמשים בז.צ.ז כדי לא להפריע לאתר העתיקות.

הנדסה

במדידת מרחקים בלתי-נגישים (תוך מנהרה, מעל פתח) הזווית והצלע הם נתונים זמינים.

דוגמה - נימוק לפי ז.צ.ז

כאן נבנה נימוק קצר סביב המילה כלואה: קודם מזהים את שתי הזוויות, אחר כך מראים שהצלע הנתונה נמצאת ביניהן, ורק בסוף כותבים חפיפה.

דוגמה 1 - נימוק לפי ז.צ.ז

נתון m ∠ A = ∠ D / m, m A B = D E / m ו - m ∠ B = ∠ E / m .נמקוחפיפהופרטואתכלהצעדים.

הצעד הראשון: לזהות את שתי הזוויות הנתונות בכל משולש. במשולש הראשון - $∠ A$ ו- $∠ B$ ; במשולש השני - $∠ D$ ו- $∠ E$ .
$∠ A, ∠ B, ∠ D, ∠ E$
מציאת הצלע שמחברת את הזוויות. הזוויות $∠ A$ ו- $∠ B$ נמצאות בקודקודים $A$ ו- $B$ . הצלע שמחברת אותם היא $A B$ .
$A B מחברת את A, B$
אישור: $A B$ היא הצלע הכלואה - היא נמצאת בדיוק בין שתי הזוויות הנתונות.
$A B כלואה בין ∠ A, ∠ B$
במשולש השני: באותה צורה, $D E$ היא הצלע הכלואה בין $∠ D$ ו- $∠ E$ .
$D E כלואה בין ∠ D, ∠ E$
כתיבת ההתאמה: $A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F$ .
$A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F$
סיכום שלושת הזוגות הנתונים. ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן.
$∠ A = ∠ D, A B = D E, ∠ B = ∠ E$
הכרזה על החפיפה.
$△ A B C ≅ △ D E F (ז.צ.ז)$
מסקנות אוטומטיות: כל החלקים המתאימים שווים. לכן $A C = D F$ , $B C = E F$ , ו- $∠ C = ∠ F$ .
$A C = D F, B C = E F, ∠ C = ∠ F$

תשובה:

m △ A B C ≅ △ D E F / m לפיז.צ.ז.כלהחלקיםהמתאימיםשוויםאוטומטית.

דוגמה 2 - נימוק קצר ואז מסקנה

נתון m ∠ A B C = ∠ D E F / m, m ∠ A C B = ∠ D F E / m ו - m B C = E F / m .נמקוחפיפהוהסיקו m A C = D F / m .

מהזוויות הנתונות נקבעת התאמה: B מתאים ל-E, C ל-F. לכן A ל-D.
$B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F, A \leftrightarrow D$
BC נמצאת בין הזוויות B ו-C, ו-EF בין E ו-F.
$B C \leftrightarrow E F צלע כלואה$
מבנה ז.צ.ז.
$△ A B C ≅ △ D E F$
מותר להסיק צלעות מתאימות.
$A C = D F$

תשובה:

m △ A B C ≅ △ D E F / m לפיז.צ.ז, ולכן m A C = D F / m .

איך מזהים ז.צ.ז

סמנו שתי זוויות

בדקו שהן מתאימות בשני המשולשים.
אל תדלגו על סדר הקודקודים.

חפשו את הצלע ביניהן

הצלע מחברת את קודקודי הזוויות.
צלע אחרת אינה ז.צ.ז.

השלימו נימוק

כתבו את שמות המשולשים לפי ההתאמה.
ציינו: לפי ז.צ.ז.

דוגמאות לז.צ.ז

מתאים

$∠ A = ∠ D$ , $A B = D E$ , $∠ B = ∠ E$ . הצלע בין הזוויות.

לא מתאים

$∠ A = ∠ D$ , $A C = D F$ , $∠ B = ∠ E$ . הצלע אינה בין A ו-B.

מתאים

$∠ B = ∠ E$ , $B C = E F$ , $∠ C = ∠ F$ . הצלע BC בין B ו-C.

ז.ז.ז

$∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F$ . שלוש זוויות בלבד - לא משפט חפיפה!

ארבעה דפוסי הוכחה עם ז.צ.ז

כשפותרים בעיות חפיפה, ז.צ.ז מתחבא לעיתים קרובות מאחורי דפוסים גאומטריים מקובלים. הנה ארבעת הדפוסים הנפוצים שבהם תיתקלו:

דפוסים נפוצים שמובילים לז.צ.ז

דפוס 1: קווים מקבילים

כש- $A B ∥ C D$ , יש זוויות מתחלפות שוות.
צלע משותפת או נתונה - והופ, ז.צ.ז.
מאוד שכיח בבעיות מקביליות וטרפזים.

דפוס 2: תמשולש מולכים

כשבעיה מציגה שני קווים שיוצאים מנקודה משותפת.
הזווית בנקודה המשותפת = זווית כלואה.
אם יש עוד זווית ידועה - ז.צ.ז.

דפוס 3: זוויות מתחלפות בקודקוד

כששני קווים נחתכים, יוצרים זוויות קודקודיות שוות.
הצלע המשותפת או נתונה.
פותר רוב בעיות 'איקס' ו'בולעים'.

דפוס 4: משולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות.
כשנמתח קטע מהראש, יש שתי זוויות + צלע משותפת.
ז.צ.ז מספק הוכחה אלגנטית.

ז.צ.ז ביישומים מתקדמים

ז.צ.ז הוא לב הטריאנגולציה - השיטה שבה משתמשים ב-GPS, בקרטוגרפיה (מיפוי), ובאסטרונומיה. בכל אחד מהתחומים האלה, מודדים זוויות וצלע ידועה אחת, ומסיקים את כל המידע הנותר על המשולש.

ז.צ.ז כיסוד למדידות מודרניות

מערכת ה-GPS שלכם

כשהטלפון מציג את מיקומכם, הוא מקבל אותות מ-3 או יותר לוויינים שמסתובבים סביב כדור הארץ. הזוויות והאורכים מורכבים בעקרונות של ז.צ.ז ומשפטים נוספים, ובסוף מתקבל מיקום במדויק של מטרים.

המיפוי של הודו (1802-1871)

ב-69 שנים, אנשי ה-Great Trigonometric Survey הקיפו את הודו עם משולשים גדולים. כל משולש - מודד את הצלע (בפועל בקרקע) ושתי זוויות. ז.צ.ז נתן את שאר הצלעות. דיוק: סנטימטרים על אלפי קילומטרים.

פרלקס - מרחק לכוכבים

אסטרונומים מודדים את אותו כוכב מנקודות שונות במסלול כדור הארץ סביב השמש (פעמיים בשנה). הצלע: קוטר המסלול ( $\approx 300$ מיליון ק"מ). הזוויות מודדים. ז.צ.ז נותן את המרחק.

ניווט ימי לפני GPS

ספנים השתמשו במכשיר 'סקסטנט' למדידת זווית בין כוכבים והאופק. שתי זוויות + ידיעת בסיס הספינה (אורך ידוע) = ז.צ.ז = מיקום הספינה במפה.

ארכאולוגיה

במדידת מבנים עתיקים, ארכאולוגים מודדים זוויות וצלעות נגישות. ז.צ.ז עוזר להם להסיק את כל המידות בלי להפריע לחפצים העתיקים.

ארכיטקטורה: גג בית

מהנדס שמתכנן גג משולש מספק לקבלן: זווית הגג + אורך הקיר התומך + זווית פנימית. הקבלן בונה לפי ז.צ.ז - אין צורך לדעת מראש את הגובה המדויק או את אורך השיפוע.

תרגול מדורג

תרגיל

תרגול 1 - זווית שלישית (קל)

במשולש נתונות זוויות $5 0^{\circ}$ ו- $7 0^{\circ}$ . מה הזווית השלישית?

18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 7 0^{\circ}

תרגיל

תרגול 2 - נימוק קומפקטי (בינוני)

נתון $∠ L = ∠ P$ , $∠ M = ∠ Q$ ו- $L M = P Q$ . השלימו נימוק לחפיפת $△ L M N$ ו- $△ P QR$ .

∠ L = ∠ P, ∠ M = ∠ Q, L M = P Q

תרגיל

תרגול 3 - צלע כלואה או לא (בינוני)

נתון $∠ A = ∠ D$ , $A C = D F$ ו- $∠ B = ∠ E$ . האם זה ז.צ.ז?

∠ A = ∠ D, A C = D F, ∠ B = ∠ E

זכרו את המילה בין

הטעות המסוכנת בז.צ.ז היא לקחת צלע שנראית נוחה אבל אינה מחברת את קודקודי שתי הזוויות. לפני כל מסקנה מסמנים את המילה בין על הציור או בתוך הראש.

מפת טעויות נפוצות בז.צ.ז

טעות	למה זו טעות	תיקון
לחשוב שזה צ.צ.ז (לא כלואה / SSA)	הצלע צריכה להיות בין שתי הזוויות הנתונות, לא צלע אחרת	מסמנים בציור: הצלע מחברת קודקודי הזוויות?
להשתמש בז.ז.ז (שלוש זוויות בלי צלע)	ז.ז.ז אינה משפט חפיפה - לא קובע גודל, רק צורה	תמיד צריך לפחות צלע אחת
לדלג על חישוב הזווית השלישית כשנדרש	ז.ז.צ (לא כלואה) דורש לחשב את הזווית השלישית	אם הצלע אינה כלואה: סכום 180 ואז ז.צ.ז
להתבלבל בין צ.ז.צ לז.צ.ז	צ.ז.צ - זווית כלואה. ז.צ.ז - צלע כלואה	סופרים: שתי צלעות (צ.ז.צ) או שתי זוויות (ז.צ.ז)?
להניח שהזווית הנתונה תמיד הזווית הכי גדולה	כל זווית יכולה להיות הזווית הנתונה - אין הבדל בין חדה, ישרה או קהה	ז.צ.ז עובד לכל גודל זווית בין 0 ל-180
לסמן זווית לא נכונה כ'הכלואה'	לפעמים יש כמה זוויות במשולש - חשוב לזהות איזו 'בין שתי הזוויות הנתונות'	מצביעים על שני קודקודי הזוויות, רואים איזו צלע מחברת אותם
להניח שהמשולש דמיוני (יש שלושה זוויות 60-80-90)	סכום זוויות חייב להיות בדיוק 180. $60 + 80 + 90 = 230 \neq = 180$	לבדוק: אם הזוויות לא מסכמות 180, הנתונים לא תקינים

קישור ללמידה

ז.צ.ז במסגרת הפרק

מהמודולים הקודמים

צ.צ.צ ו-צ.ז.צ נתנו לנו דרכים להוכיח חפיפה משלוש צלעות או שתי צלעות + זווית. עכשיו ז.צ.ז: שתי זוויות + צלע.

במודול הנוכחי

ז.צ.ז - שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן. שלוש משפטי החפיפה הבסיסיים סוגרים מעגל.

במודול הבא

נכיר מצבים שבהם הנתונים אינם מספיקים - דוגמאות נגד וטעויות נפוצות.

שאלות לחשיבה עמוקה

למה שתי זוויות וצלע כלואה מספיקות לחפיפה, אבל שתי זוויות בלבד אינן מספיקות?

למה ז.צ.ז שימושי כל כך במדידות בעולם הממשי?

אם בגאומטריה של כדור (ולא מישור), סכום הזוויות של משולש אינו 180 מעלות. האם ז.צ.ז עדיין עובד שם?

במשולש שווה שוקיים, אם נתונים שני זוויות הבסיס וצלע הבסיס - האם זה ז.צ.ז?

האם יכול להיות שיש שני משולשים עם אותן שלוש זוויות אבל בעלי גדלים שונים? איך זה מתאים לז.צ.ז?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה פירוש ז.צ.ז?

זווית, צלע כלואה, זווית
זווית, זווית, צלע
צלע, זווית, צלע
שלוש זוויות

2.מה תפקיד הצלע במשפט ז.צ.ז?

להיות בין שתי הזוויות הנתונות
להיות הצלע הקצרה ביותר
להיות מקבילה לציר
להיות חוצה זווית

3.בז.צ.ז עם הזוויות $A$ ו- $B$ , איזו צלע צריכה להיות נתונה?

$A B$
$B C$
$A C$
כל אחת

4.מה אפשר להסיק על הזווית השלישית במשולש שתי הזוויות שלו $5 0^{\circ}$ ו- $8 0^{\circ}$ ?

$5 0^{\circ}$
$9 0^{\circ}$
$13 0^{\circ}$
אין דרך לחשב

5.מהי טעות נפוצה בז.צ.ז?

להניח חפיפה משתי זוויות בלי צלע
לסמן זוויות מתאימות
לכתוב את שמות המשולשים
לבדוק את הצלע הכלואה

6.מי הוכיח את משפט ז.צ.ז במאות הראשונות לספירה?

אאוקלידס
פיתגורס
ארכימדס
תאלס

7.אם נתון ז.צ.ז ב- $△ A B C ≅ △ D E F$ ו- $A B = 12$ , מהו $D E$ ?

$12$
$6$
$24$
אי אפשר לדעת

8.במשולש שתי הזוויות $4 5^{\circ}$ ו- $4 5^{\circ}$ . מהי הזווית השלישית?

$9 0^{\circ}$
$4 5^{\circ}$
$6 0^{\circ}$
$12 0^{\circ}$

9.מודד קרקע משתמש בז.צ.ז כדי:

לחשב מרחקים בלתי-נגישים על ידי מדידת בסיס וזוויות אליו
לצייר משולשים יפים
להגדיל מפות
למדוד זמן

10.מה ההבדל בין צ.ז.צ לז.צ.ז?

צ.ז.צ - זווית כלואה בין שתי צלעות. ז.צ.ז - צלע כלואה בין שתי זוויות
אין הבדל
אחד למשולשים, השני למרובעים
השמות בעברית שונים

11.האם ז.ז.ז (שלוש זוויות בלבד) הוא משפט חפיפה?

לא. שלוש זוויות קובעות צורה אך לא גודל - זה דמיון
כן, תמיד
רק במשולש שווה צלעות
תלוי במורה

12.במשולש בעל $∠ A = 6 0^{\circ}, ∠ B = 7 0^{\circ}, ∠ C = 5 0^{\circ}$ , איזה משפט חפיפה אפשר להפעיל אם נדע גם את $A B = 8$ ?

ז.צ.ז - שתי זוויות והצלע ביניהן
צ.צ.צ
צ.ז.צ
ז.ז.ז

13.תלמיד נתן: "שתי זוויות שוות לפי הזוויות המתחלפות, וצלע משותפת. לפי ז.צ.ז מתקבלת חפיפה." מה הוא משלב?

ז.צ.ז עם תכונת זוויות מתחלפות (מישרים מקבילים)
צ.צ.צ
אין הוכחה תקפה
תיאוריית קבוצות

14.אם בז.צ.ז שתי הזוויות הן $6 0^{\circ}$ ו- $6 0^{\circ}$ , מה אפשר לומר על המשולש?

הוא שווה צלעות (כל הזוויות $6 0^{\circ})$
אין מספיק מידע
המשולש ישר זווית
המשולש קהה

15.אם נתון $∠ A = ∠ D, ∠ C = ∠ F, A C = D F$ , מהו המשפט?

ז.צ.ז (כי AC כלואה בין A ו-C)
צ.ז.צ
צ.צ.צ
אין משפט

16.כמה משולשים שונים אפשר לבנות עם זוויות $4 0^{\circ}$ ו- $8 0^{\circ}$ וצלע ביניהם של אורך $10$ ?

אחד בלבד (לפי ז.צ.ז)
שניים
אינסוף
אף אחד

17.אם נתון ז.צ.ז ב- $△ A B C ≅ △ D E F$ , איזה שוויון לא נובע ישירות מהחפיפה?

$∠ C + A B = ∠ F + D E$
$∠ C = ∠ F$
$A B = D E$
$B C = E F$

18.מהי הסיבה הגאומטרית-לוגית למה שתי זוויות + צלע כלואה מספיקות לחפיפה?

הזוויות קובעות את כיוון הצלעות, והצלע הכלואה קובעת את הגודל
כי כל המשולשים זהים
כי שלוש זוויות מספיקות
אין סיבה - זה רק חוק

19.במשולש שווה שוקיים, אם זוויות הבסיס שוות ויש לנו את הבסיס - איזה משפט חפיפה לחיתוך לשני משולשים?

ז.צ.ז (זוויות הבסיס שוות + בסיס משותף + זוויות חוצה הזווית שוות)
ז.ז.ז
אין דרך
צ.צ.צ

20.אילו שלושת המשפטים אנחנו מכירים עכשיו?

צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז
ז.ז.ז, צ.ז.צ, צ.צ.ז
צ.צ.צ, ז.ז.ז, ז.ז.ז
רק צ.צ.צ ו-צ.ז.צ