משפט ז.צ.ז

שתי זוויות והצלע שביניהן קובעות את המשולש

מה נבנה כאן

משפט ז.צ.ז משתמש בשתי זוויות ובצלע הכלואה ביניהן. הוא מתאים למצבים שבהם צורת המשולש נקבעת על ידי פתיחות הזוויות והמרחק ביניהן. במודול הזה נכיר את המשפט, נבין למה שתי זוויות קובעות גם את השלישית (סכום

18 0^{\circ}

), נתרגל ונראה יישומים.

זיהוי שתי זוויות

נזהה שתי זוויות מתאימות בכל משולש.

צלע כלואה

נבדוק שהצלע הנתונה נמצאת בין שתי הזוויות.

חישוב תומך

נשתמש בסכום זוויות במשולש כדי להבין מדוע שתי זוויות קובעות גם את השלישית.

יישומים

נראה איפה ז.צ.ז עובד במציאות - ניווט, מדידה, מיפוי.

למה שתי זוויות קובעות גם את השלישית

סכום הזוויות במשולש הוא תמיד $18 0^{\circ}$ . זה אומר שאם יודעים שתי זוויות, הזווית השלישית נקבעת אוטומטית: $∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A - ∠ B$ . לכן בז.צ.ז, נתון של שתי זוויות שווה בעצם לנתון על שלוש הזוויות. כל מה שחסר לחפיפה הוא גודל - והצלע הכלואה נותנת את זה.

זה אומר משהו עוצמתי על משפט ז.צ.ז: אם תקבלו $∠ A = ∠ D$ ו- $∠ C = ∠ F$ (זוויות שאינן הזוויות המבטיחות את הצלע הנתונה) - בעצם יש לכם גם $∠ B = ∠ E$ בחינם, מסכום 180. אז עם צלע אחת + שתי זוויות כלשהן בכל משולש, אפשר תמיד להפוך את זה למבנה ז.צ.ז על ידי חישוב הזווית השלישית. זוהי הסיבה שאחרי הוכחת ז.צ.ז, מקבלים את ז.ז.צ ("לא כלואה") בחינם - הוא שקול ל-ז.צ.ז בעצם.

תוצאה חשובה: ז.ז.צ עובד גם

אחרי שהוכחנו את ז.צ.ז, אנחנו יודעים גם משהו נוסף: שתי זוויות וצלע אחרת (לא הצלע הכלואה) גם מספיקות לחפיפה. למה? כי שתי הזוויות קובעות את השלישית, ואז יש לנו שתי זוויות והצלע הכלואה - מבנה ז.צ.ז.

אבל שימו לב: למרות שזה עובד, נהוג להוכיח חפיפה לפי ז.צ.ז עם הצלע הכלואה - זה הניסוח הקלאסי של המשפט. אם הצלע אינה כלואה, יש מורים שמדגישים שצריך קודם להראות שהזווית השלישית שווה.

חוק חשוב מהפרק הקודם: סכום הזוויות הפנימיות במשולש שווה תמיד ל- $18 0^{\circ}$ .

$∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$

מסקנה: אם יודעים שתי זוויות, ניתן לחשב את השלישית.

$math/029-angle$ הצלע שבין שתי הזוויות

בז.צ.ז לא מחפשים סתם שני סימוני זווית וצלע. מחפשים צלע שמחברת בדיוק את שני קודקודי הזוויות, כי היא נועלת גם את הגודל של המשולש.

הצלע שבין שתי הזוויות

משפט $ז.צ.ז$ אומר: אם שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן שוות בהתאמה בשני משולשים, המשולשים חופפים. המילה 'הכלואה' היא הקריטית - הצלע חייבת לחבר את שני הקודקודים שבהם נמצאות הזוויות הנתונות.

כך זה עובד: דמיינו שאתם מחזיקים מקל באורך מסוים. בקצה אחד שלו אתם מציבים זווית של, נניח, $4 0^{\circ}$ . בקצה השני - זווית של $7 0^{\circ}$ . שתי הזוויות הן ככיוונים בהם 'יוצאות' שתי הקרניים מהמקל. שתי הקרניים יפגשו בנקודה אחת ויחידה - וזהו הקודקוד השלישי של המשולש. אם תשנו את אורך המקל, תקבלו משולש דומה אבל בגודל אחר. אם תשמרו על אותו אורך מקל ועל אותן זוויות - תקבלו תמיד את אותו משולש, ולכן ז.צ.ז.

$∠ A = ∠ D, A B = D E, ∠ B = ∠ E$

הצלע חייבת להיות בין שתי הזוויות הנתונות, לא צלע אחרת במשולש. אם הזווית והצלע נמצאים באותו קצה אבל הזווית השנייה במקום אחר - זה כבר לא ז.צ.ז במובן הצר.

ז.צ.ז מול ז.ז.צ - מה ההבדל

מצב	מה נתון	כליאת הצלע?	האם משפט?
ז.צ.ז (קלאסי)	$∠ A, A B, ∠ B$	כן - $A B$ בין $∠ A$ ו- $∠ B$	כן (ישיר)
ז.ז.צ (לא כלואה)	$∠ A, ∠ B, B C$	לא - $B C$ מחוץ לזוויות הנתונות	כן (דרך סכום 180)
ז.ז.ז (שלוש זוויות)	$∠ A, ∠ B, ∠ C$	אין צלע	לא - דמיון בלבד
צ.ז.ז (זווית-צלע-זווית, סדר אחר)	$∠ A, A C, ∠ C$	כן - $A C$ בין הזוויות	כן (זה אותו ז.צ.ז)

עיקרון מנחה: שתי זוויות + כל צלע = מספיק לחפיפה.

אבל הניסוח הקלאסי הוא ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע הכלואה. כשהצלע אינה כלואה (ז.ז.צ), פשוט מחשבים את הזווית השלישית מסכום 180 ומקבלים את ז.צ.ז.

זה משפט שונה לגמרי מ-SSA (שתי צלעות וזווית לא כלואה) - שאינו משפט!

צלע כלואה בין שתי זוויות

הצלע AB כלואה בין הזוויות A ו-B, והצלע DE כלואה בין D ו-E.

נתוני ז.צ.ז

∠ A = ∠ D, A B = D E, ∠ B = ∠ E \Rightarrow △ A B C ≅ △ D E F

צ.ז.צ מול ז.צ.ז

משפט	מה כלוא	בדיקה מהירה
צ.ז.צ	זווית בין שתי צלעות	הצלעות נפגשות בקודקוד הזווית
ז.צ.ז	צלע בין שתי זוויות	הצלע מחברת את קודקודי הזוויות
צ.צ.צ	אין כליאה - שלוש צלעות	כל צלע מתאימה לאורך מסוים

ז.צ.ז במציאות - ניווט ומדידה

ז.צ.ז שימושי במצבים שבהם קל למדוד זוויות אבל קשה למדוד אורכים - למשל בימים מהתבטעי לעצמים רחוקים. במצב כזה, מודדים את אורך הקטע שבין שתי תחנות, ואת הזוויות מכל תחנה אל היעד.

ז.צ.ז במציאות

ניווט ימי

הספן יודע את המרחק בין שני סימני חוף וממדוד את הזוויות אליהם - וכך מוצא את מיקומו.

אסטרונומיה (פרלקס)

מדידת זווית לכוכב משני נקודות במסלול כדור הארץ - הוא הבסיס לחישוב מרחקים אסטרונומיים.

סקר קרקע

מודדים אורך בסיס ואת הזוויות, ומחשבים את גובה הר או רוחב נהר ללא צורך לטפס.

GPS

טריאנגולציה (שילוש) - שיטה המבוססת על משולשים יחידים מקבלים מזוויות וצלע.

ארכאולוגיה

במדידת מרחקים בחפירה משתמשים בז.צ.ז כדי לא להפריע לאתר העתיקות.

הנדסה

במדידת מרחקים בלתי-נגישים (תוך מנהרה, מעל פתח) הזווית והצלע הם נתונים זמינים.

דוגמה - נימוק לפי ז.צ.ז

כאן נבנה נימוק קצר סביב המילה כלואה: קודם מזהים את שתי הזוויות, אחר כך מראים שהצלע הנתונה נמצאת ביניהן, ורק בסוף כותבים חפיפה.

$math/013-trigonometry$ דוגמה 1 - נימוק לפי ז.צ.ז

שלב 1 מתוך 8

נתון

∠ A = ∠ D

A B = D E

ו-

∠ B = ∠ E

. נמקו חפיפה ופרטו את כל הצעדים.

הצעד הראשון: לזהות את שתי הזוויות הנתונות בכל משולש. במשולש הראשון - $∠ A$ ו- $∠ B$ ; במשולש השני - $∠ D$ ו- $∠ E$ .

∠ A, ∠ B, ∠ D, ∠ E

$math/030-equation$ דוגמה 2 - נימוק קצר ואז מסקנה

שלב 1 מתוך 4

נתון

∠ A B C = ∠ D E F

∠ A C B = ∠ D F E

ו-

B C = E F

. נמקו חפיפה והסיקו

A C = D F

איזה קודקוד מתאים ל- $A$ ?

איך מזהים ז.צ.ז

סמנו שתי זוויות

בדקו שהן מתאימות בשני המשולשים.

אל תדלגו על סדר הקודקודים.

חפשו את הצלע ביניהן

הצלע מחברת את קודקודי הזוויות.

צלע אחרת אינה ז.צ.ז.

השלימו נימוק

כתבו את שמות המשולשים לפי ההתאמה.

ציינו: לפי ז.צ.ז.

שלד נימוק קצר

כתיבה יעילה בז.צ.ז: מציינים שני זוגות זוויות מתאימות, מציינים שהצלע הנתונה כלואה ביניהן, ואז מסיימים בשם המשפט. לא כותבים שנראה מהציור ולא משתמשים בצלע שאינה בין הזוויות.

$math/026-reason$ דוגמאות לז.צ.ז

מתאים

$∠ A = ∠ D$ , $A B = D E$ , $∠ B = ∠ E$ . הצלע בין הזוויות.

לא מתאים

$∠ A = ∠ D$ , $A C = D F$ , $∠ B = ∠ E$ . הצלע אינה בין A ו-B.

מתאים

$∠ B = ∠ E$ , $B C = E F$ , $∠ C = ∠ F$ . הצלע BC בין B ו-C.

ז.ז.ז

$∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F$ . שלוש זוויות בלבד - לא משפט חפיפה!

ארבעה דפוסי הוכחה עם ז.צ.ז

כשפותרים בעיות חפיפה, ז.צ.ז מתחבא לעיתים קרובות מאחורי דפוסים גאומטריים מקובלים. הנה ארבעת הדפוסים הנפוצים שבהם תיתקלו:

דפוסים נפוצים שמובילים לז.צ.ז

$math/014-geometry$

דפוס 1: קווים מקבילים

כש- $A B ∥ C D$ , יש זוויות מתחלפות שוות.

צלע משותפת או נתונה - והופ, ז.צ.ז.

מאוד שכיח בבעיות מקביליות וטרפזים.

$math/007-triangle$

דפוס 2: תמשולש מולכים

כשבעיה מציגה שני קווים שיוצאים מנקודה משותפת.

הזווית בנקודה המשותפת = זווית כלואה.

אם יש עוד זווית ידועה - ז.צ.ז.

דפוס 3: זוויות מתחלפות בקודקוד

כששני קווים נחתכים, יוצרים זוויות קודקודיות שוות.

הצלע המשותפת או נתונה.

פותר רוב בעיות 'איקס' ו'בולעים'.

$math/017-ruler$

דפוס 4: משולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות.

כשנמתח קטע מהראש, יש שתי זוויות + צלע משותפת.

ז.צ.ז מספק הוכחה אלגנטית.

ז.צ.ז ביישומים מתקדמים

ז.צ.ז הוא לב הטריאנגולציה - השיטה שבה משתמשים ב-GPS, בקרטוגרפיה (מיפוי), ובאסטרונומיה. בכל אחד מהתחומים האלה, מודדים זוויות וצלע ידועה אחת, ומסיקים את כל המידע הנותר על המשולש.

ז.צ.ז כיסוד למדידות מודרניות

מערכת ה-GPS שלכם

כשהטלפון מציג את מיקומכם, הוא מקבל אותות מ-3 או יותר לוויינים שמסתובבים סביב כדור הארץ. הזוויות והאורכים מורכבים בעקרונות של ז.צ.ז ומשפטים נוספים, ובסוף מתקבל מיקום במדויק של מטרים.

המיפוי של הודו (1802-1871)

ב-69 שנים, אנשי ה-Great Trigonometric Survey הקיפו את הודו עם משולשים גדולים. כל משולש - מודד את הצלע (בפועל בקרקע) ושתי זוויות. ז.צ.ז נתן את שאר הצלעות. דיוק: סנטימטרים על אלפי קילומטרים.

פרלקס - מרחק לכוכבים

אסטרונומים מודדים את אותו כוכב מנקודות שונות במסלול כדור הארץ סביב השמש (פעמיים בשנה). הצלע: קוטר המסלול ( $\approx 300$ מיליון ק"מ). הזוויות מודדים. ז.צ.ז נותן את המרחק.

ניווט ימי לפני GPS

ספנים השתמשו במכשיר 'סקסטנט' למדידת זווית בין כוכבים והאופק. שתי זוויות + ידיעת בסיס הספינה (אורך ידוע) = ז.צ.ז = מיקום הספינה במפה.

$math/016-drawing compass$

ארכאולוגיה

במדידת מבנים עתיקים, ארכאולוגים מודדים זוויות וצלעות נגישות. ז.צ.ז עוזר להם להסיק את כל המידות בלי להפריע לחפצים העתיקים.

ארכיטקטורה: גג בית

מהנדס שמתכנן גג משולש מספק לקבלן: זווית הגג + אורך הקיר התומך + זווית פנימית. הקבלן בונה לפי ז.צ.ז - אין צורך לדעת מראש את הגובה המדויק או את אורך השיפוע.

תרגול מדורג

תרגול 1 - זווית שלישית (קל)

בסיסי

במשולש נתונות זוויות $5 0^{\circ}$ ו- $7 0^{\circ}$ . מה הזווית השלישית?

18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 7 0^{\circ}

תרגול 2 - נימוק קומפקטי (בינוני)

בינוני

נתון $∠ L = ∠ P$ , $∠ M = ∠ Q$ ו- $L M = P Q$ . השלימו נימוק לחפיפת $△ L M N$ ו- $△ P QR$ .

∠ L = ∠ P, ∠ M = ∠ Q, L M = P Q

תרגול 3 - צלע כלואה או לא (בינוני)

בינוני

נתון $∠ A = ∠ D$ , $A C = D F$ ו- $∠ B = ∠ E$ . האם זה ז.צ.ז?

∠ A = ∠ D, A C = D F, ∠ B = ∠ E

זכרו את המילה בין

הטעות המסוכנת בז.צ.ז היא לקחת צלע שנראית נוחה אבל אינה מחברת את קודקודי שתי הזוויות. לפני כל מסקנה מסמנים את המילה בין על הציור או בתוך הראש.

מפת טעויות נפוצות בז.צ.ז

טעות	למה זו טעות	תיקון
לחשוב שזה צ.צ.ז (לא כלואה / SSA)	הצלע צריכה להיות בין שתי הזוויות הנתונות, לא צלע אחרת	מסמנים בציור: הצלע מחברת קודקודי הזוויות?
להשתמש בז.ז.ז (שלוש זוויות בלי צלע)	ז.ז.ז אינה משפט חפיפה - לא קובע גודל, רק צורה	תמיד צריך לפחות צלע אחת
לדלג על חישוב הזווית השלישית כשנדרש	ז.ז.צ (לא כלואה) דורש לחשב את הזווית השלישית	אם הצלע אינה כלואה: סכום 180 ואז ז.צ.ז
להתבלבל בין צ.ז.צ לז.צ.ז	צ.ז.צ - זווית כלואה. ז.צ.ז - צלע כלואה	סופרים: שתי צלעות (צ.ז.צ) או שתי זוויות (ז.צ.ז)?
להניח שהזווית הנתונה תמיד הזווית הכי גדולה	כל זווית יכולה להיות הזווית הנתונה - אין הבדל בין חדה, ישרה או קהה	ז.צ.ז עובד לכל גודל זווית בין 0 ל-180
לסמן זווית לא נכונה כ'הכלואה'	לפעמים יש כמה זוויות במשולש - חשוב לזהות איזו 'בין שתי הזוויות הנתונות'	מצביעים על שני קודקודי הזוויות, רואים איזו צלע מחברת אותם
להניח שהמשולש דמיוני (יש שלושה זוויות 60-80-90)	סכום זוויות חייב להיות בדיוק 180. $60 + 80 + 90 = 230 \neq = 180$	לבדוק: אם הזוויות לא מסכמות 180, הנתונים לא תקינים

זכרו את המילה בין

בז.צ.ז הצלע חייבת להיות בין שתי הזוויות. אם היא לא מחברת את שני קודקודי הזוויות, אין לנו את משפט ז.צ.ז.

סמנו את שתי הזוויות.
חברו ביניהן בדמיון עם קטע.
בדקו אם זו הצלע הנתונה.
אם כן - יש ז.צ.ז. אם לא - חפשו משפט אחר.

קישור ללמידה

$math/020-math book$ ז.צ.ז במסגרת הפרק

מהמודולים הקודמים

צ.צ.צ ו-צ.ז.צ נתנו לנו דרכים להוכיח חפיפה משלוש צלעות או שתי צלעות + זווית. עכשיו ז.צ.ז: שתי זוויות + צלע.

במודול הנוכחי

ז.צ.ז - שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן. שלוש משפטי החפיפה הבסיסיים סוגרים מעגל.

במודול הבא

נכיר מצבים שבהם הנתונים אינם מספיקים - דוגמאות נגד וטעויות נפוצות.

שאלות לחשיבה עמוקה

שאלה לחשיבה

למה שתי זוויות וצלע כלואה מספיקות לחפיפה, אבל שתי זוויות בלבד אינן מספיקות?

שתי זוויות קובעות את צורת המשולש, כי הזווית השלישית נקבעת מסכום 180 מעלות. אבל בלי צלע באורך קבוע אפשר להגדיל או להקטין את המשולש. הצלע הכלואה קובעת את הגודל ולכן מתקבלת חפיפה.

שאלה לחשיבה

למה ז.צ.ז שימושי כל כך במדידות בעולם הממשי?

במצבים רבים, קל למדוד זוויות (במכשירים אופטיים) אבל קשה למדוד אורכים (אם הם בלתי-נגישים). אם יש בידינו רק אורך אחד (קל למדידה) ושתי זוויות (גם קלות), ז.צ.ז מבטיח שאפשר לחשב את כל המשולש מהנתונים האלה. זו הסיבה שמודדי קרקע, ספנים ואסטרונומים השתמשו בז.צ.ז לאלפי שנים.

שאלה לחשיבה

אם בגאומטריה של כדור (ולא מישור), סכום הזוויות של משולש אינו 180 מעלות. האם ז.צ.ז עדיין עובד שם?

במישור הרגיל (אאוקלידי), ז.צ.ז עובד תמיד. בגאומטריה של כדור (שבה משולש משלושה קווי אורך וקו רוחב יכול להיות 270 מעלות סך הכל!), ז.צ.ז עדיין עובד באופן עקרוני - שתי זוויות וצלע ביניהן עדיין קובעות משולש יחיד. אבל הזווית השלישית לא תהיה $18 0^{\circ} - ∠_{1} - ∠_{2}$ פשוט. זה לא חלק מתוכנית הלימודים בכיתה ח, אבל מראה שהעקרונות עוברים גם לגאומטריות מתקדמות יותר.

שאלה לחשיבה

במשולש שווה שוקיים, אם נתונים שני זוויות הבסיס וצלע הבסיס - האם זה ז.צ.ז?

כן! במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות (למשל $∠ B = ∠ C$ ). הבסיס הוא הצלע $B C$ , והוא נמצא בדיוק בין שתי הזוויות $∠ B$ ו- $∠ C$ . אם יש לכם שני משולשים שווי שוקיים עם אותם זוויות בסיס ואותו אורך בסיס - הם חופפים לפי ז.צ.ז. זוהי דרך נחמדה לזהות חפיפה במשולשים שווי שוקיים בלי לדעת את אורכי השוקיים. למעשה, זוויות הבסיס + הבסיס הם 'תעודת הזהות' של משולש שווה שוקיים, וז.צ.ז הוא הסיבה שתעודת הזהות הזו תקפה.

שאלה לחשיבה

האם יכול להיות שיש שני משולשים עם אותן שלוש זוויות אבל בעלי גדלים שונים? איך זה מתאים לז.צ.ז?

כן! זה בדיוק מה שקורה במשולשים דומים. שני משולשים יכולים להיות בעלי אותם זוויות בדיוק (למשל שניהם משולש 3-4-5 ישר זווית), אבל בגדלים שונים - אחד עם צלעות 3, 4, 5 ואחר עם צלעות 6, 8, 10. הם דומים אבל לא חופפים. ז.צ.ז דורש את הצלע הכלואה כדי לקבוע את הגודל. בלי הצלע, יש לנו רק 'תבנית' של המשולש. זה הבדל יסודי בין דמיון לחפיפה: דמיון = אותה צורה. חפיפה = אותה צורה ואותו גודל. בכיתה ט תלמדו על דמיון בעמקות, ותראו שדמיון הוא הכללה של חפיפה - ז.ז.ז מספיק לדמיון, אבל לא לחפיפה.

מה הלאה

במודול הבא נראה מתי הנתונים אינם מספיקים - דוגמאות נגד שמראות שלא כל שלושה נתונים מספיקים לחפיפה. זה ילמד אותנו לזהות מצבים שבהם צריך זהירות נוספת.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 20

אם נתון ז.צ.ז ב- $△ A B C ≅ △ D E F$ ו- $A B = 12$ , מהו $D E$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משפט ז.צ.ז כבר מוכן.

פתחו תרגול

משפט ז.צ.ז

מה נבנה כאן

למה שתי זוויות קובעות גם את השלישית

תוצאה חשובה: ז.ז.צ עובד גם

הצלע שבין שתי הזוויות

הצלע שבין שתי הזוויות

ז.צ.ז מול ז.ז.צ - מה ההבדל

צ.ז.צ מול ז.צ.ז

ז.צ.ז במציאות - ניווט ומדידה

ז.צ.ז במציאות

ניווט ימי

אסטרונומיה (פרלקס)

סקר קרקע

GPS

ארכאולוגיה

הנדסה

דוגמה - נימוק לפי ז.צ.ז

דוגמה 1 - נימוק לפי ז.צ.ז

דוגמה 2 - נימוק קצר ואז מסקנה

איך מזהים ז.צ.ז

סמנו שתי זוויות

חפשו את הצלע ביניהן

השלימו נימוק

שלד נימוק קצר

דוגמאות לז.צ.ז

מתאים

לא מתאים

מתאים

ז.ז.ז

ארבעה דפוסי הוכחה עם ז.צ.ז

דפוסים נפוצים שמובילים לז.צ.ז

דפוס 1: קווים מקבילים

דפוס 2: תמשולש מולכים

דפוס 3: זוויות מתחלפות בקודקוד

דפוס 4: משולש שווה שוקיים

ז.צ.ז ביישומים מתקדמים

ז.צ.ז כיסוד למדידות מודרניות

מערכת ה-GPS שלכם

המיפוי של הודו (1802-1871)

פרלקס - מרחק לכוכבים

ניווט ימי לפני GPS

ארכאולוגיה

ארכיטקטורה: גג בית

תרגול מדורג

תרגול 1 - זווית שלישית (קל)

תרגול 2 - נימוק קומפקטי (בינוני)

תרגול 3 - צלע כלואה או לא (בינוני)

זכרו את המילה בין

מפת טעויות נפוצות בז.צ.ז

זכרו את המילה בין

קישור ללמידה

ז.צ.ז במסגרת הפרק

מהמודולים הקודמים

במודול הנוכחי

במודול הבא

שאלות לחשיבה עמוקה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

מה הלאה

אם נתון ז.צ.ז ב-△ABC≅△DEF ו-AB=12, מהו DE?

משפט ז.צ.ז

מעבר לדף התרגול של המודול

$math/029-angle$ הצלע שבין שתי הזוויות

$math/013-trigonometry$ דוגמה 1 - נימוק לפי ז.צ.ז

$math/030-equation$ דוגמה 2 - נימוק קצר ואז מסקנה

$math/026-reason$ דוגמאות לז.צ.ז

$math/020-math book$ ז.צ.ז במסגרת הפרק

אם נתון ז.צ.ז ב- $△ A B C ≅ △ D E F$ ו- $A B = 12$ , מהו $D E$ ?