גרסת הדפסה | החוברת

אותו משולש בדיוק, גם אחרי הזזה, סיבוב או שיקוף

מה נבנה כאן

חפיפת משולשים היא הדרך המדויקת לומר ששני משולשים זהים בגודל ובצורה. בפרק הזה לא מסתפקים בתחושה שהציור נראה דומה, אלא בודקים אם אפשר לכסות משולש אחד בשני בדיוק. זו נקודת מפנה במתמטיקה: עוברים מ"ציור משכנע" ל"נימוק לוגי".

הגדרה: נזהה חפיפה ככיסוי מדויק של כל הקודקודים, הצלעות והזוויות.
תנועה קשיחה: נבין שהזזה, סיבוב ושיקוף אינם משנים אורכים או זוויות.
סימן וסדר: נכיר את הסימן $≅$ ונלמד למה הסדר באותיות חשוב.
הבחנה: נבדיל בין חפיפה לבין דמיון שבו הצורה נשמרת אבל הגודל משתנה.
שימושים: נראה איך חפיפה משמשת בהנדסה, באומנות ובחיי היומיום.

למה זה חשוב לדעת לזהות חפיפה

כל פעם שמהנדסת בודקת אם שני חלקי גשר תואמים, כל פעם שאמן עיצוב גרפי משכפל צורה, כל פעם שמודד קרקע משווה מפה לשטח - מאחורי הקלעים פועל הרעיון של חפיפה. כששני אובייקטים חופפים, אפשר להחליף אחד בשני בלי לשנות שום דבר במערכת.

איפה רואים חפיפה במציאות

הנדסה ובנייה

גגות עם משולשי תמיכה זהים, חוזק שווה לכל קצה.

אריחים ופרקטים

חפיפה בין אריחים מאפשרת ריצוף ללא רווחים.

ייצור תעשייתי

חלקי חילוף חייבים להיות חופפים כדי להחליף זה את זה.

אומנות וסימטריה

מנדלות, פסיפסים ועיטורים בנויים על משולשים חופפים.

מיפוי וניווט

מודדי קרקע מסיקים מרחקים לא מדידים מחפיפת משולשים.

הוכחות במתמטיקה

חפיפה היא הבסיס להוכחה של תכונות בריבועים, מקבילים ועוד.

חפיפה היא כיסוי מדויק

לפני שמחפשים משפט חפיפה, צריך להבין מה בכלל נשמר. חפיפה מתחילה מהרעיון של תנועה קשיחה: מזיזים, מסובבים או משקפים את המשולש, אבל לא מותחים אותו ולא משנים את אורכי הצלעות. אם צריך אפילו טיפה למתוח, הקסם נגמר וזו כבר לא חפיפה.

חפיפה היא כיסוי מדויק

שני משולשים חופפים הם שני משולשים שאפשר להניח זה על זה כך שכל קודקוד נופל על קודקוד מתאים, כל צלע על צלע מתאימה וכל זווית על זווית מתאימה.

△ A B C ≅ △ D E F

אם צריך למתוח, לכווץ או להגדיל משולש כדי שיכסה את האחר, זו כבר לא חפיפה אלא דמיון.

תמונה הממחישה חפיפת משולשים באמצעות הזזה סיבוב ושיקוף של אותו משולש — משולשים חופפים יכולים לכסות זה את זה בדיוק גם אחרי הזזה, סיבוב או שיקוף.

אותו משולש בשני מקומות

שני המשולשים שומרים על אותם אורכי צלעות, גם אם הם מצוירים במקום אחר.

סימן החפיפה וסדר הקודקודים

במתמטיקה משתמשים בסימן מיוחד לחפיפה:

≅

. הוא נראה כמו סימן שווה (

=

) עם גל עליון, וזו לא מקריות. הגל מסמל שהצורה זהה (כמו דמיון) והקו הישר מסמל שהגודל זהה (כמו שוויון). חפיפה היא בדיוק הצירוף של שני הדברים.

סימון חפיפה

△ A B C ≅ △ D E F

מה מותר ומה אסור בבדיקת חפיפה

פעולה	האם שומרת חפיפה?	למה
הזזה	כן	כל הנקודות זזות באותו כיוון ואותו מרחק
סיבוב	כן	האורכים והזוויות אינם משתנים
שיקוף	כן	מתקבלת תמונת ראי באותו גודל
שילוב הזזה וסיבוב	כן	כל תנועה קשיחה אחת שומרת, גם השרשור שלהן
הגדלה פי $k > 1$	לא	הצורה נשמרת אבל הצלעות מתארכות
הקטנה פי $k < 1$	לא	הצורה נשמרת אבל הצלעות מתקצרות
מתיחה בכיוון אחד	לא	הצורה משתנה - לא תנועה קשיחה
שינוי זווית אחת	לא	כבר לא אותו משולש

ההבדל בין חפיפה לבין דמיון

אחת הטעויות הנפוצות היא לבלבל חפיפה עם דמיון. שני המושגים קרובים, אבל ההבדל הוא חד: חפיפה היא שווה גודל ושווה צורה. דמיון הוא שווה צורה בלבד. בכיתה ט תלמדו את הדמיון לעומק. כאן עובדים רק עם חפיפה.

חפיפה או רק דמיון?

חפיפה

אותה צורה ואותו גודל. אפשר לכסות בדיוק אחרי הזזה, סיבוב או שיקוף.

$△ A B C ≅ △ D E F$

דמיון

אותה צורה אבל לא בהכרח אותו גודל. הגדלה או הקטנה שומרת זוויות, לא חפיפה.

משולש קטן ומשולש מוגדל עם אותן זוויות.

כל זוג משולשים חופפים הוא בהכרח דומים, אבל לא ההפך. חפיפה היא דמיון עם יחס $k = 1$ .

רגע של היסטוריה - אאוקלידס והגאומטריה הקלאסית

המתמטיקאי היווני אאוקלידס, שחי באלכסנדריה לפני כ-2300 שנה, היה הראשון שהציג את חפיפת המשולשים כחלק ממערכת מסודרת של נימוקים. בספרו "היסודות" (Στοιχεῖα) הוא בנה את כל הגאומטריה משלושה משפטי חפיפה בלבד. עד היום, כששני בנאים בודקים אם שני אריחים זהים, הם משתמשים ברעיונות שאוקלידס ניסח.

דוגמה - בודקים חפיפה אחרי סיבוב

בדוגמה הזו נפריד בין שינוי מקום לבין שינוי גודל. תלמידים רבים רואים משולש מסובב וחושבים שהוא שונה, לכן נבדוק מה באמת השתנה ומה נשאר קבוע.

דוגמה 1 - בודקים חפיפה אחרי סיבוב

למשולשאחדצלעותבאורכים m 4, 5, 6 / m .למשולששניאותםאורכים, והואמצוירמסובבב - m 9 0^{\circ} / m .האםהסיבובמשנהאתהחפיפה ?

משווים את שלושת אורכי הצלעות. כל אורך במשולש הראשון מופיע גם במשולש השני.
$4 = 4, 5 = 5, 6 = 6$
סיבוב הוא תנועה קשיחה, לכן הוא אינו משנה אורכי צלעות או גדלי זוויות.
$אורכים וזוויות נשמרים$
אחרי הסיבוב, אפשר להניח את המשולש המסובב על המקורי בדיוק.
$△ A B C ≅ △ A^{'} B^{'} C^{'}$

תשובה:

כן.המשולשיםחופפים, כיאפשרלכסותאחדבשניאחריסיבוב.

דוגמה 2 - למה הגדלה מפילה חפיפה

משולש m A B C / m הוגדלפי m 2 / m וקיבלנומשולש m D E F / m .כלהזוויותנשמרו.האםאפשרלכתוב m △ A B C ≅ △ D E F / m ?

שוויון זוויות אומר שהצורה נשמרת.
$∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F$
אבל ההגדלה משנה את אורכי הצלעות.
$D E = 2 A B, E F = 2 B C, D F = 2 A C$
לכן אין כיסוי מדויק בלי שינוי גודל.
$△ A B C \neq ≅ △ D E F$

תשובה:

לא.זודמיוןבלבד, לאחפיפה.

בדיקות מהירות מחיי הכיתה

שבלונה

אם שני ציורים של משולש נכנסים לאותה שבלונה בדיוק, זו בדיקת חפיפה טובה.

קיפול נייר

אם אחרי קיפול שני חלקים מכסים זה את זה, הקיפול הוא שיקוף ששומר חפיפה.

אריחים

אריח משולש שמונח בכיוון אחר עדיין חופף לאריח המקורי.

צילום

אם תצלמו משולש מאותו מרחק ותסובבו את הצילום, יתקבל משולש חופף.

ציור על שקף

אם תעתיקו משולש לשקף ותוכלו להניח אותו על המקורי, הוא חופף.

גריד מילימטרי

ספירת ריבועים על נייר משבצות עוזרת לבדוק שאורכי הצלעות שווים.

מה לא מספיק לחפיפה - טעויות נפוצות

תלמידים רבים נכשלים בחפיפה לא בגלל חוסר ידע, אלא בגלל בלבול בין מושגים. בואו נכיר את הטעויות הנפוצות לפני שנפגוש משפטים פורמליים, כך נדע מה לחפש.

מפת טעויות נפוצות

טעות	למה זו טעות	מה כן בודקים
שני המשולשים נראים זהים בציור	הציור עלול להטעות; דקויות באורכים אינן נראות לעין	משווים אורכי צלעות וגדלי זוויות במספרים
שתי הזוויות זהות	זוויות זהות מובילות לדמיון, לא בהכרח לחפיפה	צריך גם להוכיח שוויון של צלע אחת לפחות
שטח שווה משמעו חפיפה	שטח שווה לא מבטיח אותה צורה	בודקים את אורכי הצלעות והזוויות
היקף שווה משמעו חפיפה	אפשר ששני משולשים שונים בעלי אותו היקף	בודקים שלושת אורכי הצלעות בנפרד
משולש הפוך אינו חופף	שיקוף הוא תנועה קשיחה - שומר חפיפה	בודקים אורכים, לא רק כיוון

שיטת עבודה לבדיקת חפיפה

זיהוי

מסתכלים על שני המשולשים.
מסמנים קודקודים מתאימים.

מדידה

משווים אורכי צלעות.
משווים גדלי זוויות.

תנועה

מנסים מנטלית להזיז, לסובב או לשקף.
בודקים אם נדרשת הגדלה.

כתיבה

כותבים $△ A B C ≅ △ D E F$ .
מקפידים על סדר הקודקודים.

תרגול מדורג

תרגיל

תרגול 1 - האם זו חפיפה (קל)

לשני משולשים יש צלעות $3, 4, 5$ ו- $3, 4, 5$ . אחד מצויר הפוך. האם הם חופפים?

3, 4, 5

תרגיל

תרגול 2 - מתי זו לא חפיפה (בינוני)

משולש אחד דומה למשולש שני, אבל כל צלע במשולש השני גדולה פי $2$ . האם זו חפיפה?

k = 2

תרגיל

תרגול 3 - איזו פעולה שומרת חפיפה (בינוני)

משולש עבר פעולה אחת. בחרו האם עדיין אפשר לנמק חפיפה: סיבוב של $9 0^{\circ}$ , ואז הזזה של $5$ יחידות ימינה.

סיבוב 9 0^{\circ} + הזזה 5

קישור ללמידה הקודמת והבאה

מאיפה מגיעים, לאן הולכים

מכיתה ז: סוגי משולשים

כבר הכרתם משולש שווה צלעות, שווה שוקיים, ישר זווית. עכשיו לומדים מתי שני משולשים שייכים ל"אותה משפחה" באותו גודל.

כיתה ח עכשיו

חפיפה היא הבסיס לכל הפרק. נבנה ממנה משפטי צ.ז.צ, ז.צ.ז וצ.צ.צ, ונשלב עם משולש שווה שוקיים.

לכיתה ט: דמיון

תלמדו דמיון - הרחבה של חפיפה שבה הצורה נשמרת אבל הגודל יכול להשתנות. חפיפה היא דמיון מיוחד עם $k = 1$ .

שאלות לחשיבה עמוקה

למה הגדלה של משולש אינה נחשבת חפיפה, גם אם כל הזוויות נשארות שוות?

אם שני משולשים בעלי אותו היקף (סכום שלוש צלעות), האם הם בהכרח חופפים?

אם הופכים את כיוון השעון של סיבוב שעון מ- $9 0^{\circ}$ עם כיוון השעון ל- $9 0^{\circ}$ נגד כיוון השעון, האם המשולש החדש עדיין חופף למקורי?

חפיפה במציאות - תעשייה, טכנולוגיה, וביולוגיה

חפיפה אינה רק מושג מתמטי - היא יסוד של עולם הייצור המודרני. כל מוצר שיוצא מפס ייצור בכמות גדולה (טלפונים, מכוניות, בקבוקים) מסתמך על חפיפה: כל יחידה חייבת להיות חופפת ליתר. הסטיה הקטנה ביותר היא 'פגם' שגורם לפסילה.

חפיפה בעולם הממשי

ייצור תעשייתי

כל בורג, כל מסך, כל בקבוק שיוצאים מפס ייצור הם חופפים זה לזה. רובוטים בודקים את הממדים, וכל יחידה שאינה חופפת לסטנדרט נפסלת. סטיה של מילימטר אחד יכולה להיות 'פגם'.

טכנולוגיה: מעבדים

במעבדים אלקטרוניים, מיליארדי טרנזיסטורים זהים מודפסים על שבב סיליקון. הם חייבים להיות חופפים ברמת הננומטר - אחרת המעבד לא יעבוד.

ביולוגיה: שכפול תאים

כשתא מתחלק, שני תאי הבת חופפים אחד לשני (ברמה הביולוגית). DNA מבטיח שכל תא בגוף שלך חופף לתאים אחרים מאותו סוג ברמה הגנטית והפיזית.

אריגה ועיצוב

כל קישוט שחוזר על עצמו (בקיר, בבד, בריצוף) מסתמך על חפיפה. אם שתי אריחי קרמיקה אינן חופפות, הריצוף ייראה 'מעוות'.

מוזיאונים ושחזור

כשמשחזרים יצירת אמנות פגומה, האמן יוצר חלקי תיקון שחופפים לחלקי המקור. כל סטיה גורמת לחוסר התאמה ויזואלי.

ארכיטקטורה: סימטריה

מבנים סימטריים (כמו טאג' מהאל בהודו) דורשים שכל הצדדים יהיו חופפים. אם החצי השמאלי שונה במשהו מהימני, הסימטריה נשברת.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי חפיפה במשולשים?

אותו משולש בדיוק - אותה צורה ואותו גודל
משולשים שיש להם אותו צבע
משולשים שמצוירים אחד ליד השני
משולשים בעלי אותה צורה אך גדלים שונים

2.איזו פעולה אינה שומרת על חפיפת משולשים?

הגדלה פי 2
הזזה
סיבוב
שיקוף

3.מה הסימן המתמטי לחפיפה?

$≅$
$=$
$\sim$
$\approx$

4.אם $△ A B C ≅ △ D E F$ , למי מתאים הקודקוד $B$ ?

$E$
$D$
$F$
אי אפשר לדעת בלי ציור

5.שני משולשים בעלי שטח זהה. האם הם בהכרח חופפים?

לא בהכרח. שטח שווה אינו מבטיח אותה צורה
כן, שטח שווה תמיד מבטיח חפיפה
כן, אם השטח גדול מ-100
תלוי במורה

6.מה ההבדל בין חפיפה לדמיון?

חפיפה - אותה צורה ואותו גודל; דמיון - אותה צורה אך יכולים להיות גדלים שונים
אין הבדל בין השניים
חפיפה היא רק לזוויות, דמיון רק לצלעות
דמיון תקף רק במשולשים שווי צלעות

7.מי מהבאים נחשב לתנועה קשיחה?

סיבוב
מתיחה של צלע אחת
כיווץ של זווית
הגדלה פי שלוש

8.משולש מסובב ב- $18 0^{\circ}$ . האם הוא חופף למקורי?

כן, סיבוב הוא תנועה קשיחה
לא, סיבוב גדול מקלקל את המשולש
רק אם המשולש שווה צלעות
אי אפשר לסובב משולש ב- $18 0^{\circ}$

9.אם $△ A B C ≅ △ X Y Z$ , איזה שוויון נכון?

$A B = X Y$
$A B = Y Z$
$A B = X Z$
$A C = Y Z$

10.מי ניסח את שלושת משפטי החפיפה לפני כ-2300 שנה?

אאוקלידס
פיתגורס
ארכימדס
ניוטון

11.שני משולשים, לראשון צלעות $5, 5, 6$ ולשני צלעות $5, 5, 7$ . האם הם חופפים?

לא. אורך אחד שונה
כן, רוב הצלעות שוות
כן, ההבדל קטן מדי
צריך לראות ציור כדי לדעת

12.אם משולש עבר שיקוף בלבד, האם הוא חופף למקורי?

כן, שיקוף הוא תנועה קשיחה
לא, שיקוף הופך את המשולש
רק אם המשולש סימטרי
תלוי בכיוון השיקוף

13.שני משולשים בעלי אותם שלושה אורכי צלעות אך מצוירים בכיוונים הפוכים. האם הם חופפים?

כן. אורכים שווים מבטיחים חפיפה גם אחרי שיקוף
לא, כיוון מנוגד פוסל חפיפה
רק אם הצבע זהה
צריך מדידה נוספת

14.תלמיד כותב $△ A B C ≅ △ F E D$ במקום $△ A B C ≅ △ D E F$ . מה הבעיה?

ההתאמה בין הקודקודים שונה - $A \leftrightarrow F$ ולא $A \leftrightarrow D$
אין בעיה, הסדר לא חשוב
הסימן $≅$ שגוי
צריך להוסיף שטח

15.מה משותף לחפיפה ולדמיון?

בשניהם הזוויות המתאימות שוות
בשניהם הצלעות המתאימות שוות
בשניהם השטח שווה
אין שום דבר משותף

16.לאיזה שימוש מעשי משתמשים בחפיפת משולשים?

כל התשובות נכונות: הנדסה, ייצור, אריחים ומיפוי
רק במתמטיקה תיאורטית
רק בציור אומנותי
אין שימוש מעשי

17.אם $△ A B C ≅ △ P QR$ , איזו זווית מתאימה ל- $∠ C$ ?

$∠ R$
$∠ P$
$∠ Q$
אי אפשר לדעת

18.מהי בדיקת הזהב לחפיפה (השאלה הקריטית לפני שכותבים נימוק)?

האם אפשר להגיע ממשולש אחד לשני בעזרת הזזה, סיבוב או שיקוף בלבד?
האם הציור יפה?
האם הצלעות הן מספרים שלמים?
האם המשולש עומד או הפוך?