גרסת הדפסה | החוברת

בונים הוכחות גאומטריות מלאות: מנתון לחפיפה, ומחפיפה לחלקים מתאימים שווים.

מה נבנה כאן

בבעיות גאומטריות אמיתיות משלבים כמה רעיונות יחד. שווה שוקיים נותן שוויון שוקיים או זוויות בסיס. תיכון נותן שוויון חצאי בסיס. חוצה זווית נותן שוויון זוויות. צלע משותפת נותנת שוויון נוסף. כל אלה יחד מאפשרים להוכיח חפיפה, ומחפיפה - להסיק עוד שוויונות חדשים. זוהי שיטת ההוכחה הקלאסית של גאומטריה.

שלב 1: רישום נתונים: כותבים את כל הנתונים מפורשות, כולל צלעות משותפות.
שלב 2: בחירת משפט: בודקים אם השוויונות תואמים צ.צ.צ, צ.ז.צ, או ז.צ.ז.
שלב 3: החפיפה: כותבים את החפיפה עם התאמת הקודקודים הנכונה.
שלב 4: חלקים מתאימים: מסיקים שוויונות חדשים של זוויות או צלעות מתאימות.

מבנה הוכחה גאומטרית

הוכחה גאומטרית היא לא ערמת חישובים אלא שרשרת לוגית. כל טענה מגיעה מנימוק (נתון, משפט, או הוכחה קודמת). אסור לדלג שלבים, ואסור להסיק מסקנה לפני שיש לה ביסוס. בפרק הזה נלמד לבנות הוכחות שלמות בעזרת שילוב חפיפה ותכונות שווה שוקיים.

מקורות שוויון בהוכחה

נתון

השוויונות הניתנים בבעיה - שוקיים שוות, אורכי צלעות, גדלי זוויות.

תכונת שווה שוקיים

אם השוקיים שוות אז זוויות הבסיס שוות, ולהפך.

תיכון נותן אמצע

אם נתון תיכון, הוא מחלק את הצלע ל-2 חלקים שווים.

חוצה זווית נותן חצי

אם נתון חוצה זווית, הוא מחלק אותה ל-2 חלקים שווים.

צלע משותפת

צלע שמופיעה בשני המשולשים שווה לעצמה (AD=AD).

זוויות צמודות לישר

שתי זוויות שיוצרות ישר מסתכמות ל- $180°$ . אם הן גם שוות - כל אחת $90°$ .

בונים נימוק קצר לפי שלבים

בבעיות משולבות לא משתמשים בכל המשפטים בבת אחת. בונים שרשרת לוגית: נתון של שווה שוקיים נותן שוויון אחד, תיכון נותן שוויון נוסף, וחפיפה מאפשרת להסיק חלקים מתאימים. כל שלב מבוסס על השלב הקודם.

השרשרת הלוגית

בבעיה משולבת לא מחפשים מיד תשובה מספרית. קודם שואלים: אילו נתונים יש? איזה משפט מתאים? מה מותר להסיק ממנו?

A B = A C \land B D = D C \land A D = A D \Rightarrow △ A B D ≅ △ A C D

מהחפיפה אפשר להסיק כל זוויות וצלעות מתאימות שוות, וזה הופך את ההוכחה לכלי חזק לקבל מסקנות חדשות שלא היו נתונות.

חפיפה בתוך משולש שווה שוקיים

AD משותפת, AB=AC (שוקיים), ו-BD=DC (תיכון). שני המשולשים הקטנים חופפים לפי צ.צ.צ.

שלושה שוויונות צלעות לחפיפה צ.צ.צ

A B = A C, B D = D C, A D = A D \Rightarrow △ A B D ≅ △ A C D

טבלת טענה ונימוק - הוכחה לדוגמה

שלב	טענה	נימוק
1	$A B = A C$	נתון (משולש שווה שוקיים)
2	$B D = D C$	AD תיכון לבסיס (נתון או הוכחה קודמת)
3	$A D = A D$	צלע משותפת
4	$△ A B D ≅ △ A C D$	מ-1, 2, 3 לפי משפט צ.צ.צ
5	$∠ B A D = ∠ D A C$	חלקים מתאימים במשולשים חופפים שווים (מ-4)
6	$∠ A D B = ∠ A D C$	חלקים מתאימים במשולשים חופפים שווים (מ-4)
7	$∠ A D B + ∠ A D C = 180°$	זוויות צמודות לישר $B C$
8	$∠ A D B = ∠ A D C = 90°$	מ-6, 7: שתי זוויות שוות שסכומן $180°$
9	$A D ⊥ B C$	מ-8: הגדרת מאונכות

דוגמה 1 - תיכון לבסיס בשווה שוקיים

בדוגמה הזו כל שוויון מקבל מקור ברור: שווה שוקיים, תיכון, או צלע משותפת. רק אחרי שיש שלושה שוויונות צלעות אפשר להפעיל את משפט החפיפה.

דוגמה 1 - תיכון לבסיס יוצר חפיפה

במשולששווהשוקיים m △ A B C / m עם m A B = A C / m, נתון m A D / m תיכוןלבסיס m B C / m .נמקושהמשולשים m △ A B D / m ו - m △ A C D / m חופפים.

השוקיים שוות לפי הנתון.
$A B = A C (נתון)$
$A D$ תיכון לבסיס, ולכן $D$ אמצע $B C$ .
$B D = D C (הגדרת תיכון)$
$A D$ היא צלע משותפת לשני המשולשים הקטנים.
$A D = A D (צלע משותפת)$
יש שלושה שוויונות צלעות בהתאמה.
$△ A B D ≅ △ A C D (צ.צ.צ)$

תשובה:

המשולשיםחופפיםלפימשפטצ.צ.צ.

דוגמה 2 - מוכיחים שהתיכון הוא גם גובה

במשולששווהשוקיים m △ A B C / m עם m A B = A C / m ו - m A D / m תיכוןלבסיס m B C / m, נמקוש - m A D ⊥ B C / m .

מתוך שווה שוקיים, מתוך התיכון, ומתוך צלע משותפת מקבלים שלושה שוויונות.
$A B = A C, B D = D C, A D = A D$
לכן שני המשולשים הקטנים חופפים לפי צ.צ.צ.
$△ A B D ≅ △ A C D$
מהחפיפה אפשר להסיק שזוויות מתאימות שוות.
$∠ A D B = ∠ A D C$
הזוויות $∠ A D B$ ו- $∠ A D C$ יושבות יחד על הישר $B C$ , ולכן סכומן $180°$ .
$∠ A D B + ∠ A D C = 180°$
שתי זוויות שוות שסכומן $180°$ - כל אחת $90°$ .
$∠ A D B = ∠ A D C = 90°$
זווית ישרה בין $A D$ ל- $B C$ פירושה ש- $A D$ מאונך ל- $B C$ , כלומר גובה.
$A D ⊥ B C$

תשובה:

m A D ⊥ B C / m, ולכן m A D / m הואגםגובהלבסיס.כךהוכחנואתההתלכדותתיכון - גובהבמשולששווהשוקיים.

אסטרטגיות בנייה של הוכחה

ארבעה צעדים לכתיבת הוכחה

1. רשמו נתונים

אל תשאירו נתון בראש בלבד.
כתבו שוויונות מפורשים.
זכרו את הצלעות המשותפות.

2. הפיקו מסקנות

תיכון נותן אמצע: $B D = D C$ .
חוצה זווית: $∠ B A D = ∠ D A C$ .
שווה שוקיים: זוויות בסיס שוות.

3. בחרו משפט

ספרו: כמה צלעות? כמה זוויות?
צ.צ.צ או צ.ז.צ או ז.צ.ז?
כתבו את ההתאמה הנכונה.

4. הסיקו חלקים

אחרי חפיפה: חלקים מתאימים שווים.
אל תסיקו לפני שהוכחתם חפיפה.
כתבו: "מהחפיפה..."

מסקנות אופייניות אחרי חפיפה

שוויון זוויות

אחרי $△ A B D ≅ △ A C D$ , אפשר להסיק $∠ B A D = ∠ D A C$ (חוצה זווית), $∠ A B D = ∠ A C D$ (זוויות בסיס), $∠ A D B = ∠ A D C$ (גובה).

שוויון צלעות

אחרי החפיפה: $B D = D C$ (תיכון). אם נתון אנך אמצעי, אפשר להסיק שגם הצלעות הצדדיות מהנקודה שעל האנך שוות.

מהאלכסון של הריבוע

אם $A B C D$ ריבוע ו- $A C$ אלכסון, אז $△ A B C ≅ △ A C D$ , ומכאן זוויות האלכסון שוות.

מקבילית דרך אלכסון

במקבילית האלכסון יוצר שני משולשים חופפים. ניתן להסיק שצלעות מנוגדות שוות.

תרגול - בניית הוכחות

תרגיל

תרגול 1 - זיהוי צלע משותפת

במשולשים $△ A B D$ ו- $△ A C D$ , איזו צלע משותפת לשניהם?

△ A B D, △ A C D

תרגיל

תרגול 2 - בוחרים את משפט החפיפה

נתון $A B = A C$ , $B D = D C$ וצלע משותפת $A D$ . איזה משפט חפיפה מתאים למשולשים $△ A B D$ ו- $△ A C D$ ?

A B = A C, B D = D C, A D = A D

תרגיל

תרגול 3 - חוצה זווית שמוביל לתיכון

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ נתון $A B = A C$ . הקטע $A D$ חוצה את זווית הראש: $∠ B A D = ∠ D A C$ . נמקו ש- $B D = D C$ .

A B = A C, ∠ B A D = ∠ D A C, A D = A D

טעויות נפוצות בהוכחות

בתרגילי חפיפה הטעות הכי מהירה היא להשתמש במסקנה לפני שנומקה. לכן שומרים על הסדר: נתונים ← חפיפה ← חלקים מתאימים שווים. בלי הסדר הזה, ההוכחה אינה תקפה.

טעויות נפוצות בהוכחות

הטעות	מה עושים במקום
להסיק חלקים מתאימים שווים בלי להוכיח חפיפה	תמיד קודם להוכיח חפיפה, אחר כך להסיק
לשכוח את הצלע המשותפת	לזכור: AD=AD חיוני למשפט צ.צ.צ
לכתוב צ.ז.צ בלי לציין את הזווית הכלואה	לוודא שהזווית הנתונה כלואה בין שתי הצלעות
להניח דברים מהציור	כל טענה צריכה נימוק (נתון, משפט, או הוכחה קודמת)
להשתמש בתוצאה לפני שמוכיחים אותה	סדר: 1 לפני 2 לפני 3
לכתוב את ההתאמה בין הקודקודים בסדר שגוי	$△ A B C ≅ △ D E F$ פירושו $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$

מחשבה - מה למדנו

למה חשוב לכתוב גם את הצלע המשותפת $A D = A D$ , הרי היא נראית מובנת מאליה?

מהו ההבדל בין "להוכיח שהמשולש שווה שוקיים" לבין "להוכיח שתיכון = גובה במשולש שווה שוקיים"?

למה כל ההוכחות בפרק הזה משתמשות באותה אסטרטגיה - חפיפת שני משולשים קטנים בתוך משולש גדול?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזו צלע משותפת למשולשים $△ A B D$ ו- $△ A C D$ ?

$A D$ (האותיות $A$ ו- $D$ מופיעות בשני המשולשים)
$B C$
$A B$
$C D$

2.אם $A B = A C$ , $B D = D C$ ו- $A D = A D$ , איזה משפט חפיפה מתאים?

צ.צ.צ (שלוש צלעות שוות בהתאמה)
ז.ז.ז
ז.צ.ז
אין משפט מתאים

3.מה אפשר להסיק מתיכון לבסיס $B C$ ?

$B D = D C$ (התיכון מגיע לאמצע הבסיס)
$A B = A C$
$∠ A = 90°$
כל הזוויות שוות

4.מה אפשר להסיק אחרי שהוכחנו שהמשולשים חופפים?

כל החלקים המתאימים (זוויות וצלעות) במשולשים החופפים שווים
כל משולש בעולם חופף
אין צורך בהתאמה
השטח של אחד המשולשים אפס

5.מהי הטעות הנפוצה ביותר בשרשרת נימוקים?

להסיק חלקים מתאימים שווים לפני שהוכחנו את החפיפה
לכתוב את כל הנתונים
לזהות צלע משותפת
לבדוק איזה משפט מתאים

6.מאיפה מגיע הנתון $A B = A C$ בבעיית חפיפה?

מנתון שהמשולש שווה שוקיים (השוקיים שוות)
מהעובדה ש- $A D$ תיכון
מכך שכל הצלעות במשולש שוות
מזווית מסוימת

7.נתון $A B = A C$ , $∠ B A D = ∠ D A C$ , ו- $A D = A D$ . איזה משפט חפיפה מתאים למשולשים $△ A B D$ ו- $△ A C D$ ?

צ.ז.צ (צלע, זווית כלואה, צלע)
צ.צ.צ
ז.ז.ז
אין מספיק נתונים

8.אחרי חפיפה הוכח ש- $∠ B D A = ∠ A D C$ . הזוויות יושבות על הישר $B C$ . מה המסקנה?

כל אחת $90°$ (שתי זוויות שוות שסכומן $180°$ ), ולכן $A D ⊥ B C$
כל אחת $45°$
המשולשים אינם חופפים
$A B = B D$

9.מתי משתמשים בכלי "חלקים מתאימים שווים"?

רק אחרי שהוכחנו שהמשולשים חופפים
כדי להוכיח שהמשולשים חופפים
במקום משפטי החפיפה
כל פעם שיש משולשים בציור

10.מהו הסדר הנכון של נימוק חפיפה במשולש שווה שוקיים?

נתונים ומסקנות ביניים ← בחירת משפט החפיפה ← הוכחת החפיפה ← הסקת חלקים מתאימים
חלקים מתאימים ← חפיפה ← נתונים
ציור ← תחושה ← תשובה
רק לכתוב את התשובה הסופית

11.במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , $A D$ חוצה זווית הראש. מה המסקנה ש- $B D = D C$ מתבססת עליה?

חפיפת $△ A B D ≅ △ A C D$ לפי צ.ז.צ ואז חלקים מתאימים שווים
תכונת הסימטריה הוויזואלית של הציור
תכונה גאומטרית בלי הוכחה
כי $A D$ זה תיכון בהגדרה

12.מה ההבדל בין שני המשפטים: "במשולש שווה שוקיים, התיכון לבסיס הוא גם גובה" ו-"אם תיכון = גובה במשולש, אז הוא שווה שוקיים"?

המשפט הראשון הוא תכונה של שווה שוקיים. המשפט השני הוא משפט הפוך לזיהוי שווה שוקיים. שניהם נכונים אך מיושמים בכיוונים שונים
המשפט הראשון נכון, השני שגוי
אין הבדל - שני המשפטים זהים
המשפט הראשון נכון רק במשולש ישר זווית

13.במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , $B E$ חוצה את $∠ B$ ו- $C F$ חוצה את $∠ C$ . למה $B E = C F$ ?

כי $∠ B = ∠ C$ (זוויות בסיס שוות), ולכן חצאיהן שוות, ואז ז.צ.ז עם $B C$ משותפת מוכיח חפיפה $△ B C E ≅ △ C B F$
כי הם נראים שווים בציור
כי בכל משולש חוצי זווית שווים
כי הם תמיד $90°$

14.במשולש $△ A B C$ מורידים גובה $A D$ מקודקוד $A$ לצלע $B C$ , ומסתבר ש- $D$ אמצע $B C$ . מהי המסקנה?

המשולש שווה שוקיים: $A B = A C$ (לפי משפט הפוך - אנך אמצעי לבסיס יוצר משולש שווה שוקיים)
המשולש ישר זווית בקודקוד $A$
אין מסקנה ממה שניתן
המשולש שווה צלעות

15.למה אסטרטגיה של חפיפת שני משולשים קטנים בתוך משולש שווה שוקיים מועילה כל כך?

כי ציר הסימטריה של המשולש מחלק אותו לשני חצאים שמתלכדים בקיפול. כל תכונות שווה שוקיים נובעות מאותה חפיפה
כי משולשים קטנים תמיד חופפים
כי זה הדרך היחידה לפתור בעיות גאומטריות
כי זה קל יותר לחישוב מספרי