שילוב חפיפה ושווה שוקיים - הוכחות
בונים הוכחות גאומטריות מלאות: מנתון לחפיפה, ומחפיפה לחלקים מתאימים שווים.
מה נבנה כאן
מבנה הוכחה גאומטרית
הוכחה גאומטרית היא לא ערמת חישובים אלא שרשרת לוגית. כל טענה מגיעה מנימוק (נתון, משפט, או הוכחה קודמת). אסור לדלג שלבים, ואסור להסיק מסקנה לפני שיש לה ביסוס. בפרק הזה נלמד לבנות הוכחות שלמות בעזרת שילוב חפיפה ותכונות שווה שוקיים.
מקורות שוויון בהוכחה
נתון
השוויונות הניתנים בבעיה - שוקיים שוות, אורכי צלעות, גדלי זוויות.
תכונת שווה שוקיים
אם השוקיים שוות אז זוויות הבסיס שוות, ולהפך.
תיכון נותן אמצע
אם נתון תיכון, הוא מחלק את הצלע ל-2 חלקים שווים.
חוצה זווית נותן חצי
אם נתון חוצה זווית, הוא מחלק אותה ל-2 חלקים שווים.
צלע משותפת
צלע שמופיעה בשני המשולשים שווה לעצמה (AD=AD).
זוויות צמודות לישר
שתי זוויות שיוצרות ישר מסתכמות ל-. אם הן גם שוות - כל אחת .
בונים נימוק קצר לפי שלבים
בבעיות משולבות לא משתמשים בכל המשפטים בבת אחת. בונים שרשרת לוגית: נתון של שווה שוקיים נותן שוויון אחד, תיכון נותן שוויון נוסף, וחפיפה מאפשרת להסיק חלקים מתאימים. כל שלב מבוסס על השלב הקודם.
השרשרת הלוגית
בבעיה משולבת לא מחפשים מיד תשובה מספרית. קודם שואלים: אילו נתונים יש? איזה משפט מתאים? מה מותר להסיק ממנו?
לדוגמה, אם ו-, אז במשולשים ו- יש שוויון של שוקיים, שוויון של חצאי בסיס, וצלע משותפת . שלושה שוויונות צלעות יחד = משפט צ.צ.צ.
מהחפיפה אפשר להסיק כל זוויות וצלעות מתאימות שוות, וזה הופך את ההוכחה לכלי חזק לקבל מסקנות חדשות שלא היו נתונות.
חפיפה בתוך משולש שווה שוקיים
AD משותפת, AB=AC (שוקיים), ו-BD=DC (תיכון). שני המשולשים הקטנים חופפים לפי צ.צ.צ.
שלושה שוויונות צלעות לחפיפה צ.צ.צ
טבלת טענה ונימוק - הוכחה לדוגמה
| שלב | טענה | נימוק |
|---|---|---|
| 1 | נתון (משולש שווה שוקיים) | |
| 2 | AD תיכון לבסיס (נתון או הוכחה קודמת) | |
| 3 | צלע משותפת | |
| 4 | מ-1, 2, 3 לפי משפט צ.צ.צ | |
| 5 | חלקים מתאימים במשולשים חופפים שווים (מ-4) | |
| 6 | חלקים מתאימים במשולשים חופפים שווים (מ-4) | |
| 7 | זוויות צמודות לישר | |
| 8 | מ-6, 7: שתי זוויות שוות שסכומן | |
| 9 | מ-8: הגדרת מאונכות |
סדר עבודה בנימוק - חוקי ברזל
דוגמה 1 - תיכון לבסיס בשווה שוקיים
בדוגמה הזו כל שוויון מקבל מקור ברור: שווה שוקיים, תיכון, או צלע משותפת. רק אחרי שיש שלושה שוויונות צלעות אפשר להפעיל את משפט החפיפה.
דוגמה 1 - תיכון לבסיס יוצר חפיפה
שלב 1 מתוך 4השוקיים שוות לפי הנתון.
דוגמה 2 - מוכיחים שהתיכון הוא גם גובה
שלב 1 מתוך 6מתוך שווה שוקיים, מתוך התיכון, ומתוך צלע משותפת מקבלים שלושה שוויונות.
אסטרטגיות בנייה של הוכחה
ארבעה צעדים לכתיבת הוכחה
1. רשמו נתונים
אל תשאירו נתון בראש בלבד.
כתבו שוויונות מפורשים.
זכרו את הצלעות המשותפות.
2. הפיקו מסקנות
תיכון נותן אמצע: .
חוצה זווית: .
שווה שוקיים: זוויות בסיס שוות.
3. בחרו משפט
ספרו: כמה צלעות? כמה זוויות?
צ.צ.צ או צ.ז.צ או ז.צ.ז?
כתבו את ההתאמה הנכונה.
4. הסיקו חלקים
אחרי חפיפה: חלקים מתאימים שווים.
אל תסיקו לפני שהוכחתם חפיפה.
כתבו: "מהחפיפה..."
מסקנות אופייניות אחרי חפיפה
שוויון זוויות
אחרי , אפשר להסיק (חוצה זווית), (זוויות בסיס), (גובה).
שוויון צלעות
אחרי החפיפה: (תיכון). אם נתון אנך אמצעי, אפשר להסיק שגם הצלעות הצדדיות מהנקודה שעל האנך שוות.
מהאלכסון של הריבוע
אם ריבוע ו- אלכסון, אז , ומכאן זוויות האלכסון שוות.
מקבילית דרך אלכסון
במקבילית האלכסון יוצר שני משולשים חופפים. ניתן להסיק שצלעות מנוגדות שוות.
תרגול - בניית הוכחות
תרגול 1 - זיהוי צלע משותפת
במשולשים ו-, איזו צלע משותפת לשניהם?
תרגול 2 - בוחרים את משפט החפיפה
נתון , וצלע משותפת . איזה משפט חפיפה מתאים למשולשים ו-?
תרגול 3 - חוצה זווית שמוביל לתיכון
במשולש שווה שוקיים נתון . הקטע חוצה את זווית הראש: . נמקו ש-.
טעויות נפוצות בהוכחות
בתרגילי חפיפה הטעות הכי מהירה היא להשתמש במסקנה לפני שנומקה. לכן שומרים על הסדר: נתונים ← חפיפה ← חלקים מתאימים שווים. בלי הסדר הזה, ההוכחה אינה תקפה.
טעויות נפוצות בהוכחות
| הטעות | מה עושים במקום |
|---|---|
| להסיק חלקים מתאימים שווים בלי להוכיח חפיפה | תמיד קודם להוכיח חפיפה, אחר כך להסיק |
| לשכוח את הצלע המשותפת | לזכור: AD=AD חיוני למשפט צ.צ.צ |
| לכתוב צ.ז.צ בלי לציין את הזווית הכלואה | לוודא שהזווית הנתונה כלואה בין שתי הצלעות |
| להניח דברים מהציור | כל טענה צריכה נימוק (נתון, משפט, או הוכחה קודמת) |
| להשתמש בתוצאה לפני שמוכיחים אותה | סדר: 1 לפני 2 לפני 3 |
| לכתוב את ההתאמה בין הקודקודים בסדר שגוי | פירושו , , |
כללי ברזל בהוכחה גאומטרית
אי אפשר להסיק חלקים מתאימים שווים לפני שהוכחנו חפיפה. קודם מוכיחים את החפיפה של המשולשים, ורק אחר כך משתמשים בה.
- כתבו את כל הנתונים מפורשות.
- הפיקו מסקנות מהנתונים (תיכון נותן אמצע, וכו').
- ספרו צלעות וזוויות וזהו את משפט החפיפה.
- כתבו את החפיפה עם התאמה נכונה.
- ורק אז הסיקו חלקים מתאימים שווים.
מחשבה - מה למדנו
שאלה לחשיבה
למה חשוב לכתוב גם את הצלע המשותפת , הרי היא נראית מובנת מאליה?
בנימוק גאומטרי כל טענה צריכה להיות מנומקת מפורשות. משפט צ.צ.צ דורש שלושה שוויונות של צלעות, והצלע המשותפת היא אחד מהם. אם לא נכתוב אותה, יש לנו רק שני שוויונות, וזה לא מספיק לצ.צ.צ. כתיבה מפורשת מראה למורה (ולעצמך) שהמשפט נבחר על בסיס נתונים מלאים, ושההוכחה מבוססת ולא משתמשת בהנחות סמויות.
שאלה לחשיבה
מהו ההבדל בין "להוכיח שהמשולש שווה שוקיים" לבין "להוכיח שתיכון = גובה במשולש שווה שוקיים"?
במקרה הראשון נתונים תכונות אחרות (למשל זוויות שוות, או נקודה על אנך אמצעי), ומסיקים את שוויון הצלעות. הכיוון: מתכונה חיצונית ← לשוויון שוקיים. במקרה השני, נתון שהמשולש שווה שוקיים מראש, ומסיקים תכונה חדשה (התלכדות הקטעים). הכיוון: משוויון שוקיים ← לתכונת ההתלכדות. שני הכיוונים משתמשים באותה טכניקה (חפיפת שני משולשים קטנים), אבל הנתונים והמסקנות מתחלפים. זה מראה שהקשר בין שוויון שוקיים לתכונות הקטעים הוא קשר של אם-ורק-אם (דו כיווני).
שאלה לחשיבה
למה כל ההוכחות בפרק הזה משתמשות באותה אסטרטגיה - חפיפת שני משולשים קטנים בתוך משולש גדול?
האסטרטגיה הזו עוצמתית כי היא מנצלת את הסימטריה של משולש שווה שוקיים. ציר הסימטריה של המשולש מחלק אותו לשני חצאים שמתלכדים בקיפול. הקיפול הזה הוא בעצם הוכחה של חפיפה. בכל הוכחה אנחנו מוצאים נתונים שמובילים לחפיפת שני המשולשים הקטנים שנוצרים מציר הסימטריה, ואז מסיקים מהחפיפה תכונה חדשה. כל התכונות של משולש שווה שוקיים - זוויות בסיס שוות, התלכדות תיכון/גובה/חוצה זווית/אנך אמצעי - מוכחות באותה דרך. זה מראה שכל התכונות נובעות ממקור אחד: סימטריה.
