גרסת הדפסה | החוברת

שתי צלעות שוות יוצרות סימטריה, בסיס, וזוויות בסיס שוות. נכיר את כל החלקים.

מה נבנה כאן

משולש שווה שוקיים הוא אחד המשולשים החשובים ביותר בגאומטריה. הסימטריה שלו מאפשרת להוכיח תכונות יפות, ובפרק הזה נכיר את כל החלקים שלו: שוקיים, בסיס, זווית ראש וזוויות בסיס. נלמד לזהות אותם מנתונים אלגבריים, לא מהציור.

שוקיים: שתי הצלעות השוות שמופיעות בשוויון.
בסיס: הצלע השלישית, שאינה שווה לשוקיים.
זווית ראש: הזווית בקודקוד שבו השוקיים נפגשות.
זוויות בסיס: שתי הזוויות בקצות הבסיס. נראה בהמשך שהן שוות זו לזו.

למה משולש שווה שוקיים מיוחד

משולש שווה שוקיים אינו רק מקרה פרטי של משולש - הוא נושא בתוכו סימטריה. שני חלקיו תמונת ראי זה של זה. הסימטריה הזו היא המנוע שמאפשר להוכיח את תכונותיו: זוויות הבסיס שוות, התיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה זווית הראש, ועוד. בלי הסימטריה אין שיוויונות, ולכן ההכרה במבנה היא הצעד הראשון.

למה הסימטריה חשובה

זוויות בסיס שוות

תוצאה ישירה של הסימטריה: הזוויות שמול השוקיים השוות שוות זו לזו.

תיכון = גובה

התיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה הזווית של זווית הראש. ארבעה תפקידים בקטע אחד.

הוכחות קצרות

הסימטריה מקצרת הוכחות. במקום לחשב כל זווית בנפרד, מספיק לדעת שהמשולש שווה שוקיים.

אדריכלות וצורות

המשולש שווה השוקיים מופיע בגגות, סמלים, חלונות ועיצוב גרפי בכל מקום.

בסיס לחישובים

אם נתון היקף ובסיס - מחשבים שוקיים בקלות. הסימטריה מצמצמת את החישוב לחצי.

מקרה פרטי בולט

משולש שווה צלעות הוא מקרה פרטי של שווה שוקיים: כל הצלעות שוות, ולכן כל זוג שוקיים מקיים את ההגדרה.

הגדרה - שתי צלעות שוות

במשולש שווה שוקיים לא מתחילים מהמראה של הציור, אלא מהשוויון בין שתי צלעות. השוויון הזה קובע מי השוקיים, מי הבסיס, ואיפה נמצאות הזוויות החשובות. הציור יכול להטעות; הנתון האלגברי לא.

ההגדרה הפורמלית

משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש בו (לפחות) שתי צלעות שוות. אם $A B = A C$ , אז $A B$ ו- $A C$ הן השוקיים.

A B = A C \Rightarrow △ A B C שווה שוקיים

הבסיס לא חייב להיות מצויר למטה. הוא הצלע שאינה שווה לשתי השוקיים, בכל מיקום בציור.

שוקיים, בסיס וזוויות

AB ו-AC הן השוקיים השוות, BC הוא הבסיס, A הוא קודקוד הראש.

הגדרת משולש שווה שוקיים

A B = A C \Leftrightarrow △ A B C שווה שוקיים עם בסיס B C

מילון מושגי שווה שוקיים

מושג	משמעות	בדוגמה $A B = A C$
שוקיים	שתי הצלעות השוות	$A B, A C$
בסיס	הצלע השלישית, שאינה שווה לשוקיים	$B C$
קודקוד הראש	הקודקוד שבו השוקיים נפגשות	$A$
זווית ראש	הזווית בקודקוד הראש, בין השוקיים	$∠ A$
זוויות בסיס	שתי הזוויות בקצות הבסיס	$∠ B, ∠ C$
תיכון לבסיס	קטע מקודקוד הראש לאמצע הבסיס	מ- $A$ לאמצע $B C$
ציר סימטריה	הקו מקודקוד הראש לאמצע הבסיס	התיכון מ- $A$

סוגי משולשים לפי צלעות

כדי להבין את מקומו של המשולש שווה השוקיים, נסקור את שלושת סוגי המשולשים לפי צלעות. נראה שמשולש שווה צלעות הוא מקרה פרטי של שווה שוקיים, ולא קטגוריה נפרדת לחלוטין.

השוואת סוגי משולשים

משולש שונה צלעות

אין שתי צלעות שוות
אין סימטריה
כל הזוויות שונות
אינו שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים

לפחות שתי צלעות שוות
סימטריה ביחס לציר
שתי זוויות הבסיס שוות
זווית הראש יכולה להיות חדה, ישרה או קהה

משולש שווה צלעות

כל שלוש הצלעות שוות
סימטריה משולשת
כל הזוויות שוות $60°$
מקרה פרטי של שווה שוקיים

משולשים לפי צלעות - דוגמאות

שווה שוקיים

צלעות $5, 5, 8$ . השוקיים: $5$ ו- $5$ . הבסיס: $8$ .

שווה צלעות

צלעות $6, 6, 6$ . גם שווה שוקיים, כי לפחות שתי צלעות שוות.

שונה צלעות

צלעות $3, 4, 5$ . אין שתי צלעות שוות, ולכן אינו שווה שוקיים.

דוגמה - מזהים בסיס וזוויות

נעקוב אחרי הנתון כמו אחרי מפה: שתי הצלעות שמופיעות בשוויון הן השוקיים, הקודקוד שבו הן נפגשות הוא הראש, והצלע שנותרה היא הבסיס. הציור הוא רק עזר ויזואלי; הנתון האלגברי הוא הקובע.

דוגמה 1 - מזהים בסיס וזוויות

במשולש m △ A B C / m נתון m A B = A C / m .מהוהבסיס, ומהןזוויותהבסיס ?

השוקיים הן שתי הצלעות שמופיעות בשוויון.
$A B = A C$
הקודקוד המשותף לשוקיים הוא $A$ , ולכן זווית הראש היא $∠ A$ .
$∠ A = זווית הראש$
הבסיס הוא הצלע שאינה שווה לשתי השוקיים.
$B C = בסיס$
זוויות הבסיס נמצאות בקצות הבסיס.
$∠ B, ∠ C = זוויות בסיס$

תשובה:

הבסיסהוא m B C / m, וזוויותהבסיסהן m ∠ B / m ו - m ∠ C / m .

דוגמה 2 - היקף ובחירת בסיס

במשולש m △ K L M / m נתון m K L = K M / m .היקףהמשולשהוא m 29 / m, ואורךהבסיס m L M = 11 / m .מצאואתאורךכלשוקוזהואתזוויתהראש.

השוויון $K L = K M$ אומר שהשוקיים הן $K L$ ו- $K M$ . לכן הבסיס הוא $L M$ .
$K L = K M, L M = 11$
כותבים את ההיקף כסכום שלוש הצלעות.
$P = K L + K M + L M = 29$
מחסרים את הבסיס מההיקף כדי לקבל את סכום שתי השוקיים.
$K L + K M = 29 - 11 = 18$
שתי השוקיים שוות, ולכן מחלקים את הסכום ב-2.
$K L = K M = \frac{18}{2} = 9$
זווית הראש נמצאת בקודקוד המשותף לשתי השוקיים.
$∠ K = זווית הראש$

תשובה:

m K L = K M = 9 / m, וזוויתהראשהיא m ∠ K / m .

שיטת זיהוי - איך מתחילים

איך מזהים חלקים בשווה שוקיים

1. מצאו שוויון צלעות

השוקיים הן הצלעות שמופיעות בשוויון.
הן נפגשות בקודקוד הראש.
כתבו אותן זו לצד זו.

2. מצאו את הבסיס

הבסיס הוא הצלע שלא מופיעה בשוויון.
הוא לא חייב להיות בתחתית הציור.
סמנו אותו על הציור.

3. סמנו את הזוויות

זווית הראש נמצאת בקודקוד הראש.
זוויות הבסיס בקצות הבסיס.
הן שוות זו לזו.

תרגול - מזהים חלקים

תרגיל

תרגול 1 - בסיס לפי שוקיים

אם $M N = M P$ , מהו הבסיס של המשולש $△ M N P$ ?

M N = M P

תרגיל

תרגול 2 - זווית הראש

אם $A B = C B$ , מהי זווית הראש של $△ A B C$ ?

A B = C B

תרגיל

תרגול 3 - היקף ושמות

במשולש $△ A B C$ נתון $A C = B C$ . היקף המשולש $25$ , והבסיס $A B = 9$ . מצאו את אורך כל שוק, את זווית הראש ואת זוויות הבסיס.

A C = B C, P = 25, A B = 9

טעויות נפוצות

הטעויות הנפוצות במשולש שווה שוקיים נובעות בדרך כלל מהסתכלות על הציור במקום על הנתון האלגברי. כאן נחזור על העיקרון: השוויון קובע את הבסיס, לא הציור.

טעויות נפוצות וכיצד להימנע מהן

הטעות	מה לעשות במקום
להניח שהבסיס תמיד למטה	לבדוק את הנתון: השוויון קובע אילו צלעות הן שוקיים
לזהות זווית ראש לפי גודלה בציור	זווית הראש בקודקוד שבו השוקיים נפגשות, ללא קשר לגודל בציור
לחלק את ההיקף ב-3 במקום ב-2 בחישוב שוק	קודם מחסירים את הבסיס מההיקף, אחר כך מחלקים ב-2
לשכוח שיש שתי שוקיים שוות	לזכור שהמשוואה היא: היקף = 2 × שוק + בסיס
להתבלבל בין שווה שוקיים לשווה צלעות	שווה צלעות הוא מקרה פרטי. לבדוק האם כל השלוש שוות או רק שתיים

מחשבה - למה ההגדרה כזאת

למה משולש שווה צלעות נחשב גם משולש שווה שוקיים?

האם ייתכן שמשולש שווה שוקיים יהיה גם משולש ישר זווית?

למה זוויות הבסיס שוות זו לזו, גם בלי הוכחה פורמלית?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי ההגדרה הפורמלית של משולש שווה שוקיים?

משולש שיש בו לפחות שתי צלעות שוות
משולש עם שלוש זוויות שונות
משולש עם זווית ישרה אחת בלבד
משולש שכל צלעותיו שונות זו מזו

2.במשולש $△ A B C$ נתון $A B = A C$ . מהו הבסיס?

$B C$
$A B$
$A C$
אין בסיס במשולש

3.אם $M N = M P$ , מהי זווית הראש?

$∠ M$
$∠ N$
$∠ P$
אין זווית ראש בשווה שוקיים

4.האם הבסיס של משולש שווה שוקיים חייב להיות מצויר למטה?

לא, הבסיס נקבע מהשוויון האלגברי, לא מהציור
כן, הבסיס תמיד למטה
רק במשולש חד זווית
רק אם יש תיכון מצויר

5.מה הן זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים?

שתי הזוויות בקצות הבסיס
הזווית בין השוקיים
כל הזוויות במשולש
רק זוויות ישרות

6.מהי הטעות הנפוצה בזיהוי שווה שוקיים מציור?

להחליט לפי המראה ולא לפי שוויון הצלעות הנתון
לבדוק את שוויון השוקיים
לסמן את הבסיס
לקרוא את הנתון האלגברי

7.במשולש $△ A B C$ נתון $A C = B C$ . מהן השוקיים ומהו הבסיס?

השוקיים: $A C, B C$ ; הבסיס: $A B$
השוקיים: $A B, A C$ ; הבסיס: $B C$
השוקיים: $A B, B C$ ; הבסיס: $A C$
אין מספיק נתונים לזהות שוקיים

8.במשולש שווה שוקיים ההיקף הוא $25$ והבסיס הוא $9$ . מה אורך כל שוק?

$8$
$16$
$12.5$
$9$

9.האם משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים?

כן, כי יש בו לפחות שתי צלעות שוות (למעשה שלוש)
לא, כי יש בו שלוש צלעות שוות
לא, כי אין בו בסיס מובחן
רק אם הוא מצויר עם בסיס למטה

10.איזה נתון מספיק לפי ההגדרה כדי לזהות משולש שווה שוקיים?

$A B = B C$ (שוויון של שתי צלעות)
$A B + B C + A C = 30$ (היקף נתון)
$∠ A = 60°$ (זווית בודדת)
המשולש נראה סימטרי בציור

11.במשולש שווה שוקיים השוק $= 7$ ובסיס $= 8$ . מהו ההיקף?

$22$
$15$
$29$
$23$

12.האם ייתכן משולש שווה שוקיים עם שוק $3$ ובסיס $10$ ?

לא, כי $3 + 3 = 6 < 10$ ואי-שוויון המשולש לא מתקיים
כן, כל מספרים אפשריים
כן, כי הבסיס יכול להיות גדול
רק אם הוא ישר זווית

13.במשולש שווה שוקיים השוקיים $= 5$ וההיקף $= 18$ . מהו אורך הבסיס?

$8$
$13$
$6$
$9$

14.האם משולש שווה שוקיים יכול להיות גם ישר זווית?

כן, אם זווית הראש היא $90°$ , אז זוויות הבסיס $45°$ כל אחת
לא, ישר זווית לא יכול להיות שווה שוקיים
רק אם כל הזוויות שוות
רק במשולש שווה צלעות

15.במשולש $△ P QR$ נתון $∠ P = 80°$ , $∠ Q = 50°$ . מהי $∠ R$ , והאם המשולש שווה שוקיים?

$∠ R = 50°$ , ולכן המשולש שווה שוקיים (זוויות בסיס שוות)
$∠ R = 80°$ , ולכן הוא שווה שוקיים
$∠ R = 60°$ , ולכן הוא שווה צלעות
אי אפשר לדעת מהזוויות אם הוא שווה שוקיים